（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第一篇 小考點(diǎn)搶先練基礎(chǔ)題不失分 第3練 復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)文化試題.docx

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第3練復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)文化明晰考情1.命題角度：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和幾何意義；數(shù)學(xué)文化的考查內(nèi)容不拘一格，古今中外文化兼有.2.題目難度：復(fù)數(shù)的考查難度為低檔難度，數(shù)學(xué)文化的考查難度為中檔難度考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念要點(diǎn)重組(1)復(fù)數(shù)：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位若b0，則abi為實(shí)數(shù)；若b0，則abi為虛數(shù)；若a0且b0，則abi為純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(4)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，rR)方法技巧復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)1(2018全國(guó))設(shè)z2i，則|z|等于()A0B.C1D.答案C解析z2i2i2ii，|z|1.故選C.2(2018全國(guó))等于()AiBiCiDi答案D解析i.故選D.3已知a，bR，i是虛數(shù)單位若ai與2bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(abi)2等于()A54iB54iC34iD34i答案D解析由已知得a2，b1，即abi2i，(abi)2(2i)234i.故選D.4(2018杭州模擬)設(shè)aR，若(13i)(1ai)R(i是虛數(shù)單位)，則a等于()A3B3C.D答案B解析(13i)(1ai)1ai3i3a，(13i)(1ai)R，虛部為0，則a30，a3.5(2018浙江省杭州市第二中學(xué)月考)若復(fù)數(shù)z滿足(12i)z3i(i為虛數(shù)單位)，則z_；|z|_.答案解析由題設(shè)有z，故|z|.6(2017浙江)已知a，bR，(abi)234i(i是虛數(shù)單位)，則a2b2_，ab_.答案52解析(abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義要點(diǎn)重組(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)平面向量.7已知z(m3)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)答案A解析由復(fù)數(shù)z(m3)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，得解得3m1，故選A.8已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)a_.答案2解析因?yàn)閕，又因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，所以0，a2.9如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1，z2，則_.答案12i解析由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的表示可知z1i，z22i，所以12i.10設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(2i)z，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第_象限答案四解析由(2i)z|i|2，得zi，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限11已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限答案一解析因?yàn)閕4nkik(nZ)，且ii2i3i40，所以ii2i3i2017i，所以z，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限考點(diǎn)三幾何中的數(shù)學(xué)文化方法技巧從題目敘述中分析蘊(yùn)含的圖形及數(shù)量關(guān)系，通過(guò)分析圖形特征建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)或幾何問(wèn)題12我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)在“勾股”一章中有如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有勾八步，股十五步，勾中容圓，問(wèn)徑幾何？”意思是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度分別是8步和15步，則其內(nèi)切圓的直徑是多少步？則此問(wèn)題的答案是()A3步B6步C4步D8步答案B解析由于該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是8和15，則得其斜邊長(zhǎng)為17，設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，則有815(等積法)，解得r3，故其直徑為6步13如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，直角三角形中較小的銳角為，則tan等于()A.B.C5D.答案A解析由題意得，大正方形的邊長(zhǎng)為10，小正方形的邊長(zhǎng)為2，210cos10sin，cossin，又為銳角，易求得tan.14(2018全國(guó))中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.15我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)即同，則積不容異”“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩幾何體體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A4B8C8D82答案C解析由三視圖知，該幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱V正方體238，V半圓柱(12)2，三視圖對(duì)應(yīng)幾何體的體積V8.根據(jù)祖暅原理，不規(guī)則幾何體的體積VV8.16我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著張邱建算經(jīng)中有如下問(wèn)題：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，問(wèn)高幾何？”意思是：現(xiàn)在有粟米250斛，把它們自然地堆放在平地上，形成一個(gè)圓錐形的谷堆，其底面周長(zhǎng)為5丈4尺，則谷堆的高為多少？(注：1斛1.62立方尺，3)若使該問(wèn)題中的谷堆內(nèi)接于一個(gè)球狀的外罩，則該外罩的直徑約為()A5尺B9尺C10.6尺D21.2尺答案D解析設(shè)谷堆的高為h尺，底面半徑為r尺，則2r54，r9.粟米250斛，則體積為2501.6292h，h5.谷堆內(nèi)接于一個(gè)球狀的外罩，設(shè)球的半徑為R尺則R2(hR)2r2，解得R10.6(尺)2R21.2(尺)17衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正確的式子的序號(hào)是()ABCD答案D解析由題圖知2a12a2，2c12c2，即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正確a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，正確a1a20，c1c20，aa，cc.又a1c1a2c2，即a1c2a2c1，即ac2a1c2ac2a2c1，acca2a1c22a2c1，即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1，a1a2，c1c2，2a1c2a1c2，正確c1a2a1c2，a10，a20，即，不正確故選D.考點(diǎn)四其他數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)文化方法技巧數(shù)學(xué)文化中蘊(yùn)含的數(shù)列問(wèn)題，要尋找數(shù)列前幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，抽象出數(shù)列模型；其他數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合，關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型18張邱建算經(jīng)是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作，書中有一道題為：“今有女善織，日益功疾(注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布)，第一天織5尺布，現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織布的尺數(shù)為()A.B.C.D.答案B解析依題意設(shè)每天多織d尺，依題意得S30305d390，解得d.19(2018北京)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為()A.fB.fC.fD.f答案D解析由題意知，這十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f、公比為的等比數(shù)列，則第八個(gè)單音的頻率為()7ff.20九章算術(shù)第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位，遞減的比例為40%.今共有糧m(m0)石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和為164石，則“衰分比”與m的值分別為()A20%,369B80%,369C40%,360D60%,365答案A解析設(shè)“衰分比”為a，甲衰分得b石，由題意，得解得b125，a20%，m369.21數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩(shī)中有回文詩(shī)：“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀數(shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343、12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11,22,33，99共9個(gè)，則三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率是()A.B.C.D.答案B解析三位數(shù)的回文數(shù)為ABA，A共有1到9共9種可能，即1B1,2B2,3B3，B共有0到9共10種可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，共有91090(個(gè))；其中偶數(shù)為A是偶數(shù)，共4種可能，即2B2,4B4,6B6,8B8，B共有0到9共10種可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，其有41040(個(gè))，三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率P.22(2017浙江)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率，理論上能把的值計(jì)算到任意精度祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6_.答案解析作出單位圓的內(nèi)接正六邊形，如圖，則OAOBAB1，S66SOAB61.23(2018浙江)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一凡百錢，買雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x，y，z，則當(dāng)z81時(shí)，x_，y_.答案811解析方法一由題意，得即解得方法二1008119(只)，81327(元)，1002773(元)假設(shè)剩余的19只雞全是雞翁，則51995(元)因?yàn)?57322(元)，所以雞母：22(53)11(只)，雞翁：19118(只)1若復(fù)數(shù)lg(m22m7)(m25m6)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A2B4C6D8答案B解析復(fù)數(shù)lg(m22m7)(m25m6)i為純虛數(shù)，解得m4.2若復(fù)數(shù)zai(aR，且a0)，且|z|2，則z(12i)的實(shí)部為()A(1) B.(41)C.(14) D.(1)答案A解析因?yàn)閺?fù)數(shù)zai(aR，且a0)，所以|z|2，解得a，可得z(12i)(12i)(1)i，所以z(12i)的實(shí)部為(1)，故選A.3復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線yx對(duì)稱，且z132i，則z1z2等于()A1213iB1312iC13iD13i答案D解析點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(b，a)，且z132i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)，據(jù)此結(jié)合題意可知z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)，即z223i，據(jù)此可得z1z2(32i)(23i)13i.解題秘籍(1)復(fù)數(shù)的概念是考查的重點(diǎn)，虛數(shù)及純虛數(shù)的意義要把握準(zhǔn)確(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算中除法運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)，運(yùn)算時(shí)要分母實(shí)數(shù)化(分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù))，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件在復(fù)數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常用到1下列各式的運(yùn)算結(jié)果為2i的是()Aii2i3i4B|3i|iCi(2i)1D.3i答案D解析ii2i3i4i1i10；|3i|ii；i(2i)12ii212i2；3i3ii3i2i.2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限答案B解析z12i，12i, 則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)，位于第二象限，故選B.3設(shè)為復(fù)數(shù)zi的共軛復(fù)數(shù)，則(z)2016等于()A22016B22016C22016iDi答案A解析zi，共軛復(fù)數(shù)i，則(z)20162016(2i)201622016.4南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)古籍張邱建算經(jīng)有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給問(wèn)：每等人比下等人多得幾斤？”()A.B.C.D.答案B解析設(shè)第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此類推，第一等人得金a10斤，則數(shù)列an構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則每一等人比下一等人多得d斤金，由題意得即解得d，每一等人比下一等人多得斤金5朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的四元玉鑒卷中“如像招數(shù)”五問(wèn)中有如下問(wèn)題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問(wèn)筑堤幾日”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40392升，問(wèn)修筑堤壩多少天”，在該問(wèn)題中前5天共分發(fā)了多少升大米？()A1170B1380C3090D3300答案D解析設(shè)第n天派出的人數(shù)為an，則an是以64為首項(xiàng)，7為公差的等差數(shù)列，則第n天修筑堤壩的人數(shù)為Sna1a2an64n7，所以前5天共分發(fā)的大米數(shù)為3(S1S2S3S4S5)3(12345)64(13610)73300(升)6我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中積水深九寸，則平地降雨量是()(注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸)A1寸B2寸C3寸D4寸答案C解析如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸積水深9寸，水面半徑為(146)10(寸)，則盆中水的體積為9(62102610)588(立方寸)平地降雨量等于3(寸)故選C.7九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有陽(yáng)馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問(wèn)積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問(wèn)它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為()A128平方尺B138平方尺C140平方尺D142平方尺答案B解析設(shè)四棱錐的外接球半徑為r尺，則(2r)2725282138，這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為4r2138(平方尺)故選B.8我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚十尺，兩鼠對(duì)穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)幾何日相逢？”上述問(wèn)題中，兩鼠在第_天相逢答案4解析由題意可知，大鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前n天打洞之和為2n1；同理，小鼠前n天打洞的距離為2，2n1210，解得n(3,4)，取n4.即兩鼠在第4天相逢9已知z是純虛數(shù)，若(m2i)z23i，則實(shí)數(shù)m_.答案3解析設(shè)zai(aR且a0)，由(m2i)z23i，得(m2i)ai2amai23i，解得m3.10(2018浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)模擬)若復(fù)數(shù)z2(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為_，|z|_.答案45解析由題意得z22(12i)234i.所以復(fù)數(shù)z的虛部為4，|z|5.11已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z(1i)23i，則z的虛部為_答案解析由z(1i)23i，得zi，則z的虛部為.12如圖所示是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4095個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為，則最小正方形的邊長(zhǎng)為_答案解析依題意，正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列因?yàn)楣灿?095個(gè)正方形，則12222n14095，所以n12.所以最小正方形的邊長(zhǎng)為12112.