2019年高考數(shù)學總復習 專題6.3 等比數(shù)列及其前n項和導學案 理.doc
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第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 最新考綱 1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式； 2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題； 3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系. 知識梳理 1．等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 數(shù)學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或＝q(n∈N*，q為非零常數(shù)). 2．等比數(shù)列的通項公式 設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． 3．等比中項 如果在a與b中插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，＝，G2＝ab，G＝，稱G為a，b的等比中項． 4．等比數(shù)列的前n項和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項和為Sn， 當q＝1時，Sn＝na1； 當q≠1時，Sn＝＝. 5．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝amqn－m(n，m∈N＋)． (2)若{an}為等比數(shù)列，且若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則aman＝apaq＝a. (3)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{anbn}，仍是等比數(shù)列． (4)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性： 當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； 當q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列； 當q＝1時，數(shù)列{an}是常數(shù)列. (5)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm. (6)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn. 典型例題 考點一 等比數(shù)列基本量的運算 【例1】(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項和S3＝21，則公比q的值為( ) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 【答案】C 【解析】根據(jù)已知條件得 ②①得＝3. 整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－. (2)[2017江蘇高考]等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 【答案】 32 【解析】 設{an}的首項為a1，公比為q， 則兩式相除得＝＝， 解得所以a8＝27＝25＝32. (3)(2016全國Ⅰ卷)設等比數(shù)列滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________. 【答案】6 規(guī)律方法 1.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應用． 2．在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應根據(jù)公比q的情況進行分類討論，在運算過程中，應善于運用整體代換思想簡化運算． 【變式訓練1】 (1)[2017全國卷Ⅱ]我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( ) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 【答案】 B 【解析】 設塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故選B. （2）設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，則S4等于( ) A．63或120 B．256 C．120 D．63 【答案】 C 【解析】 由題意得解得或 又<1，所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，故 設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝＝， 因為數(shù)列為正項數(shù)列，故q＝，從而a1＝64， 所以S4＝＝120.故選C. 3．[2017北京高考]若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. 【答案】1 【解析】設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3， 由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝1. 4.已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和等于__________． 【答案】 Sn＝2n－1. 【解析】設等比數(shù)列的公比為q，則有解得或 又{an}為遞增數(shù)列，∴∴Sn＝＝2n－1. 5.設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4構成等差數(shù)列，則an＝________. 【答案】an＝2n－1. 【解析】解得a2＝2.設數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由題意得q＞1，所以q＝2，所以a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1. 6.數(shù)列{ɑn}中，已知對任意n∈N*，ɑ1＋ɑ2＋ɑ3＋…＋ɑn＝3n－1，則ɑ＋ɑ＋ɑ＋…＋ɑ等于( ) A．(3n－1)2 B.(9n－1) C．9n－1 D.(3n－1) 【答案】B 【解析】∵ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑn＝3n－1，n∈N*，n≥2時，ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑn－1＝3n－1－1， ∴當n≥2時，ɑn＝3n－3n－1＝23n－1， 又n＝1時，ɑ1＝2適合上式，∴ɑn＝23n－1， 故數(shù)列{ɑ}是首項為4，公比為9的等比數(shù)列， 因此ɑ＋ɑ＋…＋ɑ＝＝(9n－1)． 7.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝( ) A．5 B．7 C．6 D．4 【答案】 A 【解析】 (a1a2a3)(a7a8a9)＝a＝50，a4a5a6＝a＝5.選A. 8.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝________. 【答案】 31 【解析】 a3a5＝a2a6＝64，因為a3＋a5＝20，所以a3和a5為方程x2－20x＋64＝0的兩根，因為an>0，q>1，所以a3
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