數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文 用高數(shù)觀點(diǎn)透視近幾年的高考數(shù)學(xué)試題.doc

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用高數(shù)觀點(diǎn)透視近幾年的高考數(shù)學(xué)試題 學(xué)生:汪子鵬 指導(dǎo)老師:胡付高 (孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖北 孝感 432000) 摘要　隨著新課標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，在近幾年的高考中出現(xiàn)了一些有著一定的高等數(shù)學(xué)背景的試題，這主要源于兩個(gè)主要因素:一是這種題型形式新穎，既能開闊數(shù)學(xué)視野，有利于高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的和諧接軌，又能有效地考察學(xué)生的思維能力，尤其是創(chuàng)新能力；二是隨著高考命題改革的逐步深入.自主命題的省市越來越多，命題組成成員中大多是大學(xué)教師，他們?cè)诿}時(shí)不可能不受自身研究背景的影響.本文將列舉幾例以示說明. 關(guān)鍵詞　連續(xù)函數(shù)；最大（小）值；遞推數(shù)列；不動(dòng)點(diǎn)；凹凸性 perspective the mathematics test question in recent years’ college entrance examinationwith the viewpoint in high school mathematics Wang Zi-peng (Xiaogan College of Mathematics and Statistics Institute HuBei XiaoGan 432000 ) Abstract: With the implementation of standard courses,College entrance examination in recent years there have been some of the higher mathematics is a certain background questions,This is mainly due to two main factors: First, this form of novel questions, Mathematics can broaden horizons,In favor of higher mathematics and the harmonious integration of Elementary Mathematics,Can effectively study the thinking ability of students, In particular the ability to innovate, Second, test the proposition with the gradual deepening of the reform. Autonomy of the provinces and cities proposition, more and more, Proposition composed of members, mostly university teachers. Proposition when they can not be free from the impact of their research background. This article will list a few examples to show that. Key words: Continuous function; the max（min）value; recursive series; fixed point;concavity and convexity 0　引言 代數(shù)推理，遞推數(shù)列，極限與求導(dǎo)方法的應(yīng)用，不動(dòng)點(diǎn)問題，數(shù)列極限的一些特性，函數(shù)圖象的凸性等具有高等數(shù)學(xué)傾向的問題逐步走進(jìn)高考，雖然它們對(duì)解決問題的邏輯依據(jù)不高，但是通過直觀化，卻可以成為命題和解決命題的基礎(chǔ).下面將列舉幾例，意在結(jié)合有關(guān)研究和分析，嘗試著預(yù)測今后可能與高數(shù)思想相聯(lián)系的高考試題趨勢和方向. 1　2008年高考數(shù)學(xué)的一個(gè)新亮點(diǎn) —猜想題 在近幾年的高考數(shù)學(xué)題中，有不少屬于猜想題，它們有的是通過觀察猜想結(jié)果(不要求證明)，有的要求先猜想再證明.究其原因主要是由于高中知識(shí)的局限性或問題的困難性，導(dǎo)致不能奢求考生給出完整的求解過程.如果站在比較高的觀點(diǎn)，用高等數(shù)學(xué)方法解析這些問題，以揭示試題的制作背景及題目本身所蘊(yùn)涵的一些深層次結(jié)論.下面將結(jié)合2008年最新高考的重慶卷、湖北卷中實(shí)例加以分析說明. 例1 (2008年重慶卷第22題) 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足， . （1）若，求，并猜想的值(不需要證明)； （2）記，若對(duì)恒成立，求的值及 數(shù)列{}的通項(xiàng)公式. 參考答案中是用的值，來猜想的值，我們關(guān)心的是能否不通過猜想而直接求出通項(xiàng).為此，我們首先看看另一道2008年廣東的高考試題. 例2 (2008年廣東卷第21題) 設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程 的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列{}滿足. （1）證明: ，； （2）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式; （3）若，求{}的前項(xiàng)和. 解 （1）、（3）解答從略. （2）由（1）得，則 ， 同理有 ， 消去，得， 當(dāng)時(shí)，有 　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?） 當(dāng)時(shí)，由不難得到 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　?。?） 將，代入（1），（2）試得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為 （3） 由例2再回頭看例1，下面利用例2的結(jié)論給出例1的一個(gè)新解法： 例1的解答 （1）對(duì)取對(duì)數(shù)，并記㏒，則，其中 .由例2之(1)試，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，于是 （）.從而. （2）由于㏒，故由例2之（1）式，可以得到，即對(duì)于恒有 （4） 特別的，在（4）式中取，有，再在(4)式中令，得 （5） 如果，在（5）式中令，產(chǎn)生矛盾，故只能有，于是 此時(shí)由例2之(1)式，得，故，所以 ，. 例3?。?008湖北卷） 觀察下列等式：，， ，，……， ，可以推測，當(dāng)（）時(shí)， ， . 這種自然數(shù)方冪和的和式，這是一個(gè)古典的冪和問題.自從希臘數(shù)學(xué)家阿基米德開始研究，一直是許多中外數(shù)學(xué)家、學(xué)者研究的熱點(diǎn)，得到了很多有益的結(jié)果[1-4]. 這些文獻(xiàn)中無一例外的，都是給出與中系數(shù)的 一些遞推關(guān)系式，利用遞推公式得到冪和的各項(xiàng)系數(shù)，通常的處理方法是對(duì)遞推公式進(jìn)行簡化，以方便計(jì)算. 對(duì)于本例題，在文獻(xiàn)[5]中作者指出：“2008年湖北卷順應(yīng)潮流，積極探索 創(chuàng)新，所命制的理科卷第15題，立意新穎，背景深刻，它源于雅各伯努利（Jacob Bernoulli）數(shù)，即前個(gè)正整數(shù)同次冪求和問題，主要考查考生的直覺觀察意識(shí)、合情推理能力和正確理解抽象數(shù)字符號(hào)語言的能力，是一道滲透新課程理念的創(chuàng)新題型．通過觀察前6個(gè)冪和等式的系數(shù)規(guī)律，得出相關(guān)項(xiàng)系數(shù)的一般性結(jié)論，充分體現(xiàn)了辯證地運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法解題的能力” .對(duì)于這種類比歸納型創(chuàng)新試題，要求考生用發(fā)散思維方法聯(lián)想、類比、推廣、轉(zhuǎn)化，獲得新發(fā)現(xiàn)，提出新問題，尋求新規(guī)律，對(duì)廣大高中生而言，具有相當(dāng)?shù)碾y度． 下面給出一個(gè)新的方法，將給出和式中系數(shù)所滿足的一個(gè)上三角形線性方程組，嘗試?yán)迷摲匠探M計(jì)算中系數(shù). 定理1 設(shè)自然數(shù)方冪和，則所有系數(shù)必滿足線性方程組 　　　　 　　　（6） 證明 由，又由于 　　　 比較系數(shù)，即得（6）成立. 下面利用定理1的（6）來解決上述例3，來看（6）的最后的4個(gè)方程: 從最后一個(gè)方程開始，依次經(jīng)過化簡后，得 ，，， 從可求出，，，. 注1　本定理提供的方法對(duì)于計(jì)算出所有的還是比較困難的，但對(duì)較小的的情形，求出、、、等，不失為一種較好的方法，而且也是解決例3中問題的一種很好的方法，該方法較為初等，它應(yīng)該能夠?yàn)楦咧谐煽儍?yōu)異的學(xué)生所接受的. 注2 定理1給出了的求法，在此基礎(chǔ)上，對(duì)于系數(shù)，可以由 確定. ２　一類絕對(duì)值函數(shù)的最值問題 最值問題是高考的必考題型之一，一般是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)或利用重要不等式的方法處理這類問題.在近幾年的高考試題中，出現(xiàn)了求絕對(duì)值函數(shù)的最值問題，在近年來的一些文獻(xiàn)中，對(duì)下例（2006年全國高考題）作了諸多探究[6-10] ： 例4[6-10]（2006年全國高考Ⅱ卷第12題） 函數(shù)的最小值為 （ ） （A）190； 　（B）171； ?。–）90；　 （D）45． 關(guān)于這類含有絕對(duì)值函數(shù)的最值問題，由于它不可導(dǎo)，因此不能用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算，必須尋求其它方法解決它.恰好在2007年全國高考寧夏卷中，也出現(xiàn)過類似試題： 例5（2007年全國高考寧夏卷第22題）　設(shè)函數(shù)． （I）解不等式； （II）求函數(shù)的最小值． 關(guān)于例5的（II）的解答，在參考答案中，是通過繪制函數(shù)的圖像得到，當(dāng)時(shí)，取得最小值． （圖1） 能否從該題的解法得到啟示，進(jìn)而獲得更一般的結(jié)論呢？該問題實(shí)際上是文獻(xiàn)[6]中提出的一個(gè)未解決的問題，在文獻(xiàn)[6]末，作者指出：對(duì)于更一般的形如，的最小值問題及它是否有最小值的判別方法，尚需進(jìn)一步研究. 下面將完全解決求函數(shù)，的最值問題，得到一個(gè)主要的結(jié)果，如下： 定理2　對(duì)于函數(shù)（），有 ⅰ）若，則沒有最大值，但存在最小值，且 ⅱ）若，則沒有最小值，但存在最大值，且 ⅲ）若，則既存在最小值，又存在最大值，且 ，． 證明 ⅰ）不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，，故在上若有最小值，則它與上的最小值相同，由于在閉區(qū)間上連續(xù)，故存在最小值．記在各分區(qū)間上最小值分別為，易知．又當(dāng)時(shí)，函數(shù) 是一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，故在區(qū)間上的最小值必在端點(diǎn)為或處取得，即 ，． 于是最小值，至于沒有最大值，可由得知； ⅱ）同理可證； ⅲ） 不妨設(shè)，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．于是，在與上具有相同的最大值與最小值，仿照ⅰ）的分析可得，存在最?。ù螅┲担易钚≈?，最大值． 定理2實(shí)際上也完全解決了文[7]末提出的幾個(gè)猜想.另外利用定理2的結(jié)論，可立即得例5中函數(shù)的最小值：因?yàn)?，而，，由定?之ⅰ）知，函數(shù)的最小值為． 3 與函數(shù)凹凸有關(guān)的一類函數(shù)的最值探源 在近幾年的全國高考數(shù)學(xué)試題中，還經(jīng)常出現(xiàn)這樣的一類最值問題，它由某些凹凸函數(shù)構(gòu)造成一種新的函數(shù)，而且該函數(shù)具有對(duì)稱性．如2005年全國高考卷第22題： 例6（Ⅰ）設(shè)函數(shù)（），求的最小值． （Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，證明 ． 參考答案中對(duì)（Ⅰ）的求法并不困難，對(duì)（Ⅱ）是用數(shù)學(xué)歸納法．如文獻(xiàn)[11]中所指出的一樣，該例實(shí)際蘊(yùn)涵的是凸函數(shù)的一些性質(zhì)．對(duì)例6，我們關(guān)注的是函數(shù)，由于該函數(shù)，故是一個(gè)凸函數(shù)，本例中函數(shù)，由于，故的圖像是關(guān)于直線對(duì)稱的，文獻(xiàn)[11]中把該例的結(jié)論（Ⅰ）推廣成 命題1[11] 設(shè)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，且，則函數(shù) 在上存在最小值． 另外，在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2007年第6期上刊登了的1677 號(hào)問題： 例7（《數(shù)學(xué)通報(bào)》07年第6期1677 號(hào)問題）已知函數(shù)，求證：． 問題提供人給出的解法具有一定的技巧性，方法難以把握，下面將給出上面例7及命題1的結(jié)論進(jìn)行一個(gè)推廣，所用方法比較簡單直觀，揭示了凹凸函數(shù)所蘊(yùn)涵的一個(gè)獨(dú)特性質(zhì)． 定理3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，且在上不變號(hào)，，，則 （1）若，則函數(shù)在上的最小值為，最大值為； （2）若，則函數(shù)在上的最大值為，最小值為． 證明 （1）設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，又由于，得到，再由 ，知是的唯一駐點(diǎn)，于是在處取得最小值 ．又，于是的最大值為 ； （2）同理可證，這里從略． 注3 對(duì)函數(shù)，由于，故知函數(shù)是關(guān)于直線對(duì)稱的．從證明中還可以看出，函數(shù)在與上的單調(diào)性相反，故在處取得最值． 在上述例7中，由于，當(dāng)時(shí)，，則由 定理3的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)滿足，于是得 ， 故得． 4 不動(dòng)點(diǎn)與數(shù)列不等式問題 在歷屆高考試題中，求數(shù)列的通項(xiàng)或證明數(shù)列不等式的內(nèi)容，占有一定的篇幅．在文獻(xiàn)[12]中研究探討了高考題中涉及到遞推數(shù)列的一類不等式問題，把近幾年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的這類試題概括在下列兩個(gè)命題中： 命題2[12] 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，，．?dāng)?shù)列滿足，，，則 ， 命題3[12] 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且， ，．?dāng)?shù)列滿足，，，則 ， 利用上述兩個(gè)命題，把2005年江西卷、2006年陜西卷、2006年湖南卷、1986年全國卷、2007年廣東卷以及文獻(xiàn)[13-15]中等諸多同類試題或例題進(jìn)行了統(tǒng)一處理，這些試題往往與遞推函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)． 事實(shí)上，還有一種類型的遞推數(shù)列不等式問題，它涉及到兩個(gè)遞推數(shù)列，聯(lián)系它們的是迭代函數(shù)具有公共的不動(dòng)點(diǎn)，上面命題2或命題3就顯得無能為力了．下面我們以2007年全國高考數(shù)學(xué)（理科）第22題為例，結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)思想，用三種方法給出它的另解，以揭示這類問題的一些處理方法． 例8 (2007年全國高考理科卷第22題) 已知數(shù)列中，，， （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列中，，證明： ， 參考答案中求出了的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明了不等式，本題中第（Ⅰ）部分較為簡單，難點(diǎn)是第（Ⅱ）部分中關(guān)于不等式的證明，參考答案中用數(shù)學(xué)歸納法先后證明了不等式與，其中不等式容易證明，但要進(jìn)一步得到卻比較困難．下面將利用不動(dòng)點(diǎn)思想，給出三種不同于參考答案的方法． 解法1 （Ⅰ）（略）； （Ⅱ） 考慮的迭代函數(shù)，．易知滿足，，由于，注意到，則由，即，即，…，用歸納法易證， 設(shè)，則，， 欲證，只需證明，為此考慮的迭代函數(shù)，由于，而，故． 記，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明， 當(dāng)時(shí)成立，假設(shè)，則，又由， 即，于是，即得，結(jié)論得證． 解法2 （Ⅰ）（略）； （Ⅱ）利用不動(dòng)點(diǎn)求出的通項(xiàng)公式：考慮函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的兩個(gè)解與，則，，它們之比為，反復(fù)利用此式，得，于是的通項(xiàng)為．顯然，而等價(jià)于，即，該不等式對(duì)一切均成立，故結(jié)論得證． 解法3 （Ⅰ） （略）； （Ⅱ），利用此式用數(shù)學(xué)歸納法不難證明，由（Ⅰ）中結(jié)論，欲證明，即證，亦即證，也就是． 令，則只需證，易知，只需證，利用分析法： ，得證． 通過解法1得到啟示，我們可以把該結(jié)果推廣為： 定理4 設(shè)在上可導(dǎo)，且，， 數(shù)列、分別滿足，，，，，則，． 證明　首先證明，：對(duì)，由，得，又由，得，即得，故有，于是，同理，有． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即．則當(dāng)時(shí)，，，即得，． 設(shè)，則，于是 也就是說，當(dāng)時(shí)，有，定理得證． 注4　如果函數(shù)滿足，稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．定理4揭示了一類由兩個(gè)具有公共不動(dòng)點(diǎn)的迭代函數(shù)構(gòu)造的數(shù)列的不等式關(guān)系． 5　結(jié)語 本文需要說明的是，盡管有些高考試題的設(shè)計(jì)來源于高等數(shù)學(xué)，但是解決的方法最終還是中學(xué)所學(xué)的內(nèi)容，而且高考中這部分問題所占比例也不是很大，因此我們沒有必要將高等數(shù)學(xué)的知識(shí)引進(jìn)到高中教學(xué)中，只是這部分內(nèi)容利用高等數(shù)學(xué)來解決可以簡化很多，容易很多.本文只在于能夠引起中學(xué)老師的注意，從中得到啟示，對(duì)此引起應(yīng)有的重視. 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