高三數(shù)學二輪復習-數(shù)列通項與求和方法的歸納.doc

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數(shù)列的通項與數(shù)列求和方法的探討四川省三臺縣蘆溪中學 何玉平考綱分析與備考策略：1、 考綱分析：（1） 了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，理解與的轉(zhuǎn)化關(guān)系。（2） 對于非等差、等比數(shù)列，能夠通過變形配湊，構(gòu)造新的等差、等比數(shù)列模型，再運用等差、等比數(shù)列的公式、性質(zhì)解決問題。（3） 能夠運用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的相關(guān)問題。（4） 掌握常見的數(shù)列求和類型，能夠進行數(shù)列求和運算。2、 備考策略（1） 熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念、公式與性質(zhì)，這是解決數(shù)列通項與求和問題的基礎(chǔ)。（2） 對于常見的數(shù)列的求通項、求和的類型題要善于分類歸納整理，掌握各種類型的通解通法。（3） 對于遞推數(shù)列問題，要善于從特例入手，有特殊分析歸納一般，即先猜再證，其中數(shù)學歸納法作為一種工具不會單獨命題，只會作為一種證明的手段，在應用時要注意第二步的證明技巧，做到有的放矢，思路鮮明。考點剖析與整合提升：一、求數(shù)列的通項公式方法的歸納：求數(shù)列通項公式常用觀察法、公式法、等差或等比通項公式法、遞增關(guān)系變形法（累加、累乘）等。1、 公式法： ，注意兩種情況能合并，則合并，不能合并，則分段表示。2、 常見遞推數(shù)列通項公式的求法：（1）、型（用累加法）即：，將上述個式子相加，可得：（2）、型（用累乘法）即，. 將上述個式子相乘，可得：。（3）型（方法一：待定系數(shù)法，通過待定系數(shù)法求出的值，構(gòu)造成以為首項，以為公比的等比數(shù)列。方法二：迭代法= = =而是一個等比數(shù)列，求出其和，即可求出通項。（4）型方法一：待定系數(shù)法通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列。方法二：等式兩邊同時除以有，轉(zhuǎn)化為型。（5）型兩邊取倒數(shù)有轉(zhuǎn)化為型。二、數(shù)列求和的方法（1）公式法：等差數(shù)列：；等比數(shù)列：； （2）錯位相減法:這是推導等比數(shù)列前項和公式時所使用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項和，其中分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。（3）倒序相加法將一個數(shù)列倒過來排序，當它與原數(shù)列相加時，若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。（4）分組求和法數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列時，但它可以通過適當拆分，分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并。（5）裂項法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用，其實質(zhì)是將數(shù)列中的某些項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。常見的裂項法有：三、考題精析例1：(2010年全國高考寧夏卷17）設(shè)數(shù)列滿足（1） 求數(shù)列的通項公式；（2） 令，求數(shù)列的前n項和解：（）由已知，當n1時，。而 所以數(shù)列的通項公式為。（）由知 從而 -得 。即 點評：本題主要考察由遞推關(guān)系求數(shù)列通項的方法以及運用錯位相減法求數(shù)列的和。熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。例2：（2010山東理數(shù)18）已知等差數(shù)列滿足：，的前n項和為（）求及；（）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項和【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即數(shù)列的前n項和=。【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。例3：（2010四川理數(shù)21）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設(shè)bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（）設(shè)cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項和Sn.解：(1)由題意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202分(2)當nN *時，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差為8的等差數(shù)列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首項為b1a3a16,公差為8的等差數(shù)列則bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n1 2n于是cn2nqn1.當q1時，Sn2462nn(n1)當q1時，Sn2q04q16q22nqn1.兩邊同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述兩式相減得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 22nqn 2所以Sn2綜上所述，Sn12分【命題意圖】本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和化歸、分類整合等數(shù)學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.