沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專題10 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（含解析）.doc

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專題10 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 【自主熱身，歸納總結(jié)】 1、 已知向量a，b滿足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，則向量a，b的夾角為________． 【答案】 　 【解析】：設(shè)向量a，b的夾角為θ，由|a－b|＝得，21＝2＝a2＋b2－2ab＝25＋1－25cosθ，即cosθ＝，所以向量a，b的夾角為. 2、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，則向量a，b的夾角為________． 【答案】. π 3、已知平面向量a＝(2，1)，ab＝10，若|a＋b|＝5，則|b|的值是________． 【答案】5　 【解析】：因?yàn)?0＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝5＋20＋|b|2，所以|b|＝5. 4、 已知平面向量a＝(4x,2x)，b＝（1，），x∈R，若a⊥b，則|a－b|＝________. 【答案】. 2　 【解析】：因?yàn)閍⊥b，所以4x＋2x＝4x＋2x－2＝0，解得2x＝－2(舍)或2x＝1，故a＝(1,1)，b＝(1，－1)，故a－b＝(0,2)，故|a－b|＝2. 5、如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA＝3，OC＝5.若＝－7，則的值是________． 【答案】 9　 【解析】：＝(－)(－)＝(＋)(－)＝OC2－OD2，類似＝AO2－OD2＝－7，所以＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9. 思想根源 極化恒等式：ab＝2－2.在△ABC中，若M是BC的中點(diǎn)，則＝AM2－MC2.其作用是：用線段的長度來計算向量的數(shù)量積． 6、 已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與2a－b夾角的余弦值為________． 【答案】：　 解法1 因?yàn)榉橇阆蛄縜，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2ab＋b2，ab＝－a2＝－b2， 所以a(2a－b)＝2a2－ab＝a2，|2a－b|＝＝＝|a|， cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝. 解法2 因?yàn)榉橇阆蛄縜，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以〈a，b〉＝， 所以a(2a－b)＝2a2－ab＝2a2－|a||b|cos＝a2，|2a－b|＝＝＝＝|a|. 以下同解法1. 解后反思 解法2充分挖掘題目條件“非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|”，可構(gòu)造一個內(nèi)角為的菱形，向量a，b為此菱形的一組鄰邊，且其夾角為.類似地，若將條件變?yōu)椤皘a|＝|b|＝|a－b|”，同樣可構(gòu)造一個內(nèi)角為的菱形，向量a，b為此菱形的一組鄰邊，但其夾角應(yīng)為. 7、 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60，若點(diǎn)P滿足＝＋λ，且＝1，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 【答案】： 1或－　 解法1 由題意可得－＝＝λ.又＝－＝＋(λ－1)，所以＝λ＋λ(λ－1)||2＝1，即λ＋(λ2－λ)4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－. 解法2 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以A(0,0)，B，C(2,0)，設(shè)P(x，y)． 所以＝(x，y)，＝，＝(2,0)． 又因?yàn)椋剑耍杂? 所以＝(2λ，0)，＝. 由＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－. 解后反思 用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重點(diǎn)，如何基底化需要積累經(jīng)驗(yàn)，如果不能基底化，也可以恰當(dāng)建系，正確給出每個點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)運(yùn)算 8、如圖，在△ABC中，已知邊BC的四等分點(diǎn)依次為D，E，F(xiàn).若＝2，＝5，則AE的長為________． 【答案】 　 解決平面向量問題有三種常見方法：基底法、坐標(biāo)法和幾何法，由于本題求線段AE長，且點(diǎn)B，C，D，E，F(xiàn)共線，故可以用向量，作為基底． 解法3(基底法) 因?yàn)镋在中線AD上，所以可設(shè)＝λ(＋)，則＝(1－λ)－λ，同理＝(1－λ)－λ，所以＝－3[(1－λ)2＋λ2]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由E＝0，得(＋)[(1－λ)－λ]＝0，可解得λ＝.從而＝－3－＝－. 對于平面向量數(shù)量積的計算主要有兩種思路：(1)坐標(biāo)法：通過建立平面直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解；(2)基底法：根據(jù)題目條件，選擇合適的目標(biāo)向量，再將求解的向量向目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化并求解．本題用坐標(biāo)法求解，較為簡單，請考生嘗試用基底法求解. 【關(guān)聯(lián)2】、 如圖，扇形的圓心角為90，半徑為1，點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于弦的對稱點(diǎn)，則的取值范圍為 ▲ ．Q P O B A 【答案】 解法1 （坐標(biāo)法） 以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，則直線，由于點(diǎn)在單位圓在第一象限的圓弧上，可設(shè)，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，可得，即 所以 令，則且 故，所以的取值范圍為． 解法2 （極化恒等式） 設(shè)的中點(diǎn)為， 則，根據(jù)圖形可得，當(dāng)點(diǎn)與（或）重合時，點(diǎn)與重合，且，，則，當(dāng)點(diǎn)位于弧的中點(diǎn)時，，，則，所以的取值范圍為． 解法3 （特殊位置法） 注意到本題圖形的對稱性，易得的最大值和最小值在點(diǎn)位于弧的端點(diǎn)或中點(diǎn)時取得，當(dāng)點(diǎn)與（或）重合時，點(diǎn)與重合，此時，故；當(dāng)點(diǎn)位于弧的中點(diǎn)時，如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，則，故， 可得，所以的取值范圍為． 解后反思：解決平面向量數(shù)量積的綜合問題最常用的兩種方法是坐標(biāo)法和基底法，坐標(biāo)法首先需要根據(jù)圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，然后表示目標(biāo)向量的坐標(biāo)；基底法則需要選擇一對不共線的向量作為基底來表示目標(biāo)向量，然后利用向量的運(yùn)算法則進(jìn)行處理.另外，注意到本題是填空題，涉及的圖形的對稱性，可以考慮利用特殊法計算，也充分體現(xiàn)了小題小做，小題巧做的思想. 【變式3】、．如圖，已知，為的中點(diǎn)，分別以為直徑在的同側(cè)作半圓，分別為兩半圓上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則的最大值為 ▲ ． 【思路分析】處理向量數(shù)量問題，主要是坐標(biāo)法和基底法，解法1，建立坐標(biāo)系，設(shè)，，得到M,N坐標(biāo)，建立以角的函數(shù)關(guān)系式；解法2，兩個向量不共起點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為以為起點(diǎn)的向量，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義得到關(guān)于的函數(shù)，換元轉(zhuǎn)化二次函數(shù)，求最值；解法3， 建立坐標(biāo)系后，設(shè)出直線和方程，為直線與圓的交點(diǎn)，聯(lián)立直線與圓方程，求出的坐標(biāo)，得到一個關(guān)于斜率的函數(shù)關(guān)系式，換元后求最值. 【答案】 【解法1】（坐標(biāo)法）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段所在的直線為軸，建立平面坐標(biāo)系。設(shè)，，則,，， =，當(dāng)時，的最大值為. 【解法2】（定義法）設(shè)，， ，令， ，所以的最大值為. 【解法3】（解析幾何法）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段所在的直線為軸，建立平面坐標(biāo)系。，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，則直線的方程為，直線的方程為， 聯(lián)立解得， 聯(lián)立解得， 因?yàn)?，， 所以，， 令，則，，所以的最大值為. 【解題反思】若題中幾何關(guān)系明顯，且所求向量的長度和夾角未知，首選坐標(biāo)法;圓中求向量數(shù)量積最值問題，優(yōu)先考慮以角作為參數(shù)，來建立函數(shù)關(guān)系，這樣問題轉(zhuǎn)為三角的最值問題，便于求解 . 例3、 如圖，△ABC為等腰三角形，∠BAC＝120，AB＝AC＝4，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P是劣弧上的一動點(diǎn)，則的取值范圍是________． 【答案】. [－11，－9]　 解法1(幾何法) 取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，則兩個動向量，均可用一個動向量和一個定向量表示.＝(－)(＋)＝PM2－MC2. 因?yàn)镸C為定值，所以的變化可由PM的變化確定． 易得AM＝2，MC＝2. 當(dāng)P為劣弧與AM的交點(diǎn)時，PM取最小值A(chǔ)M－1＝1；PM的最大值為EM＝FM＝. 所以PM2－MC2的取值范圍是[－11，－9]，即∈[－11，－9]． 解法2(坐標(biāo)法) 以A為原點(diǎn)，垂直于BC的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy，則B(2，－2)，C(2，2)，設(shè)P(cosθ，sinθ)，其中θ∈. ＝(2－cosθ，－sinθ－2)(2－cosθ，2－sinθ)＝(cosθ－2)2＋sin2θ－12＝－7－4cosθ. 因?yàn)閏osθ∈，所以∈[－11，－9]． 【變式1】、 已知||＝||＝，且＝1.若點(diǎn)C滿足|＋|＝1，則||的取值范圍是________． 【答案】： [－1，＋1]　 【解析】：如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則＝＋，因?yàn)閨|＝||＝，＝1，所以||＝|＋|＝＝＝，由|＋|＝1得|＋|＝|＋－|＝|－|＝||＝1，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上，而||表示點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離，從而||－1≤||≤||＋1，即－1≤||≤＋1，即||的取值范圍是[－1，＋1]． 【變式2】、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，B分別為x軸，y軸上一點(diǎn)，且AB＝2，若點(diǎn)P(2，)，則|＋＋|的取值范圍是________． 【答案】. [7,11]　 解法3 因?yàn)锳B＝2，所以AB的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(如下圖)，則|＋＋|＝|2＋|，當(dāng)M點(diǎn)為射線OP與圓交點(diǎn)時，|2＋|的最小值為7，當(dāng)M點(diǎn)為射線OP的反向延長線與圓交點(diǎn)時，|2＋|的最大值為11，所以|＋＋|的取值范圍是[7,11]． 【關(guān)聯(lián)1】、 已知平面向量＝(1,2)，＝(－2,2)，則的最小值為________． 【答案】 －　 思路分析 以為橋梁，把，與已知向量，聯(lián)系起來． 設(shè)＝(x，y)，則＝＋＝(x＋1，y＋2)，＝＋＝(x－2，y＋2)．所以＝(x＋1)(x－2)＋(y＋2)2＝2＋(y＋2)2－，其最小值為－. 【關(guān)聯(lián)2】、 已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a，b是互相垂直的單位向量，且(a－c)(b－c)＝1，則的最大值是________． 【答案】 ＋1　 首先要根據(jù)題目條件求出c＝(x，y)的軌跡方程，再利用|c|的幾何意義求解即可；另外，也可以考慮用三角換元，用三角函數(shù)的有界性求解． 解法1 設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，則a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，－y)， 由題意得－x(1－x)－y(－y)＝1，整理得x2＋y2－x－y－1＝0， 即2＋2＝2，它表示以為圓心，以為半徑的圓，則表示該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)(0,0)的距離，從而|c|max＝＋＝＋1. 解法2 由解法1得2＋2＝2， 令(α為參數(shù))， 則|c|2＝2＋2＝3＋cosα＋sinα＝3＋2cos(α－θ)(其中tanθ＝)， 所以|c|＝3＋2，于是|c|max＝1＋.