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考點測試35 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃
高考概覽
考綱研讀
1．會從實際情境中抽象出二元一次不等式組
2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組
3．會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決
一、基礎小題
1．不等式y(tǒng)(x＋y－2)≥0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域(用陰影部分表示)是( )
答案 C
解析 由y(x＋y－2)≥0，得或
所以不等式y(tǒng)(x＋y－2)≥0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域是C項．
2．已知點A(－3，－1)與點B(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則實數a的取值范圍是( )
A．(－24，7)
B．(－7，24)
C．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
D．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
答案 B
解析 (－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，所以－7＜a＜24．故選B．
3．若實數x，y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是( )
A．3 B． C．2 D．2
答案 C
解析 因為直線x－y＝－1與x＋y＝1互相垂直，所以如圖所示的可行域為直角三角形，易得A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)，故|AB|＝，|AC|＝2，所以其面積為|AB||AC|＝2．
4．若變量x，y滿足約束條件則3x＋2y的最大值是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
答案 C
解析 作不等式組的可行域，如圖：
令z＝3x＋2y，則y＝－x＋表示一系列平行于y＝－x的直線，并且表示該直線的縱截距．顯然，把直線y＝－x平移至點A處，z最大．由得A(1，1)．所以zmax＝3x＋2y＝3＋2＝5．故選C．
5．已知點(a，b)是平面區(qū)域內的任意一點，則3a－b的最小值為( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
答案 B
解析 根據題意可知(a，b)在如圖陰影中，設z＝3a－b．則b＝3a－z，所以－z可以理解為y＝3x＋t中的縱截距t．因而當y＝3x＋t過點(0，2)時，t最大為2．即－z最大為2，所以z最小為－2．
6．若x，y滿足約束條件則z＝x＋3y的取值范圍是( )
A．(－∞，2] B．[2，3]
C．[3，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 D
解析 作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖．
平移直線x＋3y＝0到點A時，z取得最小值，由解得點A，，所以zmin＝＋＝2，無最大值．故選D．
7．在如圖所示的平面區(qū)域內有A(5，3)，B(1，1)，C(1，5)三點，若使目標函數z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則實數a的值是( )
A． B．
C．2 D．
答案 B
解析 由題意知，當z＝ax＋y與直線AC重合時最優(yōu)解有無窮多個．因為kAC＝－，所以－a＝－，即a＝．故選B．
8．已知實數x，y滿足約束條件則|y－x|的最大值是( )
A．2 B． C．4 D．3
答案 D
解析
畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)，計算得A(1，2)，B(4，1)，當直線z＝x－y過點A時zmin＝－1，過點B時zmax＝3，則－1≤x－y≤3，則|y－x|≤3．
9．不等式組所表示的平面區(qū)域內的整點個數為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 由不等式2x＋y<6，得y<6－2x，且x>0，y>0，則當x＝1時，0
1)的圖象上的點，則實數a的取值范圍是( )
A．(3，＋∞) B．(1，3)
C．[3，＋∞) D．(1，3]
答案 C
解析 作不等式組表示的平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示．
由解得點A(3，1)．
由a>1，對數函數的圖象經過可行域，此時滿足loga3≤1，解得a≥3，所以實數a的取值范圍是[3，＋∞)，故選C．
12．已知實數x，y滿足則w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值為________．
答案
解析
目標函數w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其幾何意義是點(2，2)與可行域內的點的距離的平方．由實數x，y所滿足的不等式組作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，點(2，2)到直線x＋y－1＝0的距離為其到可行域內點的距離的最小值，又＝，所以wmin＝．
二、高考小題
13．(2018天津高考)設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝3x＋5y的最大值為( )
A．6 B．19 C．21 D．45
答案 C
解析 由變量x，y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)．
作出基本直線l0：3x＋5y＝0，平移直線l0，當直線經過點A(2，3)時，z取最大值，即zmax＝32＋53＝21．故選C．
14．(2018全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件
則z＝x＋y的最大值為________．
答案 9
解析 不等式組表示的可行域是以A(5，4)，B(1，2)，C(5，0)為頂點的三角形區(qū)域，如圖所示，由圖可知目標函數z＝x＋y的最大值在頂點A處取得，即當x＝5，y＝4時，zmax＝9．
15．(2018全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件
則z＝3x＋2y的最大值為________．
答案 6
解析 根據題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：
由z＝3x＋2y可得y＝－x＋z，畫出直線y＝－x，將其上下移動，結合的幾何意義，可知當直線過點B時，z取得最大值，由解得B(2，0)，此時zmax＝32＋0＝6．
16．(2018全國卷Ⅲ)若變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________．
答案 3
解析 作出可行域如圖陰影部分．
由圖可知目標函數在直線x－2y＋4＝0與x＝2的交點(2，3)處取得最大值3．
17．(2018浙江高考)若x，y滿足約束條件則z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
答案 －2 8
解析 由約束條件得可行域是以A(1，1)，B(2，2)，C(4，－2)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界)，如圖．當直線y＝－x＋過點C(4，－2)時，z＝x＋3y取得最小值－2，過點B(2，2)時，z＝x＋3y取得最大值8．
18．(2018北京高考)若x，y滿足x＋1≤y≤2x，則2y－x的最小值是________．
答案 3
解析 由x＋1≤y≤2x作出可行域，如圖中陰影部分所示．設z＝2y－x，則y＝x＋z，當直線y＝x＋z過A(1，2)時，z取得最小值3．
三、模擬小題
19．(2018山西太原模擬)已知實數x，y滿足
則z＝2x－2y－1的取值范圍是( )
A．，5 B．[0，5]
C．，5 D．－，5
答案 D
解析 作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，可知2－2－1≤z<22－2(－1)－1，即z的取值范圍是－，5．
20．(2018南昌一模)設不等式組表示的平面區(qū)域為M，若直線y＝kx經過區(qū)域M內的點，則實數k的取值范圍為( )
A．，2 B．，
C．，2 D．，2
答案 C
解析 作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：
由得A(1，2)，由得B(2，1)，平面區(qū)域M即為圖中陰影部分△ABC，直線y＝kx經過區(qū)域M內的點A時，k＝2，直線y＝kx經過區(qū)域M內的點B時，k＝，故≤k≤2，故選C．
21．(2018長沙統(tǒng)考)已知x，y滿足約束條件
若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝( )
A．2 B． C．－2 D．－
答案 A
解析
作不等式組表示的平面區(qū)域如圖．當直線l：y＝－ax＋z經過△AOB區(qū)域時，l在y軸上的最大截距為4，則點B(2，0)為最優(yōu)解，所以z＝2a＝4，即a＝2，故選A．
22．(2018太原模擬)已知不等式ax－2by≤2在平面區(qū)域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立，則動點P(a，b)所形成平面區(qū)域的面積為( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 A
解析 作平面區(qū)域{(x，y)||x|≤1且|y|≤1}，如圖1所示．該平面區(qū)域表示正方形ABCD內部(含邊界)．令z＝ax－2by，因為ax－2by≤2恒成立，則函數z＝ax－2by在該平面區(qū)域要求的條件下，zmax＝2恒成立．當直線ax－2by－z＝0過點A(－1，1)或B(1，1)或C(1，－1)或D(－1，－1)時，有
再作該不等式組表示的可行域，即菱形EFGH內部(含邊界)．如圖2所示．其中H(－2，0)，F(2，0)，E(0，1)，G(0，－1)，所以動點P(a，b)所形成平面區(qū)域的面積為42＝4．故選A．
23．(2018湖北八市聯(lián)考)已知x，y滿足若z＝x＋2y有最大值4，則實數m的值為( )
A．－4 B．－2 C．－1 D．1
答案 B
解析 可行域所表示區(qū)域為三條直線所封閉的三角形區(qū)域(含邊界)，如圖陰影部分所示．依題意，有直線y＝－x＋的縱截距有最大值2，則結合圖形可知需滿足直線2x－y＝m過點(0，2)，從而m＝20－2＝－2，故選B．
24．(2018河北石家莊質檢)在平面直角坐標系中，不等式組(r為常數)表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z＝的最小值為( )
A．－1 B．－
C． D．－
答案 D
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意知πr2＝π，解得r＝2．z＝＝1＋，易知表示可行域內的點(x，y)與點P(－3，2)的連線的斜率，由圖可知當點(x，y)與點P的連線與圓x2＋y2＝r2相切時斜率最?。O切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有＝2，解得k＝－或k＝0(舍)，所以zmin＝1－＝－．故選D．
25．(2018河北石家莊質檢)設變量x，y滿足約束條件則的最大值為________．
答案 3
解析 題設中的約束條件如圖中陰影部分所表示的區(qū)域，則表示可行域內點P(x，y)與B(0，－1)的連線的斜率，由圖知，當P位于A(1，2)時，取得最大值＝3．
26．(2018福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩個工種，已知生產一把椅子需要木工4個工作時，漆工2個工作時；生產一張桌子需要木工8個工作時，漆工1個工作時．生產一把椅子的利潤為1500元，生產一張桌子的利潤為2000元，該廠每個月木工最多完成8000個工作時，漆工最多完成1300個工作時，根據以上條件，該廠安排生產每個月所能獲得的最大利潤是________元．
答案 2100000
解析 依題意，設每個月生產x把椅子、y張桌子，那么利潤t＝1500x＋2000y．其中x，y滿足約束條件
可行域如圖中陰影部分所示，對于不同的t值，t＝1500x＋2000y表示一組斜率為－的平行線，且t越大，相應的直線位置越高；t越小，相應的直線位置越低．依題意，要求t的最大值，需把直線t＝1500x＋2000y盡量地往上平移，又考慮到x，y的允許范圍，顯然當直線通過點B時，處在這組平行線的最高位置，此時t取最大值．由得點B(200，900)，從而tmax＝1500200＋2000900＝2100000(元)，即生產200把椅子、900張桌子可獲得最大利潤2100000元．
一、高考大題
1．(2017天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：
連續(xù)劇播放時長(分鐘)
廣告播放時長(分鐘)
收視人次(萬)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數不多于乙連續(xù)劇播放次數的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數．
(1)用x，y列出滿足題目條件的數學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？
解 (1)由已知，x，y滿足的數學關系式為
即
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分中的整數點．
(2)設總收視人次為z萬，則目標函數為z＝60x＋25y．
考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－x＋，這是斜率為－，隨z變化的一族平行直線．為直線在y軸上的截距，當取得最大值時，z的值就最大．
又因為x，y滿足約束條件，所以由圖②可知，當直線z＝60x＋25y經過可行域上的點M時，截距最大，即z最大．解方程組得則點M的坐標為(6，3)．所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時，才能使總收視人次最多．
二、模擬大題
2．(2018廣東佛山月考)若x，y滿足約束條件
(1)求目標函數z＝x－y＋的最值；
(2)若目標函數z＝ax＋2y僅在點(1，0)處取得最小值，求a的取值范圍．
解 (1)作出可行域如圖，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．
平移初始直線x－y＝0，過A(3，4)取最小值－2，過C(1，0)取最大值1．∴z的最大值為1，最小值為－2．
(2)直線ax＋2y＝z僅在點(1，0)處取得最小值，由圖象可知－1<－<2，解得－4
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