2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第二講 數(shù)列的綜合應(yīng)用教案 文.docx

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第二講數(shù)列的綜合應(yīng)用年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學(xué)科素養(yǎng)2018卷等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最值問題T17命題分析數(shù)列在解答題中的考查常從數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)以及關(guān)系式，或數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系入手，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式與等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義展開，求解數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，有時(shí)與參數(shù)的求解、數(shù)列、不等式的證明等加以綜合試題難度中等學(xué)科素養(yǎng)通過遞推關(guān)系求通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)結(jié)構(gòu)選擇恰當(dāng)?shù)那蠛头椒ㄇ蠛?2017卷等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用T17卷已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)與裂項(xiàng)求和T172016卷等差數(shù)列的基本運(yùn)算T 17卷數(shù)列的通項(xiàng)公式T17由遞推關(guān)系求通項(xiàng)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第30頁悟通方法結(jié)論求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法(1)定義法：形如an1anC(C為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列形如an1kan(k為非零常數(shù))且首項(xiàng)不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列(2)疊加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通項(xiàng)公式(3)疊乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通項(xiàng)公式(4)待定系數(shù)法：形如an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tp(ant)，其中t，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解(5)構(gòu)造法：形如an1panqn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得，構(gòu)造新數(shù)列bn，得bn1bn，接下來用待定系數(shù)法求解全練快速解答1(2018洛陽四校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足條件a1a2a3an2n5，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan2n1BanCan2nDan2n2解析：由題意可知，數(shù)列an滿足條件a1a2a3an2n5，則n2時(shí)，有a1a2a3an12(n1)5，n2，兩式相減可得，2n52(n1)52，an2n1，n2，nN*.當(dāng)n1時(shí)，7，a114，綜上可知，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an答案：B2(2018潮州月考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，a11，an12Sn1(n1，nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_解析：法一：由an12Sn1可得an2Sn11(n2)，兩式相減得an1an2an，即an13an(n2)又a22S113，a23a1，故an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，an3n1.法二：由于an1Sn1Sn，an12Sn1，所以Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，所以Sn13，所以數(shù)列為首項(xiàng)是S1，公比為3的等比數(shù)列，故Sn3n13n，即Sn3n.所以，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n1，由n1時(shí)a11也適合這個(gè)公式，知所求的數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an3n1.答案：an3n13(2018福州模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an1.(1)證明數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，a1S12a11，所以a11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2an1)(2an11)，所以an2an1，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知，an2n1，所以bn(2n1)2n1，所以Tn132522(2n3)2n2(2n1)2n12Tn12322(2n3)2n1(2n1)2n由得Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n1)2n(32n)2n3，所以Tn(2n3)2n3.【類題通法】由an與Sn關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng)(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1也適合，則需統(tǒng)一“合寫”(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1不適合，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an數(shù)列求和授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第31頁悟通方法結(jié)論常用求和方法(1)錯(cuò)位相減法：適用于各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列把Sna1a2an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSna1qa2qanq，兩式錯(cuò)位相減即可求出Sn.(2)裂項(xiàng)相消法：即將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中an是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列(3)拆項(xiàng)分組法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))，再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列，最后分別求和(2017高考全國(guó)卷)(12分)設(shè)數(shù)列an滿足(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)審題條件信息想到方法注意什么由a13a2(2n1)an2nan與Sn的關(guān)系求解分n1，n2討論由根據(jù)通項(xiàng)結(jié)構(gòu)選裂項(xiàng)求和裂項(xiàng)時(shí)消去項(xiàng)與保留項(xiàng)的首尾對(duì)應(yīng)規(guī)范解答(1)因?yàn)閍13a2(2n 1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1) (2分)兩式相減得(2n 1)an2，d所以an(n2) (4分)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，從而an的通項(xiàng)公式為an. (6分)(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知. (10分)則Sn. (12分)【類題通法】1分類討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用(1)當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)中含有(1)n時(shí)，在求和時(shí)要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)處理(2)對(duì)已知數(shù)列滿足q，在求an的前n項(xiàng)和時(shí)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和2學(xué)科素養(yǎng)：通過數(shù)列求和著重考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力練通即學(xué)即用1已知函數(shù)f(n)且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100()A0B100C100D10 200解析：由題意，a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100，故選B.答案：B2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10等于()A15B12C12D15解析：an(1)n(3n2)，a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3515.答案：A3(2018張掖診斷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，其中nN*，若數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解析：(1)由a13a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，兩式相減并化簡(jiǎn)得an1an，ann1，bnlog2an1log2n2n.(2)由題意知，cn.令Hn，則Hn，得，Hn1.Hn2.又Mn11，TnHnMn2.數(shù)列的綜合應(yīng)用授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第32頁悟通方法結(jié)論數(shù)列中的綜合問題，大多與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何交匯，考查利用函數(shù)與方程的思想及分類討論思想解決數(shù)列中的問題，用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列與解析幾何交匯，主要涉及點(diǎn)列問題(1)(2018德州模擬)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)An(n，an)(nN*)為函數(shù)f(x)的圖象上的任意一點(diǎn)，向量i(0,1)，n是向量與i的夾角，則數(shù)列的前2 015項(xiàng)的和為()A2B.C.D1解析：因?yàn)閍n，所以(n，)，所以cos n，因?yàn)?n，所以sin n，所以，所以11.答案：C(2)(2018日照模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：2Snan1.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn.解析：因?yàn)?Snan1，所以2Sn1an11，兩式相減可得2an1an1an0，即3an1an，即，又2S1a11，所以a1，所以數(shù)列an是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列故an()n1()n，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an()n.證明：因?yàn)閎n，所以bn.故Tnb1b2bn()()().所以Tn.【類題通法】數(shù)列與不等式的交匯多為不等式恒成立與證明，在求解時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化即分離參數(shù)法與放縮法的技巧應(yīng)用練通即學(xué)即用1(2018寶雞摸底)正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a2 017a2 0162a2 015，若aman16a，則的最小值等于()A.1B.C.D.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，且q0，a2 015q2a2 015q2a2 015，q2q20，q2或q1(舍去)，又a1qm1a1qn116a，2mn216，mn24，mn6，當(dāng)且僅當(dāng)m4，n2時(shí)等號(hào)成立故的最小值為.答案：B2(2018煙臺(tái)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)(x0)，數(shù)列an滿足a11，anf()，nN*，且n2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)nN*，設(shè)Sn，若Sn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解析：(1)由anf()得，anan1，nN*，n2，所以an是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列所以an1(n1)，nN*.(2)因?yàn)閍n，所以an1，所以()則Sn().故Sn恒成立等價(jià)于，即t恒成立令g(x)(x0)，則g(x)0，所以g(x)(x0)為單調(diào)遞增函數(shù)所以當(dāng)n1時(shí)，取得最小值，且()min.所以t，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是(，.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第120頁一、選擇題1已知數(shù)列an滿足a15，anan12n，則()A2B4C5D.解析：因?yàn)?2，所以令n3，得224，故選B.答案：B2在數(shù)列an中，a11，a22，an2an1(1)n，那么S100的值為()A2 500B2 600C2 700D2 800解析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an2an0an1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an2an2ann，故an于是S100502 600.答案：B3(2018海淀二模)在數(shù)列an中，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比為2的等比數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)an0時(shí)，也有an2an1，n2,3,4，但an不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當(dāng)an是公比為2的等比數(shù)列時(shí)，有2，n2,3,4，即an2an1，n2,3,4，所以必要性成立答案：B4若數(shù)列an滿足a115，且3an13an2，則使akak10的k值為()A22B21C24D23解析：因?yàn)?an13an2，所以an1an，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為15，公差為的等差數(shù)列，所以an15(n1)n，令ann0，得n23.5，所以使akak10的k值為23.答案：D5已知數(shù)列an滿足a11，an1則其前6項(xiàng)之和為()A16B20C33D120解析：a22a12，a3a213，a42a36，a5a417，a62a514，所以前6項(xiàng)和S6123671433，故選C.答案：C6已知等差數(shù)列an的公差為d，關(guān)于x的不等式dx22a1x0的解集為0,9，則使數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn最大的正整數(shù)n的值是()A4B5C6D7解析：關(guān)于x的不等式dx22a1x0的解集為0,9，0,9是一元二次方程dx22a1x0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且d0，9，a1.ana1(n1)d(n)d，可得a5d0，a6d0.使數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn最大的正整數(shù)n的值是5.答案：B7(2018湘中名校聯(lián)考)若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，則使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大正整數(shù)n是()A2 016B2 017C4 032D4 033解析：因?yàn)閍10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以d0，a2 0160，a2 0170，所以S4 0320，S4 0334 033a2 0170，所以使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大正整數(shù)n是4 032.答案：C8已知數(shù)列an，“|an1|an”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：|an1|an，或又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，an1an，“|an1|an”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件答案：D二、填空題9(2018沈陽模擬)在數(shù)列an中，a11，a22，an13an2an1(n2)，則an_.解析：法一：因?yàn)閍n13an2an1(n2)，所以2(n2)，所以an1an(a2a1)2n12n1(n2)，又a2a11，所以anan12n2，an1an22n3，a2a11，累加，得an2n1(nN*)法二：因?yàn)閍n13an2an1(n2)，所以an12anan2an1，得an12anan2an1an12an2a22a10，即an2an1(n2)，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1(nN*)答案：2n1(nN*)10(2018遼寧五校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a13且當(dāng)n2時(shí)，2anSnSn1，則an的通項(xiàng)公式an_.解析：當(dāng)n2時(shí)，由2anSnSn1可得2(SnSn1)SnSn1，即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，()(n1)，Sn.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，又a13，an答案：11(2018廣州調(diào)研)已知數(shù)列an滿足a11，an1aan，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則_.解析：因?yàn)閍n1aan，所以，即，于是.因?yàn)閍11，a221，a361，可知(0,1)，則(0,1)，所以0.答案：012已知數(shù)列an滿足a140，且nan1(n1)an2n22n，則an取最小值時(shí)n的值為_解析：由nan1(n1)an2n22n2n(n1)，兩邊同時(shí)除以n(n1)，得2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為40、公差為2的等差數(shù)列，所以40(n1)22n42，所以an2n242n，對(duì)于二次函數(shù)f(x)2x242x， 在x10.5時(shí)，f(x)取得最小值，因?yàn)閚取正整數(shù)，且10和11到10.5的距離相等，所以n取10或11時(shí)，an取得最小值答案：10或11三、解答題13(2018棗莊模擬)已知方程anx2an1x10(an0)有兩個(gè)根n、n，a11，且滿足(1)(1)12n，其中nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnlog2(an1)，cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解析：(1)由已知可得，又(1)(1)12n，112n，整理得，an1an2n，其中nN*.an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12n12n222212n1.(2)由(1)知，bnlog2(2n11)n，cnn(2n1)n2nn.Tnc1c2cn12222323n2n(12n)，設(shè)Pn12222323n2n，則2Pn122223324(n1)2nn2n1，得Pn222232nn2n1n2n1(1n)2n12，Pn(n1)2n12.又Qn12n，TnPnQn(n1)2n12.14(2018九江一中模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a223a72，且，S3成等比數(shù)列，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)于任意的nN*，都有64Tn|31|成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由得，即，解得或.當(dāng)a1，d時(shí)，沒有意義，a12，d2，此時(shí)an22(n1)2n.(2)bnTnb1b2b3bn()()()1，64Tn545，為滿足題意，只需|31|5，2或.