沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專題09 平面向量的線性表示（含解析）.doc

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專題09 平面向量的線性表示 【自主熱身，歸納總結(jié)】 1、設(shè)a,b不共線,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p=　　　　. 【答案】-1 【解析】因為=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因為A,B,D三點(diǎn)共線,所以=λ,即2a+pb=λ(2a-b)=2λa-λb,所以解得所以實(shí)數(shù)p的值是-1. 2、設(shè)與是兩個不共線向量，，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則 ． 【答案】： 【解析】，設(shè)．則且，解得． 3、在中，若點(diǎn)，，依次是邊上的四等分點(diǎn)，設(shè)，，用，表示，則 ． 【解析】 在中，，，所以 ． 4．設(shè)點(diǎn)，，是直線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，若，則的值為 ． 【答案】：1 【解析】 因為點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，所以，又因為 ，所以． 5、如圖，在中，，分別為邊，的中點(diǎn). 為邊上的點(diǎn)，且，若，，則的值為 . 【答案】： 【解析】：因為為的中點(diǎn)，所以，故，。 6、已知為的外心，若，則= ． 【答案】： 誤點(diǎn)警示：若為銳角，則與分別是同弧所對的圓心角與圓周角，此時 =2；若為鈍角，由與的關(guān)系是，因此，必須對進(jìn)行分類討論.本題從條件判斷知，必為鈍角. 7、已知點(diǎn)C，D，E是線段的四等分點(diǎn)，為直線外的任意一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù) 的值為 ． 【答案】： 【解析】 因為，所以． 8．如圖，平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則_______，___________． 【答案】：，． 【解析】 設(shè)與，同方向的單位向量分別為，， 依題意有，又，， 則，所以，． 9、如圖，一直線與平行四邊形的兩邊分別 交于兩點(diǎn)，且交其對角線于，其中，，，，則的值為 ． 【答案】：． 【解析】 因為點(diǎn)F，K，E共線，故可設(shè) 又，所以，解得． 【問題探究，變式訓(xùn)練】 例1、在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的值為________. 課本探源 本題的難點(diǎn)是＝關(guān)系的建立，借助于正弦定理，可以證明＝.實(shí)際上，必修5P54例5已經(jīng)證明了此結(jié)論，若能夠想到這一點(diǎn)，理順本題的解題思路就容易多了：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，用正弦定理證明：＝. 【變式1】、如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________. 　　　 【答案】 【解析】：　因為O，E分別是AC，AO的中點(diǎn)，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又＝λ＋μ＝λ＋μ(＋)＝(λ＋μ)＋μ，故λ＋μ＝. . 【變式2】、在中，，若，則的值為 ． 【答案】： 因為，而,所以，所以，則的值為. 【關(guān)聯(lián)1】、如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，，設(shè)∥，若，則的值為 ． 【答案】 【解析】思路一：， ，因為∥，所以λ－1＝，λ＝． 思路二：不妨設(shè)，則有 【關(guān)聯(lián)2】、如圖,在同一個平面內(nèi)，向量、，的模分別為1,1，，與的夾角為，且，與的夾角為，若, 則的值為____________． 【答案】：． A C B O 【解析】 由可得，，根據(jù)向量分解易得： ，即，解得 所以． 例2、在△ABC中，∠C＝45，O是△ABC的外心，若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n的取值范圍是________． 【答案】 [－，1)　 思路分析 本題中三點(diǎn)在圓O上是一個關(guān)鍵條件，可以建立坐標(biāo)系求出m，n的關(guān)系式，再利用三角換元求解，也可以對向量等式兩邊平方后得到m，n的關(guān)系式，再利用線性規(guī)劃求解． 因為C＝，O是△ABC外心，所以∠AOB＝90，＝m＋n，所以C在優(yōu)弧上． 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)半徑為1，則A(0,1)，B(1,0)． 設(shè)C(cosθ，sinθ)， 代入＝m＋n，可得n＝cosθ，m＝sinθ，即m＋n＝cosθ＋sinθ＝sin. 又θ＋∈，所以m＋n∈[－，1)． 解后反思 本題易錯在沒有注意點(diǎn)C在優(yōu)弧上，錯誤的認(rèn)為點(diǎn)C在整個圓上．本題是典型的二元函數(shù)的值域問題，解題方法比較多，可以用基本不等式、線性規(guī)劃、三角換元，但由于點(diǎn)C在圓弧上，最好的方法建立坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)求解，定義域的尋找也較為簡單． 【變式1】、 如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90，AD＝AB＝4，CD＝1，動點(diǎn)P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實(shí)數(shù))，則＋的最小值為________． 【答案】：. 　解法1 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4)．又kBC＝－，故BC：y＝－(x－4)．又＝m＋n，＝(4,0)，＝(0,4)，所以＝(4m,4n)，故P(4m,4n)，又點(diǎn)P在直線BC上，即3n＋4m＝4，即4（＋）＝(3n＋4m)（＋）＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，所以（＋）min＝，當(dāng)且僅當(dāng)即m＝，n＝時取等號． 解法2 因為＝m＋n，所以＝m＋n(＋)＝m＋n－＝＋n.又C，P，B三點(diǎn)共線，故m－＋n＝1，即m＋＝1，以下同解法1. 解后反思 向量的基本運(yùn)算分為線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算，本題建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算，其中三點(diǎn)共線可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上也可以用共線向量基本定理來轉(zhuǎn)化．基底法運(yùn)算量小于坐標(biāo)法、坐標(biāo)法的思維難度低于基底法． 【變式2】、 如圖，經(jīng)過的重心G的直線與OA，OB交于點(diǎn)P，Q，設(shè)，，，則的值為 ． 【答案】：3 【解析】 連接并延長，交于點(diǎn)，因為是的重心，即是的中線，所以， ① 因為，所以②，同理可得③， 將②③代入①可得， 即， 設(shè)， 則有， 根據(jù)平面向量基本定理，有， 故的值為3． 【關(guān)聯(lián)1】、如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝1，A＝120，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且＝m，＝n，其中m，n∈.若EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，且m＋4n＝1，則的最小值為________． 【答案】　 思路分析：本題易求＝－，所以可以利用點(diǎn)M，N是EF，BC的中點(diǎn)將轉(zhuǎn)化用和表示，再求||的最小值；另外也可以通過建立平面直角坐標(biāo)系將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)表示出來再求解． 【解析】1 由于M，N是EF，BC的中點(diǎn)，＝m，＝n，m＋4n＝1，所以＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以＝－＝2n＋.而＝11cos120＝－，所以||＝＝，顯然當(dāng)n＝時，||min＝. 【解析】2 如圖，以點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，直線NA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由AB＝AC＝1，A＝120得N(0,0)，A0，，B－，0，C，0，所以＝n＝n，－n，＝m＝＝2n－，2n－(由于m＋4n＝1)，從而點(diǎn)E，點(diǎn)Fn，－n＋，線段EF的中點(diǎn)Mn－，n＋，所以||＝＝，顯然當(dāng)n＝時，||min＝. 【關(guān)聯(lián)2】、 已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足＝＋，則||的最小值是________. 【答案】： －　 思路分析 求||的最小值，就是求線段BQ長的最小值，因為點(diǎn)B為定點(diǎn)，而點(diǎn)Q是隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而運(yùn)動的，那么就要關(guān)注點(diǎn)Q是如何運(yùn)動的，即要先求出點(diǎn)Q的軌跡方程，通過建系運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法即可求得點(diǎn)Q的軌跡方程，通過點(diǎn)Q的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個圓，接下來問題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)的距離的最小值問題，那就簡單了．一般與動點(diǎn)有關(guān)的最值問題，往往運(yùn)用軌跡思想，首先探求動點(diǎn)的軌跡，在了解其軌跡的基礎(chǔ)上一般可將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的關(guān)系或直線與圓的關(guān)系或兩圓之間的關(guān)系． 解法1 以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則＝(3,0)，＝，設(shè)Q(x，y)，P(x′，y′)，由＝＋，得＝， 即所以兩式平方相加得2＋2＝(x′2＋y′2)，因為點(diǎn)P(x′，y′)在以A為圓心的單位圓上，所以x′2＋y′2＝1，從而有2＋2＝，所以點(diǎn)Q是以M為圓心，R＝的圓上的動點(diǎn)，因此BQmin＝BM－R＝－＝－. 解法2 ＝－＝＋－＝. 令＝－，則＝(－)，那么||＝|－|，求||的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|－|的最小值，根據(jù)不等式的知識有： |－|≥＝，而||2＝2＝2＝2－＋2＝32－33＋32＝，即||＝，所以|－|≥＝－1，從而||＝|－|≥－，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時，取等號． 【關(guān)聯(lián)3】、在中，為邊上一點(diǎn)，且，為上一點(diǎn)，且滿足 ，求的最小值． 【解析】 因為，所以， 又因為為上一點(diǎn)，不妨設(shè)， 所以, ，因為不共線， 所以，則． 所以， A B C E P 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．