2020高考數學一輪復習 第八章 解析幾何 課時作業(yè)48 雙曲線 文.doc

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課時作業(yè)48　雙曲線 [基礎達標] 一、選擇題 1．[2019山西聯考]已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為4，漸近線方程為2xy＝0，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：解法一　易知雙曲線－(a>0，b>0)的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2xy＝0，得＝2，因為雙曲線的焦距為4，所以c＝2，結合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以雙曲線的方程為－＝1，故選A. 解法二　易知雙曲線的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2xy＝0，可設雙曲線的方程為x2－＝λ(λ>0)，即－＝1，因為雙曲線的焦距為4，所以c＝2，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以雙曲線的方程為－＝1，故選A. 答案：A 2．[2019山東濰坊模擬]已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點到漸近線的距離為，且離心率為2，則該雙曲線的實軸的長為(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：由題意知雙曲線的焦點(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，該雙曲線的實軸的長為2a＝2. 答案：C 3．[2018全國卷Ⅲ]已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：由題意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因為a>0，b>0，所以a＝b，漸近線方程為xy＝0，點(4,0)到漸近線的距離為＝2.故選D. 答案：D 4．[2019江西聯考]已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左，右焦點分別為F1，F2，點A在雙曲線C上，若△AF1F2的周長為10a，則△AF1F2的面積為(　　) A．2a2 B.a2 C．30a2 D．15a2 解析：由雙曲線的對稱性不妨設A在雙曲線的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周長為|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周長為10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a， ∴cos∠F1AF2＝＝＝. ∴sin∠F1AF2＝，∴S△AF1F2＝|AF1||AF2|sin∠F1AF2＝4a2a＝a2.故選B. 答案：B 5．[2019南昌調研]已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線C上第二象限內一點，若直線y＝x恰為線段PF2的垂直平分線，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：由題，結合圖知，直線PF2的方程為y＝－(x－c)，設直線PF2與直線y＝x的交點為N，易知N，又線段PF2的中點為N，故P，因為點P在雙曲線C上，所以－＝1，即5a2＝c2，所以e＝＝. 答案：C 二、填空題 6．已知雙曲線－＝1的一個焦點是(0,2)，橢圓－＝1的焦距等于4，則n＝________. 解析：因為雙曲線的焦點是(0,2)，所以焦點在y軸上，所以雙曲線的方程為－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以橢圓方程為＋x2＝1，且n>0，橢圓的焦距為4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)． 答案：5 7．[2019太原高三模擬]設P為雙曲線－＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝2|PF2|，則cos∠PF2F1＝________. 解析：∵|PF1|＝2|PF2|，∴點P在雙曲線的右支上， ∴|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝4，∴由余弦定理得，cos∠PF2F1＝＝－. 答案：－ 8．[2019益陽市，湘潭市高三調研]已知F為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點，定點A為雙曲線虛軸的一個端點，過F，A兩點的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側的交點為B，若＝3，則此雙曲線的離心率為________． 解析：F(－c,0)，A(0，b)，得直線AF：y＝x＋b.根據題意知，直線AF與漸近線y＝x相交，聯立得消去x得，yB＝.由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化簡得3c＝4a，離心率e＝. 答案： 三、解答題 9．若雙曲線E：－y2＝1(a＞0)的離心率等于，直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點． (1)求k的取值范圍； (2)若|AB|＝6，求k的值． 解析：(1)由得 故雙曲線E的方程為x2－y2＝1. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.① ∵直線與雙曲線右支交于A，B兩點， 故 即所以1＜k＜. 故k的取值范圍為(1，)． (2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝ ＝2＝6， 整理得28k4－55k2＋25＝0， ∴k2＝或k2＝.又1＜k＜，∴k＝. 10．已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點，O為坐標原點． (1)求雙曲線C2的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且>2，求k的取值范圍． 解析：(1)設雙曲線C2的方程為－＝1(a>0，b>0)， 則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1， 故雙曲線C2的方程為－y2＝1. (2)將y＝kx＋代入－y2＝1， 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點， 得 ∴k2<1且k2≠.① 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋) ＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2 ＝. 又∵>2，即x1x2＋y1y2>2， ∴>2，即>0， 解得0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：本題主要考查雙曲線的方程、幾何性質以及點到直線的距離公式的應用． ∵雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2， 由題意可設A(2a,3a)，B(2a，－3a)， ∵＝3，∴漸近線方程為y＝x， 則點A與點B到直線x－y＝0的距離分別為d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6， ∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9.∴雙曲線的方程為－＝1，故選C. 答案：C 12．[2018全國卷Ⅰ]已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 解析：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝x. 設兩漸近線夾角為2α，則有tanα＝＝，所以α＝30. 所以∠MON＝2α＝60. 又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設MN⊥ON，如圖所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝. 則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|tan2α＝tan60＝3. 故選B. 答案：B 13．[2018北京卷]已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)，雙曲線N：－＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________． 解析：解法一　如圖是一個正六邊形，A，B，C，D是雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點，F1，F2為橢圓M的兩個焦點． ∵直線AC是雙曲線N的一條漸近線，且其方程為y＝x， ∴＝.設m＝k，則n＝k，則雙曲線N的離心率e2＝＝2. 連接F1C，在正六邊形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90，∠CF1F2＝30. 設橢圓的焦距為2c，則|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由橢圓的定義得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(＋1)c＝2a，∴橢圓M的離心率e1＝＝＝＝－1. 解法二　雙曲線N的離心率同解法一．由題意可得C點坐標為，代入橢圓M的方程，并結合a，b，c的關系， 聯立得方程組 解得＝－1. 答案：－1,2