《2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式活頁作業(yè)11 北師大版選修4-5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式活頁作業(yè)11 北師大版選修4-5.doc（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
活頁作業(yè)(十一) 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式
一、選擇題
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“＋＋＋…＋＝
(n∈N＋)”，從n＝k到n＝k＋1時，等式左邊需增添的項是( )
A． B．
C． D．
解析：當(dāng)n＝k(k∈N＋)時，等式的左邊＝＋
＋＋…＋；當(dāng)n＝k＋1時，等式的左邊＝＋＋＋…＋＋.所以從n＝k到n＝k＋1時，等式的左邊需增添的項為.
答案：D
2．對于正整數(shù)n，下列說法不正確的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n<1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n
解析：由貝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，
n∈N＋)，可知當(dāng)x＝2時，(1＋2)n≥1＋2n，A項正確；當(dāng)x＝－0.1時，(1－0.1)n≥1－0.1n，B項正確，C項不正確；當(dāng)x＝－0.9時，(1－0.9)n≥
1－0.9n，D項正確．
答案：C
3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)．試歸納猜想出Sn的表達式為( )
A． B．
C． D．
解析：因為a1＝1，所以S1＝1.又S2＝4a2＝a1＋a2，
所以3a2＝1.所以a2＝，S2＝.又S3＝9a3＝S2＋a3，所以8a3＝.所以a3＝.所以S3＝＝.由此可猜想Sn＝(n∈N＋)．
答案：A
4．對于不等式
1＋nx(x>－1且x≠0，n>1，n∈N)等價的不等式是________.(填序號)
①(1－x)n>1－nx(x<1且 x≠0，n>1，n∈N)
②(1＋x)n>1－nx(x>－1且 x≠0，n>1，n∈N)
③(1－x)n>1＋nx(x<1且 x≠0，n>1，n∈N)
④(1＋x)n>1＋nx(x>1，n>1，n∈N)
解析：在貝努利不等式中，令x＝－t，因為x>－1且x≠0，所以t<1且t≠0.所以原不等式變?yōu)?1－t)n>1－nt(t<1且t≠0，n>1，n∈N)．
答案：①
6．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列結(jié)論正確的是________.
①若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f(k)≥k2成立；
②若f(5)≥25成立，則當(dāng)k≤5時，均有f(k)≥k2成立；
③若f(7)<49成立，則當(dāng)k≥8時，均有f(k)12；
當(dāng)n＝2時，22＝22；
當(dāng)n＝3時，23<32；
當(dāng)n＝4時，24＝42；
當(dāng)n＝5時，25>52.
猜想：當(dāng)n≥5時，2n>n2.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(1)當(dāng)n＝5時，25>52成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥5)時，2k>k2，
那么當(dāng)n＝k＋1時，
2k＋1＝22k＝2k＋2k>k2＋(1＋1)k>k2＋C＋C＋C＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
∴當(dāng)n＝k＋1時，2n>n2也成立．
由(1)(2)，可知對n≥5的一切自然數(shù)，2n>n2都成立．
綜上，當(dāng)n＝1或n≥5時，2n>n2；
當(dāng)n＝2,4時，2n＝n2；當(dāng)n＝3時，2n，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，….
(1)由上述不等式你能得到怎樣的結(jié)論？并給出證明．
(2)是否存在一個正數(shù)T，使得對任意的正整數(shù)n，恒有不等式f(n)(n∈N＋)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝1時，f(21－1)＝f(1)＝1>，所以不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時不等式成立，即
f(2k－1)>，
則當(dāng)n＝k＋1時，
f(2k＋1－1)＝
f(2k－1)＋＋＋…＋＋>
f(2k－1)＋ ＋…＋]
2k個
＝f(2k－1)＋>＋＝.
∴當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立．
由①②，可知對任何n∈N＋，原不等式均成立．
(2)對任意給定的正數(shù)T，設(shè)它的整數(shù)部分為T′，記
m＝T′＋1，則m>T.由(1)，知f(22m－1)>m.
∴f(22m－1)>T.
這說明，對任意給定的正數(shù)T，總能找到正整數(shù)n＝22m－1，
使得f(n)>T.
∴不存在正數(shù)T，使得對任意的正整數(shù)n，恒有不等式f(n)(n≥k，n∈N＋)”時，起始值k最小為( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：對不等式的左邊求和，得Sn＝＝2.
由Sn>，得1－n>，即n<.則n<7.所以n>7.故起始值k最小為8.
答案：B
二、填空題
3．設(shè)a，b均為正實數(shù)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，n∈N＋，則M，N的大小關(guān)系為________.提示：利用貝努利不等式，令x＝
解析：令x＝，由貝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx
(x≥－1，n∈N＋)，得n≥1＋n，即
n≥1＋n，即(a＋b)n≥an＋nan－1b.
故M≥N.
答案：M≥N
4．設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項公式是________.
解析：令n＝1，則2a＋a1a2－a＝0.∵a1＝1，
∴2a＋a2－1＝0.∵a2>0，∴a2＝.同理可求得
a3＝.于是猜想an＝(n∈N＋)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(1)當(dāng)n＝1時，a1＝成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，ak＝成立，
則當(dāng)n＝k＋1時，由(k＋1)a－ka＋ak＋1ak＝0，可得(k＋1)a＋ak＋1－＝0，即k(k＋1)a＋ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－(舍去)或ak＋1＝.故當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝成立．綜合(1)(2)，知對任意的n∈N＋，總有an＝成立．
答案：an＝(n∈N＋)
三、解答題
5．已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋1－2a(a>0)，當(dāng)a≥時，有f(x)≥ln x(x≥1)．求證：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)＋(n∈N＋)．
證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝ln 2＋<1，
∴當(dāng)n＝1時不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時不等式成立，
即1＋＋＋…＋>ln(k＋1)＋.
那么當(dāng)n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋>ln(k＋1)＋＋＝ln(k＋1)＋.
由題意，可知當(dāng)a≥時，有f(x)≥ln x(x≥1)．
令a＝，有f(x)＝≥lnx(x≥1)．
令x＝，得
≥ln＝ln(k＋2)－ln(k＋1)．
∴l(xiāng)n(k＋1)＋≥ln(k＋2)＋.
∴1＋＋＋…＋＋>ln(k＋2)＋，
這就是說，當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立．
根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對任何n∈N＋都成立．
6．已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由．
解：＋＋＋…＋<1.
理由如下：
因為f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，
所以an＋1≥(an＋1)2－1.
因為函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[－1，＋∞)
上單調(diào)遞增，
由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，
進而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1.
由此猜想：an≥2n－1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想：
(1)當(dāng)n＝1時，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時結(jié)論成立，即ak≥2k－1，
則當(dāng)n＝k＋1時，
由函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，知
ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1.
故當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也成立．
由(1)(2)，知對任意n∈N＋，都有
an≥2n－1，即1＋an≥2n.
所以≤.
所以＋＋＋…＋≤＋＋
＋…＋＝1－n<1.
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