2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 二 一般形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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二一般形式的柯西不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握三維形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，體會(huì)從特殊到一般的思維過(guò)程.3.會(huì)用三維形式及一般形式的柯西不等式解決一些特殊形式的問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一三維形式的柯西不等式思考1類比平面向量，在空間向量中，如何用|，推導(dǎo)三維形式的柯西不等式？答案設(shè)(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，則|，|.|，|a1b1a2b2a3b3|，(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.思考2三維形式的柯西不等式中，等號(hào)成立的條件是什么？答案當(dāng)且僅當(dāng)，共線時(shí)，即0或存在實(shí)數(shù)k，使a1kb1，a2kb2，a3kb3時(shí)，等號(hào)成立梳理三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)b1b2b30或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1,2,3)時(shí)等號(hào)成立知識(shí)點(diǎn)二一般形式的柯西不等式1一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.2柯西不等式等號(hào)成立的條件當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時(shí)等號(hào)成立.類型一利用柯西不等式證明不等式例1設(shè)a，b，c為正數(shù)，且不全相等求證：.證明構(gòu)造兩組數(shù)，；，則由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中有等號(hào)成立abbccaabc.因?yàn)轭}設(shè)中a，b，c不全相等，故中等號(hào)不成立，于是.反思與感悟有些問(wèn)題一般不具備直接應(yīng)用柯西不等式的條件，可以通過(guò)：(1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以巧拆常數(shù)(2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以重新安排各項(xiàng)的次序(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以改變式子的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到使用柯西不等式的目的(4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練1已知a，b，cR，求證9.證明由柯西不等式知，左邊2(111)29，原不等式成立例2設(shè)a1，a2，an為正整數(shù)，求證：a1a2an.證明由柯西不等式，得(a2a3a1)2(a1a2an)2，故a1a2an.反思與感悟一般形式的柯西不等式往往看著比較復(fù)雜，這時(shí)一定要注意式子的結(jié)構(gòu)特征，一邊一定要出現(xiàn)“方、和、積”的形式跟蹤訓(xùn)練2已知a1，a2，anR，且a1a2an1，求證：.證明2(a1a2)(a2a3)(ana1)2(a1a2an)21，.類型二利用柯西不等式求函數(shù)的最值例3(1)若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2y3za(a為常數(shù))，則x2y2z2的最小值為_(kāi)(2)已知0x1,0y1，則函數(shù)f(x)的最小值是_答案(1)(2)解析(1)(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2a2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即14(x2y2z2)a2，x2y2z2，即x2y2z2的最小值為.(2)，故f(x)的最小值為.反思與感悟利用柯西不等式求最值時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件跟蹤訓(xùn)練3已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因?yàn)閒(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時(shí)，等號(hào)成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為abc，又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時(shí)等號(hào)成立，故a2b2c2的最小值為.1已知x，y，zR且xyz2，則2的最大值為()A2B2C4D5答案C解析(2)2(12)21222()2()2()2()28(xyz)16(當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)取等號(hào))，24.2若a，b，cR，且1，則a2b3c的最小值為()A9B3C.D6答案A解析由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)(111)29，a2b3c的最小值為9.3設(shè)a，b，c，d均為正實(shí)數(shù)，則(abcd)的最小值為_(kāi)答案16解析(abcd)()2()2()2()22(1111)24216，當(dāng)且僅當(dāng)abcd時(shí)取等號(hào)4已知正數(shù)x，y，z滿足xyz1，求證：.證明因?yàn)閤0，y0，z0，所以由柯西不等式得()2()2()2(xyz)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即xyz時(shí)，等號(hào)成立，所以.1柯西不等式的一般結(jié)構(gòu)為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，在利用柯西不等式證明不等式時(shí)關(guān)鍵是正確構(gòu)造左邊的兩個(gè)數(shù)組，從而利用題目的條件正確解題2要求axbyz的最大值，利用柯西不等式(axbyz)2(a2b212)(x2y2z2)的形式，再結(jié)合已知條件進(jìn)行配湊，是常見(jiàn)的變形技巧對(duì)于許多不等式問(wèn)題，用柯西不等式來(lái)解往往是簡(jiǎn)明的，正確理解柯西不等式，掌握它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，就能更靈活地應(yīng)用它一、選擇題1已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值是()A1B2C3D4答案A解析(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取等號(hào)a1x1a2x2anxn的最大值是1.2已知a2b2c2d25，則abbccdad的最小值為()A5B5C25D25答案B解析(abbccdda)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，當(dāng)且僅當(dāng)abcd時(shí)，等號(hào)成立abbccdad的最小值為5.3設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則等于()A.B.C.D.答案C解析由柯西不等式，得(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此有.4已知a，b，c0，且abc1，則的最大值為()A3B3C18D9答案B解析由柯西不等式，得()2(111)(3a13b13c1)33(abc)3abc1，()23618，3，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立5設(shè)a，b，c0，且abc1，則的最大值是()A1B.C3D9答案B6已知x，y是實(shí)數(shù)，則x2y2(1xy)2的最小值是()A.B.C6D3答案B解析(121212)x2y2(1xy)2xy(1xy)21，x2y2(1xy)2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立二、填空題7設(shè)a，b，cR，若(abc)25恒成立，則正數(shù)k的最小值是_答案9解析因?yàn)?abc)(11)2(2)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，所以(abc)的最小值是(2)2.由(abc)25恒成立，得(2)225.又k0，所以k9，所以正數(shù)k的最小值是9.8設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值是_答案121解析(abc)()2()2()22(236)2121.當(dāng)且僅當(dāng)k(k為正實(shí)數(shù))時(shí)，等號(hào)成立9已知a，b，cR且abc6，則的最大值為_(kāi)答案4解析由柯西不等式，得()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.當(dāng)且僅當(dāng)，即2a2b12c3時(shí)等號(hào)成立又abc6，當(dāng)a，b，c時(shí)，取得最大值4.10設(shè)x，y，zR,2x2yz80，則(x1)2(y2)2(z3)2的最小值為_(kāi)答案9解析(222212)(x1)2(y2)2(z3)22(x1)2(y2)(z3)2(2x2yz1)281，(x1)2(y2)2(z3)29.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)三、解答題11已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a，又正數(shù)p，q，r滿足pqra，求證：p2q2r23.證明因?yàn)閒(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，即函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a3，所以pqr3.由柯西不等式得(p2q2r2)(111)(pqr)29，于是p2q2r23.12設(shè)a1a2anan1，求證：0.證明為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a1an1寫成a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)，于是(a1a2)(a2a3)(anan1)n21.即(a1an1)1，所以，故0.四、探究與拓展13邊長(zhǎng)為a，b，c的三角形ABC，其面積為，外接圓半徑為1，若s，t，則s與t的大小關(guān)系是_答案st解析由已知得absinC，2R2，所以abc1，所以abbcca，由柯西不等式得(abbcca)()2，所以2()2，即.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)等號(hào)成立又當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，面積S，故等號(hào)不成立故st.14已知x，y，zR，且xyz1.(1)若2x23y26z21，則x，y，z的值分別為_(kāi)；(2)若2x23y2tz21恒成立，則正數(shù)t的取值范圍為_(kāi)答案(1)，(2)6，)解析(1)(2x23y26z2)(xyz)21，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，2x3y6z.又xyz1，x，y，z.(2)(2x23y2tz2)(xyz)21，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，(2x23y2tz2)min.2x23y2tz21恒成立，1.又t0，t6.