《平面的投影》PPT課件.ppt

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5 1平面的投影 一 平面的表示法 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn) 直線及線外一點(diǎn) 兩平行直線 兩相交直線 平面圖形 1 用幾何元素表示平面 2 平面的跡線表示法 實(shí)形性 類似性 積聚性 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性 二 平面的投影特性 平面在三投影面體系中的投影特性 平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面 垂直于某一投影面 傾斜于另兩個(gè)投影面 平行于某一投影面 垂直于另兩個(gè)投影面 與三個(gè)投影面都傾斜 1 投影面垂直面 鉛垂面 正垂面 側(cè)垂面 鉛垂面 投影特性 1 abc積聚為一條線2 a b c a b c 為 ABC的類似形3 abc與OX OY的夾角反映 角的真實(shí)大小 正垂面 投影特性 1 a b c 積聚為一條線2 abc a b c ABC的類似形3 a b c 與OX OZ的夾角反映 角的真實(shí)大小 側(cè)垂面 投影特性 1 a b c 積聚為一條線2 abc a b c 為 ABC的類似形3 a b c 與OZ OY的夾角反映 角的真實(shí)大小 a b c a c b c b a 類似性 類似性 積聚性 鉛垂面 投影特性 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線 該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小 另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性 為什么 2 投影面平行面 水平面 正平面 側(cè)平面 水平面 投影特性 1 a b c a b c 積聚為一條線積聚為一條線 具有積聚性2 水平投影abc反映 ABC實(shí)形 正平面 投影特性 1 abc a b c 積聚為一條線 具有積聚性2 正平面投影a b c 反映 ABC實(shí)形 投影特性 1 abc a b c 積聚為一條線 具有積聚性2 側(cè)平面投影a b c 反映 ABC實(shí)形 側(cè)平面 積聚性 積聚性 實(shí)形性 水平面 投影特性 在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形 另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線 3 一般位置平面 一般位置平面 投影特性1 abc a b c a b c 均為 ABC的類似形2 不反映 的真實(shí)角度 平面上取任意直線 三 平面上的直線和點(diǎn) a b c b c a d n m 例1 已知平面由直線AB AC所確定 試在平面內(nèi)任作一條直線 解法一 解法二 根據(jù)定理二 根據(jù)定理一 例2 在平面ABC內(nèi)作一條水平線 使其到H面的距離為10mm n m n m 平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線 然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置 例1 已知K點(diǎn)在平面ABC上 求K點(diǎn)的水平投影 面上取點(diǎn)的方法 首先面上取線 利用平面的積聚性求解 通過在面內(nèi)作輔助線求解 例題2已知 ABC給定一平面 試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面 e e k b 例3 已知AC為正平線 補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影 解法一 解法二 3 平面上的投影面平行線 一般位置平面上存在一般位置直線和投影面平行線 不存在投影面垂直線 例題已知 ABC給定一平面 試過點(diǎn)C作屬于該平面的正平線 過點(diǎn)A作屬于該平面的水平線 m n n m 例 在平面ABC上取一點(diǎn)K 使點(diǎn)K在點(diǎn)A之下15mm 在點(diǎn)A之前20mm處 5 2圓的投影 圓的投影特性 1 圓平面在所平行投影面上的投影反映實(shí)形 2 圓平面在所垂直的投影面上的投影是直線 其長度等于圓的直徑 3 圓平面在所傾斜的投影面上的投影是橢圓 其長軸是圓的平行于這個(gè)投影面的直徑的投影 短軸是圓的與上述直徑垂直的直徑的投影 5 3直線與平面及兩平面的相對(duì)位置 相對(duì)位置包括平行 相交和垂直 一 平行問題 直線與平面平行 平面與平面平行 直線與平面平行 a c b m a b c m 例1 過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC 正平線 例2 過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC c b a m a b c m 唯一解 例題3試判斷直線AB是否平行于定平面 結(jié)論 直線AB不平行于定平面 兩平面平行 若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線 則這兩平面相互平行 若兩投影面垂直面相互平行 則它們具有積聚性的那組投影必相互平行 例題1試判斷兩平面是否平行 結(jié)論 兩平面平行 例題2已知定平面由平行兩直線AB和CD給定 試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面 二 相交問題 直線與平面相交 直線與平面相交 其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn) 要討論的問題 求直線與平面的交點(diǎn) 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系 即判別可見性 我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況 a b c m n c n b a m 平面為特殊位置 例 求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性 空間及投影分析 平面ABC是一鉛垂面 其水平投影積聚成一條直線 該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影 求交點(diǎn) 判別可見性 由水平投影可知 KN段在平面前 故正面投影上k n 為可見 還可通過重影點(diǎn)判別可見性 1 2 作圖 k m n b m n c b a a c 直線為特殊位置 空間及投影分析 直線MN為鉛垂線 其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn) 故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上 求交點(diǎn) 判別可見性 點(diǎn) 位于平面上 在前 點(diǎn) 位于MN上 在后 故k 2 為不可見 1 2 作圖 用面上取點(diǎn)法 兩平面相交 兩平面相交其交線為直線 交線是兩平面的共有線 同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn) 要討論的問題 求兩平面的交線 方法 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn) 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向 只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系 即 判別可見性 可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別 a b c d e f c f d b e a m n 空間及投影分析 平面ABC與DEF都為正垂面 它們的正面投影都積聚成直線 交線必為一條正垂線 只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影 求交線 判別可見性 作圖 從正面投影上可看出 在交線左側(cè) 平面ABC在上 其水平投影可見 如何判別 例 求兩平面的交線MN并判別可見性 b c f h a e a b c e f h 1 2 空間及投影分析 平面EFH是一水平面 它的正面投影有積聚性 a b 與e f 的交點(diǎn)m b c 與f h 的交點(diǎn)n 即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影 故m n 即MN的正面投影 求交線 判別可見性 點(diǎn) 在FH上 點(diǎn) 在BC上 點(diǎn) 在上 點(diǎn) 在下 故fh可見 n2不可見 作圖 c d e f a b a b c d e f 投影分析 N點(diǎn)的水平投影n位于 def的外面 說明點(diǎn)N位于 DEF所確定的平面內(nèi) 但不位于 DEF這個(gè)圖形內(nèi) 所以 ABC和 DEF的交線應(yīng)為MK 互交 小結(jié) 重點(diǎn)掌握 二 如何在平面上確定直線和點(diǎn) 三 兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內(nèi)的兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行 四 直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是兩者的共有點(diǎn)或共有線 解題思路 空間及投影分析 目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影 判別可見性 尤其是如何利用重影點(diǎn)判別 一 平面的投影特性 尤其是特殊位置平面的投影特性 要點(diǎn) 一 各種位置平面的投影特性 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面 三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形 類似性 在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性 另外兩個(gè)投影類似 在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 實(shí)形性 另外兩個(gè)投影積聚為直線 二 平面上的點(diǎn)與直線 三 平行問題 直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線 兩平面平行必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線 四 相交問題 求直線與平面的交點(diǎn)的方法 一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn) 利用交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解 投影面垂直線與一般位置平面求交點(diǎn) 利用交點(diǎn)的共有性和直線的積聚性 采取平面上取點(diǎn)的方法求解 求兩平面的交線的方法 兩特殊位置平面相交 分析交線的空間位置 有時(shí)可找出兩平面的一個(gè)共有點(diǎn) 根據(jù)交線的投影特性畫出交線的投影 一般位置平面與特殊位置平面相交 可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn) 求出交線 特殊位置線面相交 特殊位置線面相交 其交點(diǎn)的投影可利用直線或平面的積聚性投影直接求出 l 當(dāng)直線為一般位置 平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí) 交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn) 另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到 2 當(dāng)直線的某個(gè)投影具有積聚性 平面為一般位置時(shí) 交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重合 另一個(gè)投影可利用在平面上找點(diǎn)的方法在平面的另一個(gè)投影上得到 直線與特殊位置平面相交 由于特殊位置平面的某些投影有積聚性 交點(diǎn)可直接求出 判斷直線的可見性 特殊位置線面相交 根據(jù)平面的積聚性投影 能直接判別直線的可見性 一般位置平面與特殊位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題 由于特殊位置平面的某些投影有積聚性 交線可直接求出 判斷平面的可見性