沖刺2019高考數(shù)學二輪復習 核心考點特色突破 專題11 基本不等式及其應用（含解析）.doc

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專題11 基本不等式及其應用 【自主熱身，歸納總結】 1、已知a>0, b>0，且＋＝，則ab的最小值是________． 【答案】：2　 【解析】 利用基本不等式，化和的形式為積的形式． 因為＝＋≥2，所以ab≥2，當且僅當＝＝時，取等號． 2、已知正數(shù)滿足，則的最小值為 ． 【答案】9 【解析】： =9． 3、已知正實數(shù)x，y滿足，則x + y 的最小值為 ． 【答案】： 4、已知a，b為正數(shù)，且直線 ax＋by－6＝0與直線 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，則2a＋3b的最小值為________． 【答案】25　 【解析】：由于直線ax＋by－6＝0與直線2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，b均為正數(shù))，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋62＝25(當且僅當＝即a＝b＝5時取等號)． 5、已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 ． 【答案】8 【解析】：因為，所以．又因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立． 易錯警示 在應用基本不等式時，要注意它使用的三個條件“一正二定三相等”．另外，在應用基本不等式時，要注意整體思想的應用． 6、設實數(shù)x，y滿足x2＋2xy－1＝0，則x2＋y2的最小值是________． 【答案】　 思路分析1 注意到條件與所求均含有兩個變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個變量，轉化為只含有一個變量的函數(shù)，從而求它的最小值．注意中消去y較易，所以消去y. 解法1 由x2＋2xy－1＝0得y＝，從而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，當且僅當x＝時等號成立． 思路分析2 由所求的結論x2＋y2想到將條件應用基本不等式，構造出x2＋y2，然后將x2＋y2求解出來． 解法2 由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2，其中mn＝1(m，n>0)，所以(m＋1)x2＋ny2≥1，令m＋1＝n，與mn＝1聯(lián)立解得m＝，n＝，從而x2＋y2≥＝. 7、若正實數(shù)滿足，則的最小值是 ▲ ． 【答案】、8 【解析】： 因為正實數(shù)滿足， 所以，當且僅當，即，又，即，等號成立，即取得最小值. 8、若實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3，則＋的最小值為________． 【答案】： 8　 解法1 因為實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)， 所以＋＝y(tǒng)＋3＋＝y(tǒng)－3＋＋6≥2＋6＝8，當且僅當y－3＝，即y＝4時取等號，此時x＝，所以＋的最小值為8. 解法2 因為實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0， 所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，當且僅當－6＝，即x＝時取等號，此時y＝4，所以＋的最小值為8. 解后反思 從消元的角度看，可以利用等式xy＋3x＝3消“實數(shù)x”或消“實數(shù)y”，無論用哪種消元方式，消元后的式子結構特征明顯，利用基本不等式的條件成熟． 9、 已知正數(shù)a，b滿足＋＝－5，則ab的最小值為________． 【答案】. 36　 【解析】：因為正數(shù)a，b滿足＋＝－5，所以－5≥2，當且僅當9a＝b時等號成立，即ab－5－6≥0，解得≥6或≤－1(舍去)，因此ab≥36，從而(ab)min＝36. 10、已知α，β均為銳角，且cos(α＋β)＝，則tanα的最大值是________． 【答案】　 11、 已知正數(shù)x，y滿足＋＝1，則＋的最小值為________． 【答案】25　 【解析】：因為＝1－，所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋9(x－1)＝13＋＋9(x－1)．又因為＝1－>0，所以x>1，同理y>1，所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25，當且僅當x＝時取等號，所以＋的最小值為25. 12、 已知a＋b＝2，b＞0，當＋取最小值時，實數(shù)a的值是________． 【答案】： －2 解法1 ＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，當且僅當a＜0，且＝，即a＝－2，b＝4時取等號． 解法2 因為a＋b＝2，b＞0，所以＋＝＋(a＜2)． 設f(a)＝＋(a＜2)， 則f(a)＝ 當a＜0時，f(a)＝－－，從而f′(a)＝－＝，故當a＜－2時，f′(a)＜0；當－2＜a＜0時，f′(a)＞0，故f(a)在(－∞，－2)上是減函數(shù)，在(－2，0)上是增函數(shù)，故當a＝－2時，f(a)取得極小值；同理，當0≤a＜2時，函數(shù)f(a)在a＝處取得極小值.綜上，當a＝－2時，f(a)min＝. 【問題探究，變式訓練】 :例1、 已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值為________． 【答案】： 　 解法1 令x＋2＝a，y＋1＝b，則a＋b＝4(a＞2，b＞1)，＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，當且僅當a＝，b＝，即x＝，y＝時取等號． 解法2 (冪平均不等式)設a＝x＋2，b＝y(tǒng)＋1，則＋＝＋＝＋≥＝. 解法3 (常數(shù)代換)設a＝x＋2，b＝y(tǒng)＋1，則＋＝＋＝＋＝＋＋≥，當且僅當a＝2b時取等號． 【變式1】、已知實數(shù)x，y滿足x>y>0，且x＋y≤2，則＋的最小值為________． 【答案】　 設解得所以x＋y＝≤2，即m＋n≤4.設t＝＋＝＋，所以4t≥(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.即t≥，當且僅當＝，即m＝n時取等號． 【變式2】、已知x，y為正實數(shù)，則＋的最大值為 ． .【答案】： 【解析1】：令，從而得，故，當且僅當，即時等號成立。 解法2 設BD＝CD＝m，AD＝n，則由已知得7(2m)2＋2(m2＋n2)＝4，所以15m2＋n2＝2≥2mn，所以mn≤，當且僅當15m2＝n2時取等號，此時m2＝，所以面積的最大值為. 例3、 若實數(shù)x，y滿足2x2＋xy－y2＝1，則的最大值為________． 【答案】. 　 【解析】： 在2x2＋xy－y2＝1中，獨立變量有兩個，因為用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三個變量來表示x，y. 由2x2＋xy－y2＝1，得(2x－y)(x＋y)＝1，設2x－y＝t，x＋y＝，其中t≠0.則x＝t＋，y＝－t，從而x－2y＝t－，5x2－2xy＋2y2＝t2＋，記u＝t－，則＝＝≤＝，當且僅當u＝，即u＝時取等號，即最大值為. 【變式1】、 已知正實數(shù)x，y滿足5x2＋4xy－y2＝1，則12x2＋8xy－y2的最小值為________． 【答案】： 　 解法1(雙變量換元) 因為x>0，y>0，且滿足5x2＋4xy－y2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，令u＝5x－y，v＝x＋y，則有u>0，v>0，uv＝1，并且x＝，y＝，代入12x2＋8xy－y2＝122＋8－2＝≥＝＝＝，當且僅當u＝3v，uv＝1，即u＝，v＝，亦即x＝，y＝時，12x2＋8xy－y2取得最小值. 解法2(常數(shù)1的代換) 因為x>0，y>0，且滿足5x2＋4xy－y2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，因為x>0，y>0，x＋y>0，所以5x－y>0，即有0<<5，令t＝，則00，f(t)單調遞增，所以當t＝時，f(t)取極小值，也是最小值f＝. 此時x＝2y，結合5x2＋4xy－y2＝1，解得x＝，y＝，即當x＝，y＝時，12x2＋8xy－y2取得最小值. 解法3(基本不等式) 因為x>0，y>0，設u>0，v>0，則ux2＋vy2≥2xy.12x2＋8xy－y2≥12x2＋8xy－y2＋(2xy－ux2－vy2)，即12x2＋8xy－y2≥(12－u)x2＋(8＋2)xy－(v＋1)y2.令(12－u)x2＋(8＋2)xy－(v＋1)y2＝t(5x2＋4xy－y2)＝t，則12－u＝5t，8＋2＝4t，v＋1＝t，解得t＝，u＝，v＝， 所以12x2＋8xy－y2＝＋≥＋2＝x2＋xy－y2＝(5x2＋4xy－y2)＝，當且僅當x＝2y，結合5x2＋4xy－y2＝1，解得x＝，y＝，即當x＝，y＝時，12x2＋8xy－y2取得最小值. 【變式2】、若正實數(shù)x，y滿足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，則x＋的最大值為________． 【答案】：. －1　 解法1 令x＋＝z，則2xy＝2yz－1，代入(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)整理得(4z2－5)y2－8(z－1)y＋8＝0　(*)，由題意得y－2≥0，該方程在[2，＋∞)應有解，故Δ≥0，即64(z－1)2－32(4z2－5)≥0，化簡得2z2＋4z－7≤0, 故00，y1y2＝>4，故方程必有大于2的實根，所以x＋的最大值為－1. 解法2 (2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，即2＝，則x＝，所以 x＋＝ ＋ ＝ ＋－1 ≤ －1 ＝－1， 當且僅當 ＝＋1，即y＝>2時等號成立，所以x＋的最大值為－1. 解法3 由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)得2＝， 即2＝9－2，即2＋2＝9， 所以9＝2＋2≥2x－＋＋22，所以x＋≤－1. 【變式3】、若實數(shù)x，y滿足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，則當x＋2y取得最大值時，的值為________． 【答案】：2 思路分析 設x＝a,2y＝b，則問題變簡單了． 設x＝a,2y＝b，則實數(shù)a，b滿足(a－b)2＋(ab)2＝4. 因為(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝4－(ab)2＋4ab＝8－(ab－2)2≤8， 當且僅當a＝b＝時，a＋b取最大值2，此時x＝2y，所以＝2. 【關聯(lián)1】、 已知對滿足x＋y＋4＝2xy的任意正實數(shù)x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】： 　 【解析】：對于正實數(shù)x，y，由x＋y＋4＝2xy得x＋y＋4＝2xy≤，解得x＋y≥4， 不等式x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0可化為(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0， 令t＝x＋y(t≥4)，則該不等式可化為t2－at＋1≥0，即a≤t＋對于任意的t≥4恒成立， 令u(t)＝t＋(t≥4)，則u′(t)＝1－＝>0對于任意的t≥4恒成立，從而函數(shù)u(t)＝t＋(t≥4)為單調遞增函數(shù)，所以u(t)min＝u(4)＝4＋＝，于是a≤. 【關聯(lián)2】、 設實數(shù)x，y滿足－y2＝1，則3x2－2xy的最小值是________． 【答案】. 6＋4　 解法1 因為－y2＝1，所以3x2－2xy＝＝，令k＝∈，則3x2－2xy＝＝，再令t＝3－2k∈(2,4)，則k＝，故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，當且僅當t＝2時等號成立． 解法2 令t＝3x2－2xy，則y＝，代入方程－y2＝1并化簡得8x4＋(4－6t)x2＋t2＝0，令u＝x2≥4，則8u2＋(4－6t)u＋t2＝0在[4，＋∞)上有解，從而由得t2－12t＋4≥0，解得t≥6＋4，當取得最小值時，u＝2＋滿足題意． 解法3 因為－y2＝1＝，所以令＋y＝t，則－y＝，從而則3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，當且僅當t2＝時等號成立．