（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.6 雙曲線講義（含解析）.docx

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9.6雙曲線最新考綱考情考向分析了解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解直線與雙曲線的位置關(guān)系.主要側(cè)重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體，研究參數(shù)a，b，c及與漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是重點(diǎn).題型為選擇、填空題.1.雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.(1)當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2a2b2 (ca0，cb0)概念方法微思考1.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？提示不一定.當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在；當(dāng)2a0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.2.方程Ax2By21表示雙曲線的充要條件是什么？提示若A0，B0，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若A0，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.所以Ax2By21表示雙曲線的充要條件是AB0，b0，二者沒有大小要求，若ab0，ab0，0ab0時(shí)，1e0時(shí)，e(亦稱等軸雙曲線)，當(dāng)0a.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()(2)方程1(mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.()(3)雙曲線方程(m0，n0，0)的漸近線方程是0，即0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()(5)若雙曲線1(a0，b0)與1(a0，b0)的離心率分別是e1，e2，則1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).()題組二教材改編2.P61T1若雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為()A.B.5C.D.2答案A解析由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，雙曲線的漸近線方程為0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3.P61A組T3已知ab0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為()A.xy0B.xy0C.x2y0D.2xy0答案A解析橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以，即a44b4，所以ab，所以雙曲線C2的漸近線方程是yx，即xy0.4.P62A組T6經(jīng)過點(diǎn)A(4，1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_.答案1解析設(shè)雙曲線的方程為1(a0)，把點(diǎn)A(4，1)代入，得a215(舍負(fù))，故所求方程為1.題組三易錯(cuò)自糾5.已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，)C.(0，3) D.(0，)答案A解析方程1表示雙曲線，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案D解析由條件知yx過點(diǎn)(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故選D.7.(2018浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)雙曲線C：y21的漸近線方程為_，設(shè)雙曲線1(a0，b0)經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，且與雙曲線C具有相同的漸近線，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.答案y1解析雙曲線y21的漸近線方程為yx；與y21具有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為y2m(m0)，因?yàn)樵撾p曲線經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，所以m123，即該雙曲線的方程為y23，即1.題型一雙曲線的定義例1(1)已知定點(diǎn)F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2y21上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓答案B解析如圖，連接ON，由題意可得|ON|1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，|MF2|2.點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|，由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2_.答案解析由雙曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，則cosF1PF2.引申探究1.本例(2)中，若將條件“|PF1|2|PF2|”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|sin602.2.本例(2)中，若將條件“|PF1|2|PF2|”改為“0”，則F1PF2的面積是多少？解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|2.思維升華 (1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PF1|PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系.跟蹤訓(xùn)練1(2016浙江)設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_.答案(2，8)解析如圖，由已知可得a1，b，c2，從而|F1F2|4，由對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實(shí)際意義需滿足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m23) D.1(x4)答案C解析由條件可得，圓與x軸的切點(diǎn)為T(3，0)，由相切的性質(zhì)得|CA|CB|TA|TB|8263).(2)根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0，12)；經(jīng)過兩點(diǎn)P(3，2)和Q(6，7).解設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a0，b0).由題意知，2b12，e，b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0，12)，M(0，12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0).解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.思維升華求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.定義法根據(jù)雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出雙曲線方程，常用的關(guān)系有：(1)c2a2b2；(2)雙曲線上任意一點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于2a.2.待定系數(shù)法(1)一般步驟判斷：根據(jù)已知條件，確定雙曲線的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)：根據(jù)中的判斷結(jié)果，設(shè)出所需的未知數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)方程；列：根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的方程或者方程組；解：求解得到方程.(2)常見設(shè)法與雙曲線1共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)；若雙曲線的漸近線方程為yx，則雙曲線方程可設(shè)為(0)；若雙曲線過兩個(gè)已知點(diǎn)，則雙曲線方程可設(shè)為1(mn0)；與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(b2kb0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(b20，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案B解析由yx，可得.由橢圓1的焦點(diǎn)為(3，0)，(3，0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B.題型三雙曲線的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1與漸近線有關(guān)的問題例3過雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)F作圓O：x2y2a2的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，雙曲線左頂點(diǎn)為C，若ACB120，則雙曲線的漸近線方程為()A.yxB.yxC.yxD.yx答案A解析如圖所示，連接OA，OB，設(shè)雙曲線1(a0，b0)的焦距為2c(c0)，則C(a，0)，F(xiàn)(c，0).由雙曲線和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則ACOBCOACB12060.因?yàn)閨OA|OC|a，所以ACO為等邊三角形，所以AOC60.因?yàn)镕A與圓O切于點(diǎn)A，所以O(shè)AFA，在RtAOF中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即c2a，所以ba，故雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為yx，即yx.命題點(diǎn)2求離心率的值(或范圍)例4(1)(2018麗水、衢州、湖州質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足PF2F1，連接PF1交y軸于點(diǎn)Q，若|QF2|c，則雙曲線的離心率是()A.B.C.1D.1答案C解析設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可得，PF2x軸，OQPF2，所以Q為PF1的中點(diǎn)，易知F2(c，0)，因?yàn)閨QF2|c，所以|OQ|c，又|OQ|PF2|，所以|PF2|2|OQ|2c，所以|PF1|2c，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a，即2c2c2a，所以e1.故選C.(2)(2018浙江省紹興市適應(yīng)性考試)如圖，已知雙曲線C：1(a0，b0)的左焦點(diǎn)為F，A為虛軸的一個(gè)端點(diǎn).若以A為圓心的圓與C的一條漸近線相切于點(diǎn)B，且t(tR)，則該雙曲線的離心率為()A.2B.C.D.答案D解析由題圖知F(c，0)，A(0，b)，漸近線方程為yx.由已知得A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且AFOB.所以點(diǎn)F到漸近線OB的距離為db，|AF|，又由BOFOAF，得|FO|2|FB|FA|.即c2b，即c4b2(c2b2)，則c4(c2a2)(2c2a2)，整理得c43a2c2a40，即e43e210，解得e2.所以該雙曲線的離心率e，故選D.思維升華1.求雙曲線的漸近線的方法求雙曲線1(a0，b0)或1(a0，b0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線方程為(a0，b0，0).2.求雙曲線的離心率(1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法求a，b，c的值，由1直接求e.列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.(2)雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：k.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|2|OP|，|PF1|3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A.(1，) B.C.D.答案C解析由|F1F2|2|OP|，可得|OP|c，故PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2.由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a，則|PF1|2a|PF2|，所以(|PF2|2a)2|PF2|24c2，整理得(|PF2|a)22c2a2.又|PF1|3|PF2|，即2a|PF2|3|PF2|，可得|PF2|a，所以|PF2|a2a，即2c2a24a2，可得ca.由e，且e1，可得10，b0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)B，A，若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A.B.4C.D.答案A解析因?yàn)锳BF2為等邊三角形，所以不妨設(shè)|AB|BF2|AF2|m，因?yàn)锳為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，因?yàn)锽為雙曲線左支上一點(diǎn)，所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，由ABF260，得F1BF2120，在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos120，得c27a2，則e27，又e1，所以e.故選A.離心率問題離心率是橢圓、雙曲線的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓與雙曲線的離心率問題難點(diǎn)的根本方法.例1已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案A解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設(shè)M(0，b)，則M到直線l的距離d，1b0，b0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且PF1PF2，若PF1F2的內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為()A.1B.C.D.1答案C解析由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖，由題意設(shè)PF1F2的內(nèi)切圓切三邊于G，D，E三點(diǎn)，則|PG|PE|，|GF1|DF1|，|EF2|DF2|.又|PF1|PF2|2a，則|GF1|EF2|DF1|DF2|2a，設(shè)D(x0，0)，則x0c(cx0)2a，即x0a，所以切點(diǎn)D為雙曲線的右頂點(diǎn)，|PF1|GP|GF1|DF1|cac，|PF2|PE|EF2|DF2|cac，在RtPF1F2中，由勾股定理得22(2c)2，整理得4c24ac5a20，則4e24e50，解得離心率e(舍負(fù))，故選C.1.(2018浙江)雙曲線y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(，0)，(，0) B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0，) D.(0，2)，(0，2)答案B解析雙曲線方程為y21，a23，b21，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，c2，即該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(2，0).故選B.2.已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為()A.xy0B.xy0C.xy0D.2xy0答案C解析雙曲線的方程是1(a0，b0)，雙曲線的漸近線方程為yx.又離心率e2，c2a，ba.由此可得雙曲線的漸近線方程為yxx，即xy0.故選C.3.已知雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若2，且|4，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案D解析不妨設(shè)B(0，b)，由2，F(xiàn)(c，0)，可得A，代入雙曲線C的方程可得1，即，.又|4，c2a2b2，a22b216，由可得a24，b26，雙曲線C的方程為1，故選D.4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，過F1引圓x2y29的切線F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段F1P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|MT|等于()A.4B.3C.2D.1答案D解析連接PF2，OT，則有|MO|PF2|(|PF1|2a)(|PF1|6)|PF1|3，|MT|PF1|F1T|PF1|PF1|4，于是有|MO|MT|1，故選D.5.已知雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使e，則的值為()A.3B.2C.3D.2答案B解析由題意及正弦定理得e2，|PF1|2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2，又|F1F2|4，由余弦定理可知cosPF2F1，|cosPF2F1242.故選B.6.已知雙曲線1的右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，)，則APF周長(zhǎng)的最小值為()A.4B.4(1)C.2() D.3答案B解析由題意知F(，0)，設(shè)左焦點(diǎn)為F0，則F0(，0)，由題可知APF的周長(zhǎng)l為|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，l|PA|PF0|2a|AF|AF0|AF|2a22444(1)，當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)0，P三點(diǎn)共線時(shí)取得“”，故選B.7.已知離心率為的雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OMMF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若SOMF216，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是()A.32B.16C.84D.4答案B解析由題意知F2(c，0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線yx上，由題意可知|F2M|b，所以|OM|a.由16，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B.8.已知雙曲線C1：1(a0，b0)，圓C2：x2y22axa20，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的范圍是()A.B.C.(1，2) D.(2，)答案A解析由雙曲線方程可得其漸近線方程為yx，即bxay0，圓C2：x2y22axa20可化為(xa)2y2a2，圓心C2的坐標(biāo)為(a，0)，半徑ra，由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為，故選A.9.雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_，漸近線方程為_.答案1yx解析由2a4，得a2，c2，b2，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，漸近線方程為yx.10.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21(b0)的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|2且F1AF245，延長(zhǎng)AF2交雙曲線的右支于點(diǎn)B，則F1AB的面積等于_.答案4解析由題意知a1，由雙曲線定義知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由題意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1為等腰三角形，F(xiàn)1AF245，ABF190，BAF1為等腰直角三角形.|BA|BF1|AF1|42，|BA|BF1|224.11.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線1，它的焦點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是_.答案(0，2)解析對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線1(a0，b0)，它的焦點(diǎn)(c，0)到漸近線bxay0的距離為b.雙曲線1，即1，其焦點(diǎn)在x軸上，則解得4m0，b0)的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點(diǎn)，APQ的一個(gè)內(nèi)角為60，求雙曲線C的離心率.解設(shè)左焦點(diǎn)為F1，由于雙曲線和圓都關(guān)于x軸對(duì)稱，又APQ的一個(gè)內(nèi)角為60，PAF30，PFA120，|AF|PF|ca，|PF1|3ac，在PFF1中，由余弦定理得|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP，即3c2ac4a20，即3e2e40，e(舍負(fù)).13.(2018湖州模擬)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，AF1B90，AF1B的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為a，則雙曲線的離心率為()A.2B.3C.D.答案A解析設(shè)內(nèi)切圓的圓心M(x，y)，圓M分別切AF1，BF1，AB于S，T，Q，如圖，連接MS，MT，MF1，MQ，則|F1T|F1S|，故四邊形SF1TM是正方形，邊長(zhǎng)為圓M的半徑.由|AS|AQ|，|BT|BQ|，得|AF1|AQ|SF1|TF1|BF1|BQ|，又|AF1|AF2|BF1|BF2|，Q與F2重合，|SF1|AF1|AF2|2a，|MF2|2a，即(xc)2y24a2，|MF1|2a，(xc)2y28a2，聯(lián)立解得x，y24a2，又ya，故4a2，得e2.14.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21(b0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線與圓x2y21相切于點(diǎn)T，與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B，若|F2B|AB|，求b的值.解方法一因?yàn)閨F2B|AB|，所以結(jié)合雙曲線的定義，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，連接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，所以cosF2F1A，sinF2F1A，所以A，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線得1，化簡(jiǎn)得b64b55b44b340，得(b22b2)(b42b33b22b2)0，而b42b33b22b2b2(b1)2b21(b1)20，故b22b20，解得b1(負(fù)值舍去)，即b1.方法二因?yàn)閨F2B|AB|，所以結(jié)合雙曲線的定義，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，連接AF2，則|AF2|2|AF1|4.連接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，所以cosF2F1A.在AF1F2中，由余弦定理得cosF2F1A，所以c232b，又在雙曲線中，c21b2，所以b22b20，解得b1(負(fù)值舍去)，即b1.15.(2018浙江省聯(lián)盟學(xué)校聯(lián)考)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，記AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若r1r231，則直線l的斜率為()A.1B.C.D.2答案C解析方法一當(dāng)A在第一象限時(shí)，如圖1，設(shè)AF1F2的內(nèi)切圓O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點(diǎn)Q，P，N，則|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P為雙曲線的右頂點(diǎn)，同理，BF1F2的內(nèi)切圓O2也切F1F2于雙曲線的右頂點(diǎn)，連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點(diǎn)共線，且O1O2F1F2.連接O1F2，O2F2，又O1F2平分F1F2A，O2F2平分F1F2B，O1F2O290，RtO1F2PRtF2O2PRtO1O2F2，|O1F2|2|O1P|O1O2|，|O2F2|2|O2P|O1O2|，3，則tanO2O1F2，O2O1F230，則O1F2P60，AF2P120，kAB.由對(duì)稱性可得A在第四象限時(shí)，kAB.綜上，直線l的斜率為.方法二當(dāng)A在第一象限時(shí)，如圖2，設(shè)AF1F2的內(nèi)切圓O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點(diǎn)Q，P，N，則|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P為雙曲線的右頂點(diǎn)，同理，BF1F2的內(nèi)切圓O2也切F1F2于雙曲線的右頂點(diǎn)，連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點(diǎn)共線，且O1O2F1F2.設(shè)O2切BF2于點(diǎn)H，連接O1N，O2H，則在直角梯形O2HNO1中，|O2H|r2，|O1N|r13r2，|O1O2|r1r24r2，作O2TO1N于點(diǎn)T，則|O1T|r1r22r2，故在RtO1O2T中，O2O1T60，AF2P120，kAB.由對(duì)稱性可得A在第四象限時(shí)，kAB.綜上，直線l的斜率為.16.(2018浙江省杭州地區(qū)四校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(在第一象限)在雙曲線的右支上，直線PF2的傾斜角為120，PF1F2的面積S(a2b2)，求雙曲線C的離心率.解方法一設(shè)P(x0，y0)，易知|F1F2|2c，c，所以PF1F2的面積S2c|y0|c2，解得|y0|c.因?yàn)橹本€PF2的傾斜角為120，所以|PF2|c.在PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1c2(2c)22c2ccos603c2，所以|PF1|c.由雙曲線的定義可得2a|PF1|PF2|cc(1)c，所以雙曲線的離心率e1.方法二設(shè)P(x0，y0)，易知|F1F2|2c，c，所以PF1F2的面積S2c|y0|c2，解得|y0|c.因?yàn)橹本€PF2的傾斜角為120，所以x0c，所以P.由點(diǎn)P在雙曲線上可得1，整理得c48c2a24a40，即e48e240，解得e242或e242.因?yàn)閑1，所以e242，所以e1.