沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點(diǎn)特色突破 專題23 與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題（含解析）.doc

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專題23 與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 【自主熱身，歸納總結(jié)】 1、如圖，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9 m和15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD＝45，則這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離BD＝________m. 【答案】 18　 【解析】：設(shè)BD＝x m，作AH⊥CD，垂足為H，記∠HAC＝α，∠HAD＝β，則α＋β＝45. 因?yàn)閠anα＝，tanβ＝，且tan(α＋β)＝1，得＝1， 即x2－15x－54＝0，即(x＋3)(x－18)＝0，解得x＝18. 在解方程的過(guò)程中，若記＝t，則5t＝1－6t2，因?yàn)榉匠讨谐霈F(xiàn)的系數(shù)較小，所以更易解出方程的根． 2.如圖1，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m. 【答案】 150　 【解析】 根據(jù)圖示，AC＝100 m.在△MAC中， ∠CMA＝180－75－60＝45.由正弦定理得＝?AM＝100 m.在△AMN中，＝sin 60，∴MN＝100＝150(m)． 3.如圖2，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米. 【答案】 4、如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心，AB為直徑)，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建．在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，OD＝80 m，在半圓上選定一點(diǎn)C，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為S m2.設(shè)∠AOC＝x rad. (1) 寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x)，并指出x的取值范圍； (2) 試問∠AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值？ 思路分析 對(duì)于(1)，面積S由兩部分組成，一個(gè)是扇形面積，根據(jù)扇形面積公式S＝αr2可得，另一個(gè)是△OCD的面積，根據(jù)三角形的面積公式absinC可得；對(duì)于(2)，注意到所研究的函數(shù)不是基本初等函數(shù)，因此，采用導(dǎo)數(shù)法來(lái)研究它的最值． 【解析】： (1) 因?yàn)樯刃蜛OC的半徑為40 m，∠AOC＝x rad，所以扇形AOC的面積S扇形AOC＝＝800x,0＜x＜π.(2分) 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x， 所以△COD的面積S△COD＝OCODsin∠COD＝1 600sin(π－x)＝1 600sinx，(4分) 從而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x,0＜x＜π.(6分) 【問題探究，變式訓(xùn)練】 例1、如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個(gè)支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點(diǎn)D把桿AC分成AD，CD兩段，其中兩固定點(diǎn)A，B間距離為1米，AB與桿AC的夾角為60，桿AC長(zhǎng)為1米．若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD的成本是4a元/米．設(shè)∠ADB＝α，制作整個(gè)支架的總成本記為S元． (1) 求S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并指出α的取值范圍； (2) 問AD段多長(zhǎng)時(shí)，S最小？ 【解析】： (1) 在△ABD中，由正弦定理得＝＝，(1分) 所以BD＝，AD＝＋，(3分) 則S＝a＋2a＋4a＝a，α∈.(7分) (2) 令S′＝a＝0，設(shè)cosα0＝.(9分) α α0 cosα S′ － 0 ＋ S 單調(diào)遞減 極小 單調(diào)遞增 (11分) 所以當(dāng)cosα＝時(shí)，S最小，此時(shí)sinα＝，AD＝＋＝.(12分) 答：(1)S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式為S＝a，且α∈； (2)當(dāng)AD＝時(shí)，S最?。?14分) 【變式1】、 如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ. (1) 當(dāng)θ＝時(shí)，求∠OPQ的大?。? (2) 當(dāng)∠OPQ越大時(shí)，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，角θ的正弦值． 設(shè)∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關(guān)系式． 【解析】： 因?yàn)椤螦QC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以O(shè)Q＝.(2分) 在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，設(shè)∠OPQ＝α，則∠PQO＝－α＋θ. 由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．(4分) 展開并整理，得tanα＝，其中θ∈.(8分) (1) 當(dāng)θ＝時(shí)，tanα＝.因?yàn)棣痢?0，π)，所以α＝. 答：當(dāng)θ＝時(shí)，∠OPQ＝.(10分) (2) 解法1 設(shè)f(θ)＝，θ∈.則f′(θ)＝＝. 令f′(θ)＝0，得sinθ＝，記銳角θ0滿足sinθ0＝.(13分) 列表如下： θ (0，θ0) θ0 f′(θ) ＋ 0 － f(θ)   　　由上表可知，f(θ0)＝是極大值，也是最大值． 因?yàn)閠anα＝f(θ)>0，且α∈(0，π)，所以當(dāng)tanα取最大值時(shí)，α也取得最大值． 答：游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，sinθ＝.(16分) 解法2 記T＝，θ∈，則T＝cosθ＋Tsinθ＝(1，T)(cosθ，sinθ)≤，得T≤，當(dāng)且僅當(dāng)tanθ＝，即sinθ＝時(shí)取等號(hào)．(13分) 所以tanα的最大值為.顯然tanα>0，所以當(dāng)tanα＝時(shí)，α取最大值． 答：游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，sinθ＝.(16分) 【變式2】、 ））(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一））（C13,17. (本小題滿分14分) 某單位將舉辦慶典活動(dòng)，要在廣場(chǎng)上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)．設(shè)計(jì)要求彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù))．彩門的下底BC固定在廣場(chǎng)底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長(zhǎng)度之和記為l. (1) 請(qǐng)將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l＝f(α)； (2) 問：當(dāng)α為何值時(shí)l最小，并求最小值． (2) f′(α)＝h＝h，(8分) 令f′(α)＝h＝0，得α＝.(9分) 當(dāng)α變化時(shí)，f′(α)，f(α)的變化情況如下表： α f′(α) － 0 ＋ f(α)  極小值  所以lmin＝f＝h＋.(12分) 答：(1) l表示成關(guān)于α的函數(shù)為l＝f(α)＝＋h； (2) 當(dāng)α＝時(shí)，l有最小值，為h＋.(14分) 【變式3】、 在一水域上建一個(gè)演藝廣場(chǎng)．演藝廣場(chǎng)由看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺(tái)BCDE四個(gè)部分構(gòu)成（如圖）．看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個(gè)半圓形區(qū)域，且看臺(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍；矩形表演臺(tái)BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面積為400平方米．設(shè)∠BAC＝θ． （1）求BC的長(zhǎng)（用含θ的式子表示）； （2）若表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3萬(wàn)元，求表演臺(tái)的最低造價(jià)． 【解析】：（1）因?yàn)榭磁_(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍，所以AB＝AC． 在△ABC中，S△ABC＝AB?AC?sinθ＝400， 所以AC2＝ ． …………………… 3分 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB?AC?cosθ， ＝4AC2－2AC2 cosθ． ＝(4－2cosθ) ， 即BC＝ ＝40． 所以 BC＝40 ，θ∈(0，π)． …………………… 7分 （2）設(shè)表演臺(tái)的總造價(jià)為W萬(wàn)元． 因?yàn)镃D＝10m，表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3萬(wàn)元， 所以W＝3BC＝120 ，θ∈(0，π)． …………………… 9分 記f(θ)＝，θ∈(0，π)． 則f ′(θ)＝． …………………… 11分 由f ′(θ)＝0，解得θ＝． 當(dāng)θ∈(0，)時(shí)，f ′(θ)＜0；當(dāng)θ∈(，π)時(shí)，f ′(θ)＞0． 故f(θ)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，π)上單調(diào)遞增， 從而當(dāng)θ＝ 時(shí)，f(θ)取得最小值，最小值為f()＝1． 所以Wmin＝120(萬(wàn)元)． 答：表演臺(tái)的最低造價(jià)為120萬(wàn)元． …………………… 14分 例2、如圖，海上有A，B兩個(gè)小島相距10km，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為60，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至C處進(jìn)行作業(yè)，且OC＝BO.設(shè)AC＝xkm. (1) 用x分別表示OA2＋OB2和OAOB，并求出x的取值范圍； (2) 晚上小艇在C處發(fā)出一道強(qiáng)烈的光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值． 【解析】： (1) 在△OAC中，∠AOC＝120，AC＝x. 由余弦定理得OA2＋OC2－2OAOCcos120＝x2. 又OC＝BO，所以 OA2＋OB2－2OAOBcos120＝x2?、?(2分) 在△OAB中，AB＝10，∠AOB＝60.由余弦定理得 OA2＋OB2－2OAOBcos60＝100?、?(4分) ①＋②得OA2＋OB2＝. ①－②得4OAOBcos60＝x2－100，即OAOB＝.(6分) 又OA2＋OB2≥2OAOB，所以≥2，即x2≤300.又OAOB＝>0，即x2>100，所以100，(14分) 則f(x)在(10,10]上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(10)＝10，即BD的最大值為10.(16分) (利用單調(diào)性定義證明f(x)在(10,10上是單調(diào)增函數(shù)，同樣給滿分；如果直接說(shuō)出f(x)在(10,10]上是增函數(shù)，但未給出證明，扣2分) 【變式1】、如圖，某生態(tài)農(nóng)莊內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，∥，，百米，百米．該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽略不計(jì)），點(diǎn) 在道路上（異于兩點(diǎn)），． （1）用表示直道的長(zhǎng)度； （2）計(jì)劃在△區(qū)域內(nèi)種植觀賞植物，在△區(qū)域內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物．已知種植 觀賞植物的成本為每平方百米萬(wàn)元，種植經(jīng)濟(jì)作物的成本為每平方百米萬(wàn)元， 新建道路的成本為每百米萬(wàn)元，求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值． 【解析】： （1）過(guò)點(diǎn)作垂直于線段，垂足為． 在直角中，因?yàn)锳B⊥BC，，，所以． 在直角中，因?yàn)?，，所以，則， C B A （第17題） D P 故， 又，所以．…… 2分 在中，由正弦定理得， 所以，． …… 6分 （2）在中，由正弦定理得， 所以． 所以． 又． 所以． ………………………… 8分 設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用總和為， 則 ，， ，．………………………………… 10分 所以， 令，則． - 0 + 列表： 所以時(shí)，． 答：以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值為萬(wàn)元．………………………… 14分 【變式2】、如圖，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M，N (異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：km)．如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))? (第17題) 答：設(shè)計(jì)∠AMN為60時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小．(14分) 解法2 (構(gòu)造直角三角形) 設(shè)∠PMB＝θ.當(dāng)0<θ<時(shí)，在△PMD中，因?yàn)镻M＝2，所以PD＝2sinθ，MD＝2cosθ. (2分) 在△AMN中，∠ANM＝∠PMB＝θ，所以＝，AM＝sinθ，所以AD＝sinθ＋2cosθ.(6分) AP2＝AD2＋PD2＝2＋(2sinθ)2 ＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ(8分) ＝＋sin2θ＋4 ＝sin2θ－cos2θ＋ ＝＋sin，θ∈. (12分) 當(dāng)且僅當(dāng)2θ－＝，即θ＝時(shí)，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2. 此時(shí)AM＝AN＝2，∠PAB＝30.(14分) 解法3 設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，∠AMN＝α. 在△AMN中，因?yàn)镸N＝2，∠MAN＝60， 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AMANcos∠MAN， 即x2＋y2－2xycos60＝x2＋y2－xy＝4.(2分) 因?yàn)椋?，即＝，所以sinα＝y(tǒng)， cosα＝＝＝.(6分) cos∠AMP＝cos(α＋60)＝cosα－sinα＝－y＝.(8分) 在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AMPMcos∠AMP，即AP2＝x2＋4－22x＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.(12分) 因?yàn)閤2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4. 所以AP2≤12，即AP≤2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)，AP取得最大值2. 答：設(shè)計(jì)AM＝AN＝2 km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最?。?14分) 例3、某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓的圓心與矩形對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切(為上切點(diǎn))，與左右兩邊相交(，為其中兩個(gè)交點(diǎn))，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，且．設(shè)，透光區(qū)域的面積為． （1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域； （2）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊的長(zhǎng)度． 【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則， A B C D F E O G H 所以， ．……………………………2分 所以 ，………………………………6分 因?yàn)?，所以，所以定義域?yàn)椋?分（2）矩形窗面的面積為． 則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為．…10分 設(shè)，． 則 ，………………………………………………12分 因?yàn)椋?，所以，故? 所以函數(shù)在上單調(diào)減． 所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí) (m)． …14分 答：（1）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，定義域?yàn)椋? （2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時(shí)，的長(zhǎng)度為1m．………16分 【變式1】、如圖，某自來(lái)水公司要在公路兩側(cè)排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線l1排，在路南側(cè)沿直線l2排，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通．已知AB＝60m，BC＝80m，公路兩側(cè)排管費(fèi)用為每米1萬(wàn)元，穿過(guò)公路的部分的排管費(fèi)用為每米2萬(wàn)元，設(shè)EF與AB所成的小于90的角為α. (1) 求矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的排管費(fèi)用W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式； (2) 求排管的最小費(fèi)用及相應(yīng)的角α. 【解析】 (1) 如圖，過(guò)E作EM⊥BC，垂足為點(diǎn)M.由題意得∠MEF＝α，故有MF＝60tanα，EF＝，AE＋FC＝80－60tanα.(4分) 所以W＝(80－60tanα)1＋2(5分) ＝80－＋ ＝80－.(8分) (2) 解法1 設(shè)f(α)＝其中0≤α≤α0<，tanα0＝， 則f′(α)＝＝.(10分) 令f′(α)＝0得1－2sinα＝0，即sinα＝，得α＝.(11分) 列表 α f′(α) ＋ 0 － f(α)  極大值  所以當(dāng)α＝時(shí)有f(α)max＝－，此時(shí)有Wmin＝80＋60.(15分) 答：排管的最小費(fèi)用為(80＋60)萬(wàn)元，相應(yīng)的角α＝.(16分) 解法2 f(α)＝＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)(1－sinα)＝(1＋sinα)時(shí)成立，此時(shí)sinα＝，α＝.(11分) 以下同解法1. 【變式2】、如圖，一塊弓形薄鐵片EMF，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，其所在圓O的半徑為4 dm(圓心O在弓形EMF內(nèi))，∠EOF＝.將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計(jì)損耗)，AD∥EF，且點(diǎn)A，D在上，設(shè)∠AOD＝2θ. (1) 求矩形鐵片ABCD的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式； (2) 當(dāng)裁出的矩形鐵片ABCD面積最大時(shí)，求cosθ的值． (第18題) 【解析】 (1) 設(shè)矩形鐵片的面積為S，∠AOM＝θ. 當(dāng)0＜θ＜時(shí)(如圖1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝24sinθ， S＝ABAD＝(4cosθ＋2)(24sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．(3分) 當(dāng)≤θ＜時(shí)(如圖2)，AB＝24cos θ，AD＝24sin θ，故S＝ABAD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ. 綜上得，矩形鐵片的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為 S＝(7分) 【變式3】、如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，AB＝20 m，廣場(chǎng)的一角是半徑為16 m的扇形BCE綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好地在廣場(chǎng)休閑放松，現(xiàn)決定在廣場(chǎng)上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場(chǎng)的雙人靠背直排椅MN(寬度不計(jì))，點(diǎn)M在線段AD上，并且與曲線CE相切；另一排為單人弧形椅沿曲線CN(寬度不計(jì))擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)為2a元/m，單人弧形椅的造價(jià)為a元/m，記銳角∠NBE＝θ，總造價(jià)為W元． (1) 試將W表示為θ的函數(shù)W(θ)，并寫出cosθ的取值范圍； (2) 如何選取點(diǎn)M的位置，能使總造價(jià)W最??？ 【解析】;： (1) 過(guò)點(diǎn)N作AB的垂線，垂足為F；過(guò)M作NF的垂線，垂足為G. 在Rt△BNF中，BF＝16cosθ，則MG＝20－16cosθ. 在Rt△MNG中，MN＝.(4分) 由題意易得CN＝16，(6分) 因此，W(θ)＝2a＋16a，(7分) 當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，cosθ＝＝； 當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，cosθ＝0， 故cosθ∈.(9分) (2) W′(θ)＝－16a＋8a ＝8a. 令W′(θ)＝0，cosθ＝，因?yàn)棣取?，所以θ?(12分) 設(shè)銳角θ1滿足cosθ1＝， θ1∈.當(dāng)θ∈時(shí)，W′(θ)＜0，W(θ)單調(diào)遞減； 當(dāng)θ∈時(shí)，W′(θ)＞0，W(θ)單調(diào)遞增．(14分) 所以當(dāng)θ＝時(shí)，總造價(jià)W最小，最小值為a元，此時(shí)MN＝8，NG＝4，NF＝8，因此當(dāng)AM＝4 m時(shí)，總造價(jià)最?。?16分) 易錯(cuò)警示 解決應(yīng)用題問題，以下幾個(gè)方面是很容易導(dǎo)致失分的地方，要引起高度重視．一是函數(shù)的定義域不能忘；二是有單位的問題，單位不能丟；三是要注意回到實(shí)際問題中去，即“答”不可少．