（通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第27練 導數(shù)的綜合應用精準提分練習 文.docx

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第27練導數(shù)的綜合應用明晰考情1.命題角度：函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點，常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.2.題目難度：偏難題.考點一利用導數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)方法技巧求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題的基本思路(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題.(2)利用導數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖象.(3)結(jié)合圖象求解.1.設函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)設ab4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍.解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.f(0)c，f(0)b，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當ab4時，f(x)x34x24xc，f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當x變化時，f(x)與f(x)在區(qū)間(，)上的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc當c0且c0時，f(4)c160，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知，當且僅當c時，函數(shù)f(x)x34x24xc有三個不同零點.2.(2018東莞模擬)已知函數(shù)f(x)ex2x1.(1)求曲線yf(x)在(0，f(0)處的切線方程；(2)設g(x)af(x)(1a)ex，若g(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)由題意知f(x)ex2，kf(0)121，又f(0)e02010，f(x)在(0，f(0)處的切線方程為yx.(2)g(x)ex2axa，g(x)ex2a.當a0時，g(x)0，g(x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意.當a0時，令g(x)0，得xln(2a)，在(，ln(2a)上，g(x)0，g(x)在(，ln(2a)上單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)上單調(diào)遞增，g(x)極小值g(ln(2a)2a2aln(2a)aa2aln(2a).g(x)有兩個零點，g(x)極小值0，即a2aln(2a)0，ln(2a)，解得a，實數(shù)a的取值范圍為.3.(2018新余模擬)已知函數(shù)f(x)(x1)exax2，aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解(1)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a).若a0，則當x0時，f(x)0；當x0時，f(x)0.故函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.當a0時，由f(x)0，解得x0或xln(2a).()若ln(2a)0，即a，則xR，f(x)x(ex1)0，故f(x)在(，)上單調(diào)遞增；()若ln(2a)0，即a0；當x(ln(2a)，0)時，f(x)0，即a0；當x(0，ln(2a)時，f(x)0時，由(1)知，函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.因為f(0)10，取實數(shù)b滿足b2且ba(b1)ab2a(b2b1)a(421)0，所以f(x)有兩個零點；若a0，則f(x)(x1)ex，故f(x)只有一個零點.若a0，由(1)知，當a時，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又當x0時，f(x)0，故f(x)不存在兩個零點；當ag(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點是解題的突破口.4.設函數(shù)f(x)lnxx1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當x(1，)時，10)，得f(x)1.令f(x)0，解得x1.當0x0，f(x)單調(diào)遞增；當x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減.因此，f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù).(2)證明當x(1，)時，1x，即為lnxx11時，f(x)0恒成立，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，可得f(x)f(1)0，即有l(wèi)nx1，則F(x)1lnx1lnx，當x1時，F(xiàn)(x)0，可得F(x)在(1，)上單調(diào)遞增，即有F(x)F(1)0，即有xlnxx1.綜上，原不等式得證.5.(2018全國)已知函數(shù)f(x)aexlnx1.(1)設x2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當a時，f(x)0.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)aex.由題設知，f(2)0，所以a.從而f(x)exlnx1，f(x)ex.當0x2時，f(x)0；當x2時，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).(2)證明當a時，f(x)lnx1.設g(x)lnx1(x(0，)，則g(x).當0x1時，g(x)0；當x1時，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值點.故當x0時，g(x)g(1)0.因此，當a時，f(x)0.6.設函數(shù)f(x)e2xalnx.(1)討論f(x)的導函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a0時，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x0).當a0時，f(x)0，f(x)沒有零點；當a0時，設u(x)e2x，v(x)，因為u(x)e2x在(0，)上單調(diào)遞增，v(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.又f(a)0，當b滿足0b且b時，f(b)0時，f(x)存在唯一零點.(2)證明由(1)，可設f(x)在(0，)上的唯一零點為x0，當x(0，x0)時，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).由于0，所以f(x0)alnx02ax02ax0alnx02ax0aln2aaln.當且僅當x0時，取等號.故當a0時，f(x)2aaln.考點三不等式恒成立或有解問題方法技巧不等式恒成立、能成立問題常用解法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求最值，不等式恒成立問題在變量與參數(shù)易于分離的情況下，采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，形如af(x)max或af(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，在參數(shù)難于分離的情況下，直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題，注意對參數(shù)的分類討論.(3)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解，一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應用.7.已知函數(shù)f(x)exex2ax(aR).(1)若f(x)在(0,1)上單調(diào)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)yf(x)exlnx的圖象恒在x軸上方，求a的最小整數(shù)解.解(1)由題意知，f(x)ex2exa，令h(x)ex2exa，則h(x)ex2e，當x(0,1)時，h(x)0恒成立，令g(x)xlnx(x0)，g(x)，令t(x)ex1x，t(x)ex11，當x1時，t(x)0，t(x)單調(diào)遞增，當0x1時，t(x)0，t(x)單調(diào)遞減，t(x)t(1)0，ex1x0.當x1時，g(x)單調(diào)遞增，當0x0，故a的最小整數(shù)解為1.8.已知函數(shù)f(x)lnx.(1)若函數(shù)g(x)f(x)axx2有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若關于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有實數(shù)解，求整數(shù)m的最大值.解(1)g(x)lnxaxx2(x0)，則g(x)，由題意得方程x2ax10有兩個不等的正實數(shù)根，設兩根為x1，x2，則即a的取值范圍為(2，).(2)方程lnxm(x1)，即m，設h(x)(x0)，則h(x)，令(x)lnx(x0)，則(x)0，h(e2)0，h(x)單調(diào)遞增；當x(x0，)時，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減，h(x)max，即mh(x)max(mZ)，故m0，經(jīng)檢驗當m0時滿足題意，整數(shù)m的最大值為0.9.(2017全國)設函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當x0時，f(x)ax1，求a的取值范圍.解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.當x(，1)時，f(x)0；當x(1，1)時，f(x)0；當x(1，)時，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)上單調(diào)遞減，在(1，1)上單調(diào)遞增.(2)f(x)(1x)(1x)ex.當a1時，設函數(shù)h(x)(1x)ex，則h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上單調(diào)遞減.而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.當0a0(x0)，所以g(x)在0，)上單調(diào)遞增.而g(0)0，故exx1.當0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，則x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.當a0時，取x0，則x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.綜上，a的取值范圍是1，).典例(12分)已知函數(shù)f(x)lnxmxm，mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在x(0，)上恒成立，求實數(shù)m的值；(3)在(2)的條件下，對任意的0ab，求證：.審題路線圖(1)(2)(3)規(guī)范解答評分標準(1)解f(x)m(x(0，).當m0時，f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當m0時，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞增，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞減.4分(2)解由(1)知，當m0時顯然不成立；當m0時，f(x)maxfln1mmlnm1，只需mlnm10即可，令g(x)xlnx1，則g(x)1，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)0.故f(x)0在x(0，)上恒成立時，m1.8分(3)證明11，由0ab，得1，由(2)得00.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點.(1)解函數(shù)的定義域為(0，).由f(x)klnx(k0)，得f(x)x.由f(x)0，解得x(負值舍去).f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上隨x的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，).f(x)在x處取得極小值f()，無極大值.(2)證明由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因為f(x)存在零點，所以0，從而ke，當ke時，f(x)在區(qū)間(1，上單調(diào)遞減且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點；當ke時，f(x)在區(qū)間(1，上單調(diào)遞減且f(1)0，f()0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點.綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點.2.(2017全國)已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當a0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.若a0；當x時，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當a0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當a0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知，當a0)，則g(x)1.當x(0,1)時，g(x)0；當x(1，)時，g(x)0時，g(x)0.從而當a0，得0x1，由f(x)1，f(x)1lnx在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，).(2)解由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，f(x)在上的最大值為f(1)1ln10.又f1eln2e，f(e)1lne，且f0).(1)設(x)f(x)1a，求(x)的最小值；(2)若在區(qū)間(1，e)上f(x)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)(x)f(x)1aalnxa(x0)，則(x)，令(x)0，得x1.當0x1時，(x)1時，(x)0.(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù).故(x)在x1處取得極小值，也是最小值.(x)min(1)0.(2)由f(x)x，得alnx1x，即a.令g(x)(1xe)，則g(x).令h(x)lnx(1x0.故h(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞增，所以h(x)h(1)0.因為h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞增，則g(x)g(e)e1，即e1，所以實數(shù)a的取值范圍為e1，).