2019屆高考數學總復習 第九單元 解析幾何 第60講 拋物線檢測.doc

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第60講　拋物線 1．設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離為4，則點P到該拋物線的焦點的距離是(B) A．4 B．6 C．8 D．12 因為y2＝8x的焦點F(2,0)，準線x＝－2， 由P到y(tǒng)軸的距離為4知，P到準線的距離為6， 由拋物線的定義知P到焦點F的距離為6. 2．(2013新課標卷Ⅰ)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為(C) A．2 B．2 C．2 D．4 設P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝4， 所以x0＝3，所以y＝4x0＝43＝24， 所以|y0|＝2，因為F(，0)， 所以S△POF＝|OF||y0|＝2＝2. 3．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(A) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 由拋物線的定義可知|PiF|＝xi＋＝xi＋1， 所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝10＋n. 4．(2016新課標卷Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝(D) A. B．1 C. D．2 因為y2＝4x，所以F(1,0)．又因為曲線y＝(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，所以P(1,2)．將點P(1,2)的坐標代入y＝(k>0)得k＝2.故選D. 5．(2018廣東七校聯(lián)考)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，若|AF|＝3，則|BF|＝　　. 設A，B的橫坐標分別為xA，xB， 由拋物線的定義可知|AF|＝xA＋＝xA＋1＝3， 所以xA＝2， 又AB是拋物線的焦點弦，xA，xB滿足xAxB＝＝1， 所以xB＝，所以|BF|＝xB＋＝＋1＝. 6．(2016湖南省六校聯(lián)考)若以雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點F1，F(xiàn)2和點M(1，)為頂點的三角形為直角三角形，則y2＝4bx的焦點坐標為　(1,0)　. 顯然點M(1，)為直角頂點， 所以|OM|＝＝|F1F2|＝c，所以b＝1. 故拋物線為y2＝4x，其焦點為(1,0)． 7．已知斜率為1的直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點． (1)求直線l的方程(用p表示)； (2)若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：|AB|＝x1＋x2＋p； (3)若|AB|＝4，求拋物線方程． (1)因為拋物線的焦點F的坐標為(，0)， 又因為直線l的斜率為1， 所以直線l的方程為：y＝x－. (2)證明：過點A，B分別作準線的垂線AA′，BB′，交準線于A′，B′， 則由拋物線的定義得： |AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′| ＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p. (3)由|AB|＝4，得x1＋x2＋p＝4， 直線y＝x－與拋物線方程聯(lián)立， ?x2－3px＋＝0， 由韋達定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4， 解得p＝1，故拋物線方程為y2＝2x. 8．(2017新課標卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(C) A. B．2 C．2 D．3 拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.由直線方程的點斜式可得直線MF的方程為y＝(x－1)． 聯(lián)立得方程組解得或 因為點M在x軸的上方，所以M(3,2)． 因為MN⊥l，所以N(－1,2)． 所以|NF|＝ ＝4， |MF|＝＝4， |MN|＝ ＝4. 所以△MNF是邊長為4的等邊三角形． 所以點M到直線NF的距離為2. 9．已知以F為焦點的拋物線y2＝4x上的兩點A，B滿足＝2，則弦AB的中點到拋物線準線的距離為　　. 設AB的中點為C，AB的延長線與準線相交于D， 設A，B，C，F(xiàn)在準線上的投影分別為A′，B′，C′，F(xiàn)′，設FB＝t，則AF＝2t， 由拋物線的定義，知AA′＝2t，BB′＝t， 所以BB′為△DA′A的中位線，所以BD＝3t， 由△DF′F∽△DC′C，得＝， 所以＝，解得C′C＝. 10．(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0)． (1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程； (2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q. ①求證：線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)； ②求p的取值范圍． (1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為(，0)， 由點(，0)在直線l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0， 即p＝4.所以拋物線C的方程為y2＝8x. (2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點M(x0，y0)． 因為點P和Q關于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為－1，則可設其方程為y＝－x＋b. ①證明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*) 因為P和Q是拋物線C上的相異兩點，所以y1≠y2， 從而Δ＝(2p)2－4(－2pb)>0，化簡得p＋2b>0. 方程(*)的兩根為y1,2＝－p， 從而y0＝＝－p. 因為M(x0，y0)在直線l上，所以x0＝2－p. 因此，線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)． ②因為M(2－p，－p)在直線y＝－x＋b上， 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p. 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<. 因此，p的取值范圍是(0，)．