2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第61講 求軌跡方程的基本方法檢測(cè).doc

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第61講　求軌跡方程的基本方法 1．已知點(diǎn)A(－2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足＝x2，則點(diǎn)P的軌跡是(D) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 ＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，因?yàn)椋絰2，所以(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，即y2＝x＋6. 2．已知F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(A) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．線段 由于|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2，所以P點(diǎn)軌跡為橢圓． 3．曲線f(x，y)＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱曲線的方程是(D) A．f(x＋2，y)＝0 B．f(x－2，y)＝0 C．f(y＋2，x－2)＝0 D．f(y－2，x＋2)＝0 設(shè)(x0，y0)是f(x，y)＝0上任一點(diǎn)，它關(guān)于x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則 解得 又f(x0，y0)＝0，所以f(y－2，x＋2)＝0. 4．設(shè)A1、A2是橢圓＋＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為(C) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 設(shè)交點(diǎn)為P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)． 因?yàn)锳1、P1，P三點(diǎn)共線，所以＝，① 因?yàn)锳2、P2，P三點(diǎn)共線，所以＝，② 解①②得x0＝，y0＝，代入＋＝1， 化簡(jiǎn)得－＝1. 5．在圓x2＋y2＝9中，過已知點(diǎn)P(1,2)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為　(x－)2＋(y－1)2＝　. 設(shè)弦的中點(diǎn)為M，則OM⊥PM. 所以M在以O(shè)P為直徑的圓上， 故所求軌跡方程為(x－)2＋(y－1)2＝. 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，在y軸上截得的線段長(zhǎng)為2，則圓心P的軌跡方程為　y2－x2＝1　. 設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 由題意y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而y2＋2＝x2＋3， 所以P點(diǎn)的軌跡方程為y2－x2＝1. 7．設(shè)點(diǎn)F(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，求滿足條件|PF|－d＝2的點(diǎn)P的軌跡方程． (方法一)設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，由|PF|＝2＋d， 得＝2＋|x|， 即(x－2)2＋y2＝(2＋|x|)2.所以y2＝4|x|＋4x. 當(dāng)x≥0時(shí)，y2＝8x；當(dāng)x<0時(shí)，y2＝0即y＝0. 故所求軌跡方程為y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0)． (方法二)由題意|PF|＝2＋d， 當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為|PF|＝x＋2，即點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于到定直線l：x＝－2的距離， 所以點(diǎn)P在拋物線y2＝8x上． 當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，|PF|＝2－x， 即點(diǎn)P到F(2,0)的距離等于P到直線x＝2的距離，從而有y＝0(x<0)． 綜上可知，所求軌跡方程為y2＝8x(x≥0)和y＝0(x<0)． 8．點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(D) A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓 連接OM，延長(zhǎng)F2M交F1P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q， 則|PQ|＝|PF2|. 所以|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a. 因?yàn)镺M為△F1F2Q的中位線， 所以|OM|＝|QF1|＝a. 因此點(diǎn)M的軌跡是圓．故選D. 9．直線l與橢圓＋y2＝1交于P、Q兩點(diǎn)，已知l的斜率為1，則弦PQ中點(diǎn)的軌跡方程為　x＋4y＝0(－＜x＜)　. 設(shè)M(x，y)為PQ中點(diǎn)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則?、伲冢? kPQ＝＝－＝－＝1. 所以x＋4y＝0. 則M(x，－)，因?yàn)镸在橢圓內(nèi)， 所以＋(－)2＜1，解得－＜x＜. 所以所求軌跡方程為x＋4y＝0(－＜x＜)． 10．(2016新課標(biāo)卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)． (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程． 由題意知F(，0)．設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且A(，a)，B(，b)，P(－，a)，Q(－，b)，R(－，)． 記過A，B兩點(diǎn)的直線為l， 則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)證明：由于F在線段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則 k1＝＝＝＝＝－b＝k2. 所以AR∥FQ. (2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)， 則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|， S△PQF＝. 由題設(shè)可得2|b－a||x1－|＝， 所以x1＝0(舍去)或x1＝1. 設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)． 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)， 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)． 而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)． 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D(1,0)重合． 所以所求軌跡方程為y2＝x－1.