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單元檢測一 集合與常用邏輯用語
(時間：120分鐘 滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．下列關(guān)系正確的是( )
A．0∈? B．?{0}
C．?＝{0} D．?∈{0}
答案 B
解析 對于B，因為空集是任何非空集合的真子集，而集合{0}不是空集，所以?{0}正確，故選B.
2．設(shè)集合M＝{－1,1}，N＝，則下列結(jié)論正確的是( )
A．N?M B．M?N
C．N∩M＝? D．M∩N＝R
答案 B
解析 由<2，得<0，所以x(1－2x)<0，
解得x<0或x>，則M?N，故選B.
3．(2018杭州高級中學模擬)已知原命題：已知ab>0，若a>b，則<，則其逆命題、否命題、逆否命題和原命題這四個命題中真命題的個數(shù)為( )
A．0B．2C．3D．4
答案 D
解析 若a>b，則－＝，又ab>0，
∴－<0，∴<，∴原命題是真命題；
若<，則－＝<0，又ab>0，
∴b－a<0，∴b
1時，|a－1|＋|a|＝2a－1≤1，解得a≤1，無解．
故不等式的解集是a∈[0,1]．
若函數(shù)y＝ax在R上為減函數(shù)，則a∈(0,1)．
故“|a－1|＋|a|≤1”是“函數(shù)y＝ax在R上為減函數(shù)”的必要不充分條件．
8．若集合P＝{0,1,2}，Q＝，則集合Q中元素的個數(shù)是( )
A．4B．6C．3D．5
答案 D
解析 Q＝{(x，y)|－10，∴x>2或x<－1，∵p是q的充分不必要條件，
∴k>2，故選B.
10．設(shè)集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D．(1，＋∞)
答案 B
解析 集合A＝{x|x<－3或x>1}，
設(shè)f(x)＝x2－2ax－1，
因為a>0，所以f(－3)＝8＋6a>0，
則由題意得，f(2)≤0且f(3)>0，
即4－4a－1≤0，且9－6a－1>0，
∴≤a<，
∴實數(shù)a的取值范圍是.
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．把答案填在題中橫線上)
11．用列舉法表示集合：A＝＝____________；A的子集個數(shù)為________．
答案 {－3，－2,0,1} 16
解析 因為∈Z，x∈Z，所以x＋1＝1或2，所以x＝0或－2或1或－3，子集個數(shù)為24＝16.
12．(2018溫州模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x||x|<1}，B＝，則A∪B＝____________，A∩B＝____________.
答案 (－1，＋∞)
解析 解得A＝{x|－10對n∈N*恒成立，
即2n＋1＋t>0，t>－(2n＋1)對n∈N*恒成立，
所以t>[－(2n＋1)]max＝－3.
由函數(shù)f(x)＝kx2＋tx在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
得k＝0，t>0或k>0，≤1，即t≥－2k.
因為“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要條件，
所以k>0，－2k≤－3，
即k≥，kmin＝.
三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
18．(14分)(2018寧波模擬)已知集合A＝{x|x2＋ax－2a2≤0}．
(1)當a＝1時，求集合?RA；
(2)若[－1,1]?A，求實數(shù)a的取值范圍．
解 不等式x2＋ax－2a2≤0可化為(x＋2a)(x－a)≤0.
(1)當a＝1時，?RA＝{x|(x＋2)(x－1)>0}，
即?RA＝{x|x<－2或x>1}．
(2)方法一 當a≥0時，A＝{x|－2a≤x≤a}，
因為[－1,1]?A，所以解得a≥1.
當a<0時，A＝{x|a≤x≤－2a}，
因為[－1,1]?A，所以解得a≤－1.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
方法二 原題等價于f(x)＝x2＋ax－2a2≤0在x∈[－1,1]上恒成立，
所以
即
解得a的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
19．(15分)(2019麗水模擬)已知集合A＝{x|1－a≤x≤1＋a}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，U＝R.
(1)若a＝1，求A∪B，?UB；
(2)若A∩B＝A，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)a＝1時，A＝{x|0≤x≤2}，
B＝{x|1≤x≤3}，
A∪B＝{x|0≤x≤3}，
?UB＝{x|x>3或x<1}．
(2)因為A∩B＝A，所以A?B，
當A＝?時，1＋a<1－a，解得a<0；
當A≠?時，解得a＝0.
綜上得a≤0.
20．(15分)(2018浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知A＝{x|y＝lg(3－2x－x2)}，B＝，C＝{x|y＝，a<0}．
(1)求A∩B；
(2)若(A∩B)?C，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)A＝(－3,1)，B＝[－2,2]，A∩B＝[－2,1)．
(2)根據(jù)題意，對于集合C滿足ax2－(a＋1)x＋1
＝(ax－1)(x－1)≥0，
又∵a<0，∴C＝，
∵(A∩B)?C，∴≤－2，∴－≤a<0.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
21．(15分)已知命題p：(x＋1)(x－5)≤0，命題q：1－m≤x<1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若m＝5，如果p和q有且僅有一個真命題，求實數(shù)x的取值范圍．
解 (1)由命題p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.
命題q：1－m≤x<1＋m(m>0)．
∵p是q的充分條件，
∴[－1,5]?[1－m,1＋m)，
∴解得m>4，
則實數(shù)m的取值范圍為(4，＋∞)．
(2)∵m＝5，∴命題q：－4≤x<6.
∵p和q有且僅有一個為真命題，
∴當p真q假時，可得解得x∈?.
當q真p假時，可得
解得－4≤x<－1或52時，不等式的解為2≤x≤a，
對應(yīng)的解集為B＝{x|2≤x≤a}；
當a<2時，不等式的解為a≤x≤2，
對應(yīng)的解集為B＝{x|a≤x≤2}．
若p是q的必要不充分條件，則BA，
當a＝2時，滿足條件；
當a>2時，因為A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2≤x≤a}，
要使BA，則滿足2
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單元檢測一
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