2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）【附答案解析】

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2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 　 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，則A∩B=（　?。? A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（　?。? A． B． C． D． 4．（5分）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為（　　） A．f B．f C．f D．f 5．（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）設(shè)，均為單位向量，則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（　?。? A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 7．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2=0的距離．當(dāng)θ、m變化時(shí)，d的最大值為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）設(shè)集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，則（　?。? A．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）∈A B．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）?A C．當(dāng)且僅當(dāng)a＜0時(shí)，（2，1）?A D．當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí)，（2，1）?A 　 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 9．（5分）設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項(xiàng)公式為　 ?。? 10．（5分）在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）與圓ρ=2cosθ相切，則a=　 ?。? 11．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為　 ?。? 12．（5分）若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y﹣x的最小值是　 ?。? 13．（5分）能說(shuō)明“若f（x）＞f（0）對(duì)任意的x∈（0，2]都成立，則f（x）在[0，2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是　 ?。? 14．（5分）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為　 ??；雙曲線N的離心率為　 　． 　 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。 15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC邊上的高． 16．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點(diǎn)，AB=BC=，AC=AA1=2． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值； （Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交． 17．（12分）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值． 假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立． （Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率； （Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率； （Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等．用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡．“ξk=0”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫(xiě)出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系． 18．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍． 19．（14分）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，=λ，=μ，求證：+為定值． 20．（14分）設(shè)n為正整數(shù)，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，對(duì)于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），記 M（α，β）=[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）] （Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值； （Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素α，β，當(dāng)α，β相同時(shí)，M（α，β）是奇數(shù)；當(dāng)α，β不同時(shí)，M（α，β）是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值； （Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素α，β，M（α，β）=0，寫(xiě)出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由． 　 2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，則A∩B=（　?。? A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}， 則A∩B={0，1}， 故選：A． 　 2．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：復(fù)數(shù)==， 共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（，﹣）在第四象限． 故選：D． 　 3．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：在執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí)，k=1，S=1． 在執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí)，S=1﹣=． 由于k=2≤3， 所以執(zhí)行下一次循環(huán)．S=， k=3，直接輸出S=， 故選：B． 　 4．（5分）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為（　　） A．f B．f C．f D．f 【解答】解：從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于． 若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為：=． 故選：D． 　 5．（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：四棱錐的三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖為：PA⊥底面ABCD， AC=，CD=， PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形． 所以側(cè)面中有3個(gè)直角三角形，分別為：△PAB，△PBC， △PAD． 故選：C． 　 6．（5分）設(shè)，均為單位向量，則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（　?。? A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解答】解：∵“|﹣3|=|3+|” ∴平方得||2+9||2﹣6?=||2+9||2+6? 則?=0，即⊥， 則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要條件， 故選：C． 　 7．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2=0的距離．當(dāng)θ、m變化時(shí)，d的最大值為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由題意d==，tanα=﹣， ∴當(dāng)sin（θ+α）=﹣1時(shí)， dmax=1+≤3． ∴d的最大值為3． 故選：C． 　 8．（5分）設(shè)集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，則（　?。? A．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）∈A B．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）?A C．當(dāng)且僅當(dāng)a＜0時(shí)，（2，1）?A D．當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí)，（2，1）?A 【解答】解：當(dāng)a=﹣1時(shí)，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，顯然（2，1）不滿足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正確； 當(dāng)a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，顯然（2，1）在可行域內(nèi)，滿足不等式，所以B不正確； 故選：D． 　 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 9．（5分）設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項(xiàng)公式為　an=6n﹣3?。? 【解答】解：∵{an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36， ∴， 解得a1=3，d=6， ∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3． ∴{an}的通項(xiàng)公式為an=6n﹣3． 故答案為：an=6n﹣3． 　 10．（5分）在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）與圓ρ=2cosθ相切，則a=　1+　． 【解答】解：圓ρ=2cosθ， 轉(zhuǎn)化成：ρ2=2ρcosθ， 進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：（x﹣1）2+y2=1， 把直線ρ（cosθ+sinθ）=a的方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x+y﹣a=0． 由于直線和圓相切， 所以：利用圓心到直線的距離等于半徑． 則：=1， 解得：a=1±．a(chǎn)＞0 則負(fù)值舍去． 故：a=1+． 故答案為：1+． 　 11．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為　?。? 【解答】解：函數(shù)f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立， 可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0 則ω的最小值為：． 故答案為：． 　 12．（5分）若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y﹣x的最小值是　3?。? 【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 設(shè)z=2y﹣x，則y=x+z， 平移y=x+z， 由圖象知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)， 直線的截距最小，此時(shí)z最小， 由得，即A（1，2）， 此時(shí)z=2×2﹣1=3， 故答案為：3 　 13．（5分）能說(shuō)明“若f（x）＞f（0）對(duì)任意的x∈（0，2]都成立，則f（x）在[0，2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是　f（x）=sinx?。? 【解答】解：例如f（x）=sinx， 盡管f（x）＞f（0）對(duì)任意的x∈（0，2]都成立， 當(dāng)x∈[0，）上為增函數(shù)，在（，2]為減函數(shù)， 故答案為：f（x）=sinx． 　 14．（5分）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為　　；雙曲線N的離心率為　2　． 【解答】解：橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)， 可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)（c，0），正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得e=． 同時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率為，即， 可得：，即， 可得雙曲線的離心率為e==2． 故答案為：；2． 　 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。 15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC邊上的高． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是銳角， ∵cosB=﹣，∴sinB===， 由正弦定理得=得sinA===， 則A=． （Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB， 即64=49+c2+2×7×c×， 即c2+2c﹣15=0， 得（c﹣3）（c+5）=0， 得c=3或c=﹣5（舍）， 則AC邊上的高h(yuǎn)=csinA=3×=． 　 16．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點(diǎn)，AB=BC=，AC=AA1=2． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值； （Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交． 【解答】（I）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點(diǎn)，∴EF∥CC1， ∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 又AC?平面ABC，∴EF⊥AC， ∵AB=BC，E是AC的中點(diǎn)， ∴BE⊥AC， 又BE∩EF=E，BE?平面BEF，EF?平面BEF， ∴AC⊥平面BEF． （II）解：以E為原點(diǎn)，以EB，EC，EF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示： 則B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1）， ∴=（﹣2，1，0），=（0，﹣2，1）， 設(shè)平面BCD的法向量為=（x，y，z），則，即， 令y=2可得=（1，2，4），又EB⊥平面ACC1A1， ∴=（2，0，0）為平面CD﹣C1的一個(gè)法向量， ∴cos＜，＞===． 由圖形可知二面角B﹣CD﹣C1為鈍二面角， ∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值為﹣． （III）證明：F（0，0，2），（2，0，1），∴=（2，0，﹣1）， ∴?=2+0﹣4=﹣2≠0， ∴與不垂直， ∴FG與平面BCD不平行，又FG?平面BCD， ∴FG與平面BCD相交． 　 17．（12分）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值． 假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立． （Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率； （Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率； （Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等．用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡．“ξk=0”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫(xiě)出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系． 【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影”， 總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部， 第四類電影中獲得好評(píng)的電影有：200×0.25=50部， ∴從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的頻率為： P（A）==0.025． （Ⅱ）設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部獲得好評(píng)”， 第四類獲得好評(píng)的有：200×0.25=50部， 第五類獲得好評(píng)的有：800×0.2=160部， 則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率： P（B）==0.35． （Ⅲ）由題意知，定義隨機(jī)變量如下： ξk=， 則ξk服從兩點(diǎn)分布，則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下： 第一類電影： ξ1 1 0 P 0.4 0.6 E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4， D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24． 第二類電影： ξ2 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2， D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第三類電影： ξ3 1 0 P 0.15 0.85 E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15， D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275． 第四類電影： ξ4 1 0 P 0.25 0.75 E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15， D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875． 第五類電影： ξ5 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2， D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第六類電影： ξ6 1 0 P 0.1 0.9 E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1， D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09． ∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系為： Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1． 　 18．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍． 【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的導(dǎo)數(shù)為 f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex． 由題意可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0， 可得（a﹣2a﹣1+2）e=0， 解得a=1； （Ⅱ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex， 若a=0則x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）遞減． x=2處f（x）取得極大值，不符題意； 若a＞0，且a=，則f′（x）=（x﹣2）2ex≥0，f（x）遞增，無(wú)極值； 若a＞，則＜2，f（x）在（，2）遞減；在（2，+∞），（﹣∞，）遞增， 可得f（x）在x=2處取得極小值； 若0＜a＜，則＞2，f（x）在（2，）遞減；在（，+∞），（﹣∞，2）遞增， 可得f（x）在x=2處取得極大值，不符題意； 若a＜0，則＜2，f（x）在（，2）遞增；在（2，+∞），（﹣∞，）遞減， 可得f（x）在x=2處取得極大值，不符題意． 綜上可得，a的范圍是（，+∞）． 　 19．（14分）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N． （Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，=λ，=μ，求證：+為定值． 【解答】解：（Ⅰ）∵拋物線C：y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（1，2），∴4=2p，解得p=2， 設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線方程為y=kx+1， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2） 聯(lián)立方程組可得， 消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0， ∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1， 且k≠0，x1+x2=﹣，x1x2=， 故直線l的斜率的取值范圍（﹣∞，0）∪（0，1）； （Ⅱ）證明：設(shè)點(diǎn)M（0，yM），N（0，yN）， 則=（0，yM﹣1），=（0，﹣1） 因?yàn)?λ，所以yM﹣1=﹣yM﹣1，故λ=1﹣yM，同理μ=1﹣yN， 直線PA的方程為y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1）， 令x=0，得yM=，同理可得yN=， 因?yàn)?=+=+======2， ∴+=2，∴+為定值． 　 20．（14分）設(shè)n為正整數(shù)，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，對(duì)于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），記 M（α，β）=[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）] （Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值； （Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素α，β，當(dāng)α，β相同時(shí)，M（α，β）是奇數(shù)；當(dāng)α，β不同時(shí)，M（α，β）是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值； （Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素α，β，M（α，β）=0，寫(xiě)出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由． 【解答】解：（I ） M（a，a）=2，M（a，β）=1． （II）考慮數(shù)對(duì)（xk，yk）只有四種情況：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相應(yīng)的分別為0、0、0、1， 所以B中的每個(gè)元素應(yīng)有奇數(shù)個(gè)1， 所以B中的元素只可能為（上下對(duì)應(yīng)的兩個(gè)元素稱之為互補(bǔ)元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 對(duì)于任意兩個(gè)只有1個(gè)1的元素α，β都滿足M（α，β）是偶數(shù)， 所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}滿足 題意， 假設(shè)B中元素個(gè)數(shù)大于等于4，就至少有一對(duì)互補(bǔ)元素， 除了這對(duì)互補(bǔ)元素之外還有至少1個(gè)含有3個(gè)1的元素α， 則互補(bǔ)元素中含有1個(gè)1的元素β與之滿足M（α，β）=1不合題意， 故B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4． （Il） B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}， 此時(shí)B中有n+1個(gè)元素，下證其為最大． 對(duì)于任意兩個(gè)不同的元素α，β，滿足M（α，β）=0，則α，β中相同位置上的數(shù)字不能同時(shí)為1， 假設(shè)存在B有多于n+1個(gè)元素，由于α=（0，0，0，…，0）與任意元素β都有M（α，β）=0， 所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1個(gè)元素含有1， 根據(jù)元素的互異性，至少存在一對(duì)α，β滿足xi=yi=l，此時(shí)M（α，β）≥1不滿足題意， 故B中最多有n+1個(gè)元素． 　 — END — 第22頁(yè)（共22頁(yè)）