2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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2.3 二維形式的柯西不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義2通過(guò)運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。二、合作探究探究1在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號(hào)的條件可以寫成嗎？探究2用柯西不等式求最值時(shí)的關(guān)鍵是什么？名師點(diǎn)撥：1.二維形式的柯西不等式(1)定理1：不等式中等號(hào)成立的條件是adbc.這時(shí)我們稱(a，b)，(c，d)成比例如果c0，d0，那么adbc，若cd0，我們分情況說(shuō)明：cd0，原不等式兩邊都為0，顯然成立；當(dāng)c0，d0時(shí)，原不等式化為(a2b2)d2b2d2，是顯然成立的；當(dāng)c0，d0時(shí)，道理和一樣，也是成立的所以當(dāng)cd0時(shí)，不等式也成立(2)由二維形式的柯西不等式推導(dǎo)出兩個(gè)非常有用的不等式：對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b，c，d，以下不等式成立：|acbd|；|ac|bd|.2對(duì)二維柯西不等式的認(rèn)識(shí)二維柯西不等式與中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)、幾何、三角等各方面都有聯(lián)系，熟悉這些聯(lián)系能更本質(zhì)的把握不等式，并更自覺(jué)地應(yīng)用它(1)由代數(shù)恒等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)2，把非負(fù)數(shù)(adbc)2舍去，易得不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(2)如圖，平面內(nèi)點(diǎn)B(c，d)到直線axby0的距離BH不大于線段OB的長(zhǎng)，因此有.即(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(3)如圖所示，構(gòu)造AOB，點(diǎn)A(a，b)，B(c，d)，在AOB中應(yīng)用余弦定理可得，cosAOB .|cosAOB|1，(acbd)2(a2b2)(c2d2)3巧用柯西不等式求最值應(yīng)用柯西不等式可以簡(jiǎn)便解答某些含有約束條件的多元變量的最值問(wèn)題解答此類題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)或兩個(gè)向量，使之符合柯西不等式的形式【例1】求證：.【變式訓(xùn)練1】已知a1，a2，b1，b2為正實(shí)數(shù)，求證：(a1b1a2b2)(a1a2)2.【例2】設(shè)x0，y0，且xy2，求的最小值【變式訓(xùn)練2】求函數(shù)y3的最大值【例3】已知x0，y0，且ab1，求證：(axby)2ax2by2.【變式訓(xùn)練3】設(shè)a0，b0，且ab1，求證：. 參考答案探究1提示不可以當(dāng)bd0時(shí)，柯西不等式成立，但不成立探究2 提示利用柯西不等式求最值問(wèn)題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋求不等式等號(hào)成立的條件.【例1】【證明】()2(xx)(yy)2，由柯西不等式，得(xx)(yy)(x1y2x2y1)2，其中當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y1時(shí)，等號(hào)成立x1y1x2y2.()2(xx)(yy)2(x1y1x2y2)(x1y1)2(x2y2)2.其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y1時(shí)成立【變式訓(xùn)練1】證明(a1b1a2b2)2(a1a2)2.【例2】【解】xy2，根據(jù)柯西不等式，有(2x)(2y)()2()2 2(xy)24，2.當(dāng)且僅當(dāng)，即xy1時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)xy1時(shí)，有最小值2.【變式訓(xùn)練2】解由題可知函數(shù)的定義域滿足即x1,5，令(3，)，(，)而y33|2.當(dāng)且僅當(dāng)3，即x時(shí)，取等號(hào)所以y的最大值為2.【例3】證明設(shè)m(x，y)，n(，)，則|axby|mn|m|n|，(axby)2ax2by2.【變式訓(xùn)練3】證明令，(，1)，則|.而| ，又|，|.由|，得.