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課時作業(yè)14 導數與函數的單調性
一、選擇題
1．(2018廈門質檢)函數y＝x2－ln x的單調遞減區(qū)間為( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．(0,2)
解析：由題意知，函數的定義域為(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0
0時，－12；
③f′(x)＝0時，x＝－1或x＝2.
則函數f(x)的大致圖象是( )
解析：根據信息知，函數f(x)在(－1,2)上是增函數．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是減函數，故選C.
答案：C
3．若f(x)＝，ef(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
解析：f′(x)＝，當x>e時，f′(x)<0，則f(x)在(e，＋∞)上為減函數，f(a)>f(b)．
答案：A
4．(2018福建上杭一中檢測)函數f(x)＝x3－ax為R上增函數的一個充分不必要條件是( )
A．a≤0 B．a<0
C．a≥0 D．a>0
解析：函數f(x)＝x3－ax為R上增函數的一個充分不必要條件是f′(x)＝3x2－a>0在R上恒成立，所以a<(3x2)min.因為(3x2)min＝0，所以a<0，故選B.
答案：B
5．(2018撫州模擬)若函數f(x)＝x＋aln x不是單調函數，則實數a的取值范圍是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：由題意知x>0，f′(x)＝1＋，要使函數f(x)＝x＋aln x不是單調函數，則需方程1＋＝0在x>0上有解，即x＝－a，所以a<0.
答案：C
二、填空題
6．(2018廣州模擬)已知函數f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e為自然對數的底數．則函數f(x)的單調遞增區(qū)間為________．
解析：因為f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex
＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，
因為ex>0，所以－x2＋2>0，解得－f(2)>f(3)＝f(－3)．
答案：f(－3)0，∴4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.
∴當x>0時，f′(x)>0.
∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
(2)∵f(x)＝ln x－，
∴f(1)＝ln1－＝－.
由f[x(3x－2)]<－得f[x(3x－2)]1，則有≤1，解得a≥1或a<0.
答案：D
12．(2018湖北棗陽第一中學模擬)函數f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，設F(x)＝f(x)－2x－4，則F′(x)＝f′(x)－2，因為f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上單調遞增，而F(－1)＝f(－1)－2(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等價于F(x)>F(－1)，所以x>－1，選B.
答案：B
13．若函數f(x)＝x2－ex－ax在R上存在單調遞增區(qū)間，則實數a的取值范圍是________．
解析：∵函數f(x)＝x2－ex－ax，
∴f′(x)＝2x－ex－a.
∵函數f(x)＝x2－ex－ax在R上存在單調遞增區(qū)間，
∴f′(x)＝2x－ex－a>0，即a<2x－ex有解．
令g′(x)＝2－ex，g′(x)＝2－ex＝0，x＝ln 2，
g′(x)＝2－ex>0，xln 2，
∴當x＝ln 2時，g(x)max＝2ln 2－2.
∴a<2ln 2－2.
故實數a的取值范圍是(－∞，2ln 2－2)．
答案：(－∞，2ln 2－2)
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