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第六章 不 等 式
第1課時 一元二次不等式及其解法
掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數之間的關系并能靈活運用．
① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系.③ 會解含參數的一元二次不等式．
1. (必修5P77練習2(2)改編)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.
答案：
解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.
2. (必修5P75例1(1)改編)不等式2x2－x－1>0的解集是________．
答案：
解析：∵ 2x2－x－1>0，∴ (2x＋1)(x－1)>0，∴ x>1或x<－.
3. (必修5P77練習3(1)改編)不等式－x2－2x＋3>0的解集為__________．
答案：{x|－3
0對一切實數x恒成立，則實數k的取值范圍是________．
答案：k>2或k<－2
解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，解得k>2或k<－2.
5. 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，則不等式x2－bx－a＜0的解集是________．
答案：{x|20(a>0)的算法過程
1 一元二次不等式的解法
1 解關于x的不等式：ax2＋(a－2)x－2≥0.
解：① 當a＝0時，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.
② 當a＞0時，原不等式化為(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③ 當a＜0時，原不等式化為(x＋1)≤0.
當＞－1，即a＜－2時，解得－1≤x≤；
當＝－1，即a＝－2時，解得x＝－1；
當＜－1，即a＞－2時，解得≤x≤－1.
綜上所述，當a＝0時，不等式的解集為{x|x≤－1}；當a＞0時，不等式的解集為；當－2＜a＜0時，不等式的解集為；當a＝－2時，不等式的解集為{x|x＝－1}；當a＜－2時，不等式的解集為.
變式訓練
解關于x的不等式：ax2－ax＋1＜0.
解：當0≤a≤4時，解集為；
當a＞4時，＜x＜；
當a＜0時，x＜或x>.
, 2 一元二次不等式的恒成立問題)
, 2) 設函數f(x)＝mx2－mx－1.
(1) 若對于一切實數x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；
(2) 若對于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．
解：(1) 要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，顯然－1<0；
若m≠0，則解得－40時，g(x)在[1，3]上是增函數，
所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0，
所以m<，所以00，
m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因為函數y＝＝在[1，3]上的最小值為，所以只需m<即可，
所以m的取值范圍是.
變式訓練
已知函數f(x)＝x2＋ax＋3.
(1) 當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數a的取值范圍；
(2) 當x∈[－2，2]時，f(x)≥a恒成立，求實數a的取值范圍．
解：(1) 當x∈R時，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0對任意實數x恒成立，則Δ＝a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2，∴ 實數a的取值范圍是[－6，2]．
(2) 當x∈[－2，2]時，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0對任意x∈[－2，2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
∴ Δ≤0或或
解得－7≤a≤2.
∴ 實數a的取值范圍是[－7，2]．
, 3 三個二次之間的關系)
, 3) (1) 已知函數f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關于x的不等式f(x)0恒成立，則實數a的取值范圍是_________．
答案：(1) 9 (2) {a|a>－3}
解析：(1) 由題意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－.
∵ f(x)的值域為[0，＋∞)，
∴ b－＝0，即b＝，
∴ f(x)＝.
∵ f(x)0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立，
即當x≥1時，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．
而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上單調遞減，
∴ g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.
∴ 實數a的取值范圍是(－3，＋∞)．
已知x2＋px＋q＜0的解集為，則不等式qx2＋px＋1＞0的解集為________．
答案： {x|－2＜x＜3}
解析：∵ x2＋px＋q＜0的解集為，
∴ －，是方程x2＋px＋q＝0的兩實數根，
由根與系數的關系得解得
∴ 不等式qx2＋px＋1＞0可化為－x2＋x＋1>0，即x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，
∴ 不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．
, 4 一元二次不等式的應用)
, 4) 一個服裝廠生產風衣，月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關系為p＝160－2x，生產x件的成本R＝500＋30x(元)．
(1) 該廠月產量多大時，月利潤不少于1 300元？
(2) 當月產量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
解：(1) 由題意知，月利潤y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500.
由月利潤不少于1 300元，得－2x2＋130x－500≥1 300，即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45，故該廠月產量在20～45件時，月利潤不少于1 300元．
(2) 由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2＋，
由題意知，x為正整數，故當x＝32或33時，y最大為1 612，
所以當月產量為32或33件時，可獲得最大利潤，最大利潤為1 612元．
某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規(guī)律：每生產產品x(百臺)，總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為2萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產成本)；銷售收入R(x)(萬元)滿足：R(x)＝假定該產品產銷平衡，那么根據上述統計規(guī)律求下列問題．
(1) 要使工廠有贏利，產量x應控制在什么范圍內？
(2) 工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？
解：依題意，G(x)＝x＋2，設利潤函數為f(x)，則
f(x)＝
(1) 要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0，
當0≤x≤5時，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0，
即x2－8x＋7<0，得15時，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，∴ 55時，f(x)<8.2－5＝3.2，
所以，當工廠生產400臺產品時，贏利最多．
1. (2017蘇州期中)函數y＝的定義域為________．
答案：(－2，1]
解析：由≥0?－20，∵ x≥0時，f(x)＝x2－4x，∴ f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x.又f(x)為偶函數，
∴ f(－x)＝f(x)，∴ x<0時，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求f(x)<5的解，由得0≤x＜5；由得－50，ax2＋bx＋c<0的解就是使二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值大于0或小于0時x的范圍，應充分和二次函數圖象結合去理解一元二次不等式的解集．
2. 解含參數的不等式(x－a)(x－b)>0，應先討論a與b的大小再確定不等式的解，解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項系數的符號)，二算(計算判別式，判斷方程的根的情況)，三寫(寫出不等式的解集)．
3. 應注意討論ax2＋bx＋c>0的二次項系數a是否為0.
4. 要注意體會數形結合與分類討論的數學思想．分類討論要做到“不重”“不漏”“最簡”的三原則．[備課札記]
第2課時 二元一次不等式(組)與
簡單的線性規(guī)劃(對應學生用書(文)、(理)95～96頁)
會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．
① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．
1. (必修5P84練習3改編)點(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側，則a的取值范圍是________．
答案：－7＜a＜24
解析：點(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側，說明將這兩點坐標代入3x－2y＋a后，符號相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解得－7＜a＜24.
2. (必修5P86練習2(1)改編)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是________．
答案：25
解析：直線x－y＋4＝0與直線x＋y＝0的交點為A(－2，2)，直線x－y＋4＝0與直線x＝3的交點為B(3，7)，直線x＋y＝0與直線x＝3的交點為C(3，－3)，則不等式組表示的平面區(qū)域是一個以點A(－2，2)，B(3，7)，C(3，－3)為頂點的三角形，所以其面積為S△ABC＝510＝25.
3. 設實數x，y滿足則z＝3x＋2y的最大值是________．
答案：7
解析：由題設可知可行域的四個頂點坐標分別為(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．因此(3x＋2y)max＝31＋22＝7.
4. (必修5P89練習2改編)設變量x，y滿足約束條件：則z＝x－3y的最小值為________．
答案：－8
解析：畫出可行域與目標函數線，如圖可知，目標函數在點(－2，2)處取最小值－8.
5. 已知實數x，y滿足不等式組則z＝2x－y的最大值為________．
答案：8
解析：畫出可行域，如圖中陰影部分所示．由圖可知z＝2x－y在點A(4，0)處取最大值，即zmax＝8.
1. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
(1) 二元一次不等式表示的平面區(qū)域
一般地，直線y＝kx＋b把平面分成兩個區(qū)域，
y>kx＋b表示直線y＝kx＋b上方的平面區(qū)域，
y0，數形結合知使目標函數z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個；
若m>0，則－<0，數形結合可知，當動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(x，y)在線段AB上，使目標函數z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，則m＝1.
綜上可知，m＝1.
1. 確定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直線Ax＋By＋C＝0的哪一側區(qū)域，常用兩種方法：一是在直線的某一側取一特殊點；二是將不等式化為y>kx＋b(<，≥，≤)．
2. 在線性約束條件下，當b>0時，求目標函數z＝ax＋by＋c的最值的步驟：
(1) 作出可行域；
(2) 作出直線l0：ax＋by＝0；
(3) 平移直線l0：ax＋by＝0，依可行域判斷取得最值的最優(yōu)解的點；
(4) 解相關方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標函數的最值．
3. 常見的非線性目標函數的幾何意義：
(1) 表示點(x，y)與原點(0，0)的距離；
(2) 表示點(x，y)與點(a，b)的距離；
(3) 表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率值；
(4) 表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率值．[備課札記]
第3課時 基本不等式(對應學生用書(文)、(理)97～98頁)
掌握基本不等式，能利用基本不等式推導不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．
① 了解基本不等式的證明過程.② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．
1. (必修5P99練習4改編)若實數a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是________．
答案：6
解析：由基本不等式，得3a＋3b≥2＝2＝6，當且僅當a＝b＝1時取等號，所以3a＋3b的最小值是6.
2. (必修5P105復習題9改編)若f(x)＝x＋－2(x＜0)，則f(x)的最大值為________．
答案：－4
解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4，當且僅當－x＝，即x＝－1時取等號．
3. (必修5P105復習題10改編)若x>－3，則x＋的最小值為________．
答案：2－3
解析：∵ x＋3>0，∴ x＋＝(x＋3)＋－3≥2－3＝2－3，當且僅當x＋3＝，即x＝－3＋時取等號．
4. (原創(chuàng))若對任意x>0，≤a恒成立，則實數a的取值范圍是________．
答案：
解析：因為≤a恒成立，所以a≥.又＝≤＝，當且僅當x＝，即x＝1時等號成立，所以a≥.
5. (原創(chuàng))已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為________．
答案：9
解析：原不等式恒成立等價于m≤，而(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當a＝b時等號成立．所以m≤9，即m的最大值為9.
1. 算術平均數與幾何平均數
對于正數a，b，我們把稱為a，b的算術平均數，稱為a，b的幾何平均數．
2. 基本不等式≤
(1) 基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0；
(2) 等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號；
(3) 結論：兩個非負數a，b的算術平均數不小于其幾何平均數．
3. 幾個重要的不等式
(1) 重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．當且僅當a＝b時取等號．
(2) ab≤(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號．
(3) ≥(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號．[備課札記]
, 1 通過配湊法利用基本不等式求最值)
, 1) (1) 已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________；
(2) 若函數f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a＝________．
答案：(1) 1 (2) 3
解析：(1) 因為x<，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
當且僅當5－4x＝，即x＝1時等號成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.
(2) 因為x>2，所以x－2>0，則f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x－2＝，即x＝3時取等號．
所以當f(x)取最小值時，x＝3，即a＝3.
變式訓練
若－4＜x＜1，求的最大值．
解：＝＝[(x－1)＋]＝－.
∵ －4＜x＜1，∴ －(x－1)＞0，＞0.
從而≥2，
－≤－1，
當且僅當－(x－1)＝，即x＝0時取等號．即＝－1.
正數x，y滿足＋＝1.
(1) 求xy的最小值；
(2) 求x＋2y的最小值．
解：(1) 由1＝＋≥2得xy≥36，當且僅當＝，即x＝2，y＝18時取等號，故xy的最小值為36.
(2) 由題意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，當且僅當＝，即9x2＝2y2時取等號，故x＋2y的最小值為19＋6.
, 2 通過常數代換法或消元法利用基本不等式求最值)
, 2) (1) 已知x>0，y>0且x＋y＝1，則＋的最小值為________；
(2) 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
答案：(1) 18 (2) 6
解析：(1) (常數代換法)
∵ x>0，y>0且x＋y＝1，∴ ＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.
當且僅當＝，即x＝2y時等號成立，
∴ 當x＝，y＝時，＋有最小值18.
(2) 由已知得x＝.
(解法1：消元法)
∵ x>0，y>0，∴ y<3，∴ x＋3y＝＋3y＝＋(3y＋3)－6≥2－6＝6，
當且僅當＝3y＋3，即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6.
(解法2)∵ x>0，y>0，∴ 9－(x＋3y)＝xy＝x(3y)≤，
當且僅當x＝3y時等號成立．
設x＋3y＝t>0，則t2＋12t－108≥0，
∴ (t－6)(t＋18)≥0.
又t>0，∴ t≥6.
故當x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6.
變式訓練
(1) 已知正實數x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________；
(2) 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，則x＋y的最小值為________．
答案：(1) 2－3 (2) 18
解析：(1) 由xy＋2x＋y＝4，解得y＝，則x＋y＝x－2＋＝(x＋1)＋－3≥2－3，當且僅當x＝－1時等號成立．
(2) 由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴ ＋＝1，
∴ x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋22＝18，當且僅當＝，即x＝2y時取等號．又2x＋8y－xy＝0，∴ x＝12，y＝6，
即當x＝12，y＝6時，x＋y取最小值18.
, 3 基本不等式與函數的綜合應用)
, 3) 已知函數f(x)＝(a∈R)，若對于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________．
答案：
解析：對任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，可得
a≥－＋3.
設g(x)＝x＋，x∈N*.
∵ g(x)在(0，2]上單調遞減，在[2，＋∞)上單調遞增，而x∈N*，∴ g(x)在x取距離2較近的整數值時達到最小，而距離2較近的整數為2和3，且g(2)＝6，g(3)＝.
∵ g(2)>g(3)，∴ g(x)min＝.
∴ －＋3≤－，
∴ a≥－，故a的取值范圍是.
變式訓練
要制作一個如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5 m2，其中四邊形ABCD是一個矩形，四邊形EFCD是一個等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，設AB＝x m，BC＝y m.
(1) 求y關于x的函數解析式；
(2) 怎樣設計x，y的長度，才能使所用材料最少？
解：(1) 如圖，作DH⊥EF于點H.
依題意，DH＝AB＝x，
EH＝＝x＝x，
∴ ＝xy＋x＝xy＋x2，
∴ y＝－x.
∵ x＞0，y＞0，
∴ －x＞0，解得0＜x＜，
∴ 所求解析式為y＝－x.
(2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，
∴ DE＝＝x＝x，
設框架的周長為l m.
則l＝(2x＋2y)＋2x＋
＝2y＋6x＝－x＋6x
＝＋x≥2 ＝26.
當且僅當＝x，即x＝3時取等號，此時y＝－x＝4，
∴ AB＝3 m，BC＝4 m時，能使整個框架所用材料最少．
, 4 基本不等式的實際應用)
, 4) 某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O的兩條直線段圍成的．按設計要求扇環(huán)面的周長為30 m，其中大圓弧所在圓的半徑為10 m．設小圓弧所在圓的半徑為x m，圓心角為θ(弧度)．
(1) 求θ關于x的函數解析式；
(2) 已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關于x的函數解析式，并求出x為何值時，y取得最大值．
解：(1) 由題意可得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝(0＜x＜10)．
(2) 花壇的面積為θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10)．
裝飾總費用為9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花壇的面積與裝飾總費用的比y＝＝－.令t＝17＋x，則y＝－≤，當且僅當t＝18時取等號，此時x＝1，θ＝.
所以當x＝1時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．
去年冬季，我國多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來每只成本為6元，售價為8元，月銷售5萬只．
(1) 據市場調查，若售價每提高0.5元，月銷售量將相應減少0.2萬只，要使月總利潤不低于原來的月總利潤(月總利潤＝月銷售總收入－月總成本)，該口罩每只售價最多為多少元？
(2) 為提高月總利潤，廠家決定下月進行營銷策略改革，計劃每只售價x(x≥9)元，并投入(x－9)萬元作為營銷策略改革費用．據市場調查，每只售價每提高0.5元，月銷售量將相應減少萬只．則當每只售價x為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤．
解：(1) 設每只售價為x元(x>8)，則月銷售量為萬只，由已知得(x－6)≥(8－6)5，∴ x2－x＋≤0，即2x2－53x＋296≤0，解得8≤x≤，即每只售價最多為18.5元．
(2) 下月的月總利潤y＝(x－6)－(x－9)＝－x＋＝－x＋＝－＋.∵ x≥9，∴ ＋≥2＝，當且僅當＝，即x＝10時取等號，ymax＝14.
答：當x＝10時，下月的月總利潤最大，且最大利潤為14萬元．
1. (2017蘇北四市模擬)若實數x，y滿足xy＋3x＝3，則＋的最小值是________．
答案：8
解析：由已知得x＝，而0＜x＜，所以y＞3.則＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥8，當且僅當y＝4，x＝時等號成立．即＝8.
2. (2017蘇州期末)已知正數x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值為________．
答案：
解析：由x＋y＝1，得x＋2＋y＋1＝4，＋＝(x＋2＋y＋1)＝[4＋1＋＋]≥(5＋4)＝，當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號．即＝.
3. (2017泰州、南通模擬)若正實數x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值是________．
答案：8
解析：＋＝＋＝(x＋y)－1＝＋＋4≥8.當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號．
4. (2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知a，b均為正數，且ab－a－2b＝0，則－＋b2－的最小值為________．
答案：7
解析：∵ a，b均為正數，且ab－a－2b＝0，即a＋2b＝ab，∴ ＋＝1.
則－＋b2－＝＋b2－1.
＋b＝＝＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當a＝4，b＝2時取等號．
∴ ＋b2≥≥8，當且僅當a＝4，b＝2時取等號．
∴ －＋b2－＝＋b2－1≥7.
5. (2016江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是__________．
答案：8
解析：(解法1)∵ sin A＝2sin Bsin C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴ sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
兩邊同除以cos Bcos C，可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－tan Btan C＝，
由三角形為銳角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，則tan Atan Btan C＝＝2t＋＋4≥8，
當且僅當t＝1，即tan Btan C＝2時取等號．
(解法2)同解法1可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan Atan Btan C，
∴ tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2?tan Atan Btan C≥8，
當且僅當tan A＝2tan Btan C＝4時取等號．
, 7. 忽視最值取得的條件致誤)
典例 (1) 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，則x＋y的最小值是________；
(2) 函數y＝1－2x－(x＜0)的最小值為________．
易錯分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等號成立的條件．如：∵ 1＝＋≥2，∴ ≥2，∴ x＋y≥2≥4，∴ (x＋y)min＝4.
(2) 沒有注意到x＜0這個條件，誤用基本不等式得2x＋≥2.
解析：(1) ∵ x＞0，y＞0，
∴ x＋y＝(x＋y)＝3＋＋≥3＋2(當且僅當y＝x時取等號)，
∴ 當x＝＋1，y＝2＋時，(x＋y)min＝3＋2.
(2) ∵ x＜0，∴ y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，當且僅當x＝－時取等號，故y的最小值為1＋2.
答案：(1) 3＋2 (2) 1＋2
特別提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件；(2) 盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致．
1. 已知正數a，b滿足＋＝－5，則ab的最小值為________．
答案：36
解析：由＋＝－5≥2，得ab－5－6≥0，解得≥6，ab≥36.
2. 已知a＋b＝2，b＞0，當＋取最小值時，實數a的值是________．
答案：－2
解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，當且僅當a＝－2，b＝4時等號成立．
3. (2017南京三模)已知a，b，c為正實數，且a＋2b≤8c，＋≤，則的取值范圍是________．
答案：[27，30]
解析：因為a，b，c為正實數，對a＋2b≤8c的左右兩邊同除以c，得＋≤8；對＋≤的左右兩邊同乘c，得＋≤2；令x＝，y＝，則條件可轉化為
再進行化簡，可得即求z＝＝3x＋8y的取值范圍，轉化為線性規(guī)劃的問題，畫出可行域，對y＝＋求導，并令導函數值為－，可得切點橫坐標為3，代入曲線，計算出切點坐標為，利用線性規(guī)劃，可知z＝3x＋8y分別在(2，3)和處取最值，可得的取值范圍是[27，30]．
4. (2017無錫期末)已知a>0，b>0，c>2，且a＋b＝2，則＋－＋的最小值為________．
答案：＋
解析：由a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，得＋－＋＝c＋＝＋.由2＝，可得＝＝≥＝，當且僅當b＝a時等號成立，則原式≥c＋＝≥＝＋.當且僅當c＝2＋時等號成立．
1. a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，而≥成立的條件是a≥0，b≥0，使用時要注意公式成立的前提條件．
2. 在運用基本不等式時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“一正”(即條件中字母為正數)“二定”(不等式的另一邊必須為定值)“三相等”(等號取得的條件)．
3. 正確理解定理：“和一定，相等時積最大；積一定，相等時和最小”．
4. 連續(xù)使用公式兩次或以上，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．
5. 掌握函數y＝ax＋(a>0，b>0)的單調性，特別是當運用基本不等式不能滿足“三相等”時．[備課札記]
第4課時 不等式的綜合應用(對應學生用書(文)、(理)99～100頁)
掌握不等式的綜合應用；掌握基本不等式的綜合應用；掌握不等式與其他函數方程等知識的綜合應用．
解決應用性問題的基本思路：讀題(背景、結論)—條件—建?！忸}—反思—作答．
1. (必修5P102習題7改編)函數y＝x＋(x≠0)的值域是________．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析：當x>0時，y＝x＋≥2＝4；當x<0時，y＝x＋＝－≤－2＝－4.
2. (必修5P102習題9改編)某種產品按下列三種方案兩次提價．方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價%，第二次提價%.其中p>q>0，上述三種方案中提價最多的是________．
答案：方案丙
解析：設原來價格為A，方案甲：經兩次提價后價格為A＝A；方案乙：經兩次提價后價格為A；方案丙：經兩次提價后價格為A＝A[1＋＋]．因為>，所以方案丙提價最多．
3. 設x∈R，f(x)＝，若不等式f(x)＋f(2x)≤k對于任意的x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是________．
答案：k≥2
解析：不等式轉化為k≥＋，因為∈(0，1]，所以k≥2.
4. (必修5P106復習題16改編)已知x>0，y>0且滿足＋＝1，則x＋y的最小值是________ .
答案：18
解析：∵ x>0，y>0，∴ x＋y＝(x＋y)＝2＋8＋＋≥10＋2＝18，當且僅當＝時等號成立．又＋＝1，∴ 當x＝6，y＝12時，x＋y有最小值18.
5. 若正數a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________．
答案：[9，＋∞)
解析：由a>0，b>0，得a＋b≥2，則ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0?≥3，∴ ab≥9.[備課札記]
, 1 含參數的不等式問題)
, 1) 若不等式組的解集中所含整數解只有－2，求k的取值范圍．
解：由x2－x－2>0得x＜－1或x＞2，
由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0得(2x＋5)(x＋k)＜0，
因為－2是原不等式組的解，所以k＜2.
由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－k.
因為原不等式組的整數解只有－2，
所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，
故k的取值范圍是[－3，2)．
變式訓練
解關于x的不等式＞0 (a∈R)．
解：原不等式等價于(ax－1)(x＋1)＞0.
① 當a＝0時，由－(x＋1)＞0，得x＜－1；
② 當a＞0時，不等式化為(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞；
③ 當a＜0時，不等式化為(x＋1)＜0；
若＜－1，即－1＜a＜0，則＜x＜－1；
若＝－1，即a＝－1，則不等式解集為空集；
若＞－1，即a＜－1，則－1＜x＜.
綜上所述，a＜－1時，解集為；a＝－1時，原不等式無解；－1＜a＜0時，解集為；a＝0時，解集為{x|x＜－1}；a＞0時，解集為.
, 2 不等式在實際問題中的應用)
, 2) 某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120)時，每小時的油耗(所需要的汽油量)為L，其中k為常數，且60≤k≤100.
(1) 若汽車以120 km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5 L，欲使每小時的油耗不超過9 L，求x的取值范圍；
(2) 求該汽車行駛100 km的油耗的最小值．
解：(1) 由題意，當x＝120時，＝11.5，所以k＝100.
由≤9，得x2－145x＋4 500≤0，
∴ 45≤x≤100.
∵ 60≤x≤120，∴ 60≤x≤100.
(2) 設該汽車行駛100 km的油耗為y L，則
y＝＝20－＋(60≤x≤120)．
令t＝，則t∈，
∴ y＝90 000t2－20kt＋20＝90 000＋20－.
對稱軸為直線t＝.∵ 60≤k≤100，∴ ∈.
① 若≥，即75≤k≤100，則當t＝，即x＝時，ymin＝20－；
② 若＜，即60≤k＜75，則當t＝，即x＝120時，ymin＝－.
答：當75≤k≤100時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L；當60≤k＜75時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L.
現有一占地1 800 m2的矩形地塊，中間三個矩形設計為花圃(如圖)，種植不同品種的觀賞花卉，周圍則均是寬為1 m的賞花小徑，設花圃占地面積為S m2，設矩形一邊的長為x(如圖所示)．
(1) 試將S表示為x的函數；
(2) 問應該如何設計矩形地塊的邊長，使花圃占地面積S取得最大值？
解：(1) 由題知S＝a(x－2)＋2a(x－3)＝a(3x－8)，
又3a＋3＝，則a＝－1，
所以S＝(3x－8)＝1 808－3x－.
(2) S＝1 808－3x－＝1 808－3≤1 808－240＝1 568(當且僅當x＝40時取等號)，此時另一邊長為45 m .
答：當x＝40 m，另一邊長為45 m時花圃占地面積S取得最大值1 568 m2.
, 3 基本不等式的靈活運用)
, 3) 設x，y均為正實數，且＋＝1，則xy的最小值為__________．
答案：16
解析：由＋＝1，得xy＝8＋x＋y.
∵ x，y均為正實數，∴ xy＝8＋x＋y≥8＋2(當且僅當x＝y時等號成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16.故xy的最小值為16.
變式訓練
已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，則＋的最小值為________．
答案：
解析：將x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋.設＝t＞0，則原式＝＋＝＝＝[(1＋2t)＋＋1]≥2＋＝，當且僅當t＝，即x＝，y＝時等號成立．
1. 已知正數x，y滿足x＋2y＝1，則的最大值為________．
答案：
解析：∵ 正數x，y滿足x＋2y＝1，
∴ ＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
當且僅當＝，即x＝，y＝時取等號，
∴ 的最小值為18，∴ 的最大值為.
2. 若x＞0，y＞0，則＋的最小值為________．
答案：－
解析：設＝t＞0，則＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，當且僅當t＝＝時取等號．
3. 若x，y，z均為正實數，且x2＋y2＋z2＝1，則的最小值為________．
答案：3＋2
解析：x，y，z均為正實數，且x2＋y2＋z2＝1，可得1－z2＝x2＋y2≥2xy，當且僅當x＝y時取等號，則
≥＝＝≥＝3＋2.當且僅當z＝－1，即x＝y＝時，取得最小值3＋2.
4. 已知x＞y＞0，且x＋y≤2，則＋的最小值為________．
答案：
解析：由x＞y＞0，可得x＋3y＞0，x－y＞0，
[(x＋3y)＋(x－y)]＝5＋＋≥5＋2＝9，可得＋≥＝≥.
當且僅當2(x－y)＝x＋3y，即x＝5y＝時，取得最小值.
5. (2017蘇州期中)如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經測量BC＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD＝120，擬過線段BC上一點E設計一條直路EF(點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度)，EF將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍．設EC ＝x百米，EF＝y百米．
(1) 當點F與點D重合時，試確定點E的位置；
(2) 試求x的值，使路EF的長度y最短．
解：(1) 平行四邊形ABCD的面積為S?ABCD＝212sin 120＝，
當點F與點D重合時，S△CFE＝CECDsin 120＝x.
∵ S△CFE＝S?ABCD，∴ x＝，∴ x＝1，
∴ E是BC的中點．
(2) ① 當點F在CD上時，
∵ S△CFE＝CECFsin 120＝S?ABCD＝，
∴ CF＝.
在△CFE中，EF2＝CE2＋CF2－2CECFcos 120，
∴ y＝≥，當且僅當x＝1時取等號，
此時E在BC中點處且F與D重合，符合題意；
② 當點F在DA上時，
∵ S梯形CEFD＝＝S?ABCD＝，
∴ DF＝1－x.
(ⅰ) 當CE＜DF時，過E作EG∥CD交DA于G，
在△EGF中，EG＝1，GF＝1－2x，∠EGF＝60，由余弦定理得y＝；
(ⅱ) 當CE≥DF時，過E作EG∥CD交DA于G，
在△EGF中，
2019版高考數學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第六章 不等式學案.doc
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