概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題1及答案.doc

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題 一1.寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件包含的樣本點(diǎn).（1） 擲一顆骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn).（2） 擲二顆骰子， A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，且恰好其中有一個(gè)1點(diǎn).” B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，但沒有一顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn).” （3）將一枚硬幣拋兩次， A=“第一次出現(xiàn)正面.”B=“至少有一次出現(xiàn)正面.”C=“兩次出現(xiàn)同一面.” 【解】2.設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：（1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3） A，B，C都發(fā)生； （4） A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；（5） A，B，C都不發(fā)生； （6） A，B，C不都發(fā)生；（7） A，B，C至多有2個(gè)發(fā)生； （8） A，B，C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） ABC=CBABCACABABC=(5) = (6) (7) BCACABCAB=(8) ABBCCA=ABACBCABC5.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.67.設(shè)A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當(dāng)AB=A時(shí)，P（AB）取到最大值為0.6.（2） 當(dāng)AB=時(shí)，P（AB）取到最小值為0.3.9.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：（1） 求五個(gè)人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1=五個(gè)人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故 P（A1）=（）5 （亦可用獨(dú)立性求解，下同）（2） 設(shè)A2=五個(gè)人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）=()5(3) 設(shè)A3=五個(gè)人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()510. 從一批由45件正品，5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.【解】與次序無關(guān),是組合問題.從50個(gè)產(chǎn)品中取3個(gè),有種取法.因只有一件次品,所以從45個(gè)正品中取2個(gè),共種取法;從5個(gè)次品中取1個(gè),共種取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法為種,所以所求概率為.11.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件（n30.如圖陰影部分所示.22.從（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：（1） 兩個(gè)數(shù)之和小于的概率；（2） 兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.【解】 設(shè)兩數(shù)為x,y，則0x,y1.（1） x+y. (2) xy=. 23.設(shè)P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率.【解】 設(shè)Ai=第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式，有 25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A=被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的，則=被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B=被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1） 即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2) 即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為21.若接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】 設(shè)A=原發(fā)信息是A，則=原發(fā)信息是BC=收到信息是A，則=收到信息是B由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè)Ai=箱中原有i個(gè)白球（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,2.又設(shè)B=抽出一球?yàn)榘浊?由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品，B=產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品由貝葉斯公式得 29.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A=該客戶是“謹(jǐn)慎的”，B=該客戶是“一般的”，C=該客戶是“冒失的”，D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設(shè)Ai=第i道工序出次品（i=1,2,3,4）. 31.設(shè)每次射擊的命中率為0.2，問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.即為 故 n11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32.證明：若P（AB）=P(A)，則A，B相互獨(dú)立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨(dú)立.33.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai=第i人能破譯（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A=飛機(jī)被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機(jī)，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗(yàn)被否定的概率.（2） 新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降機(jī)開始時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.（1） ，也可由6重貝努里模型：（2） 6個(gè)人在十層中任意六層離開，故（3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個(gè)人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；4人同時(shí)離開，有種可能結(jié)果；4個(gè)人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故（4） D=.故37. n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n個(gè)人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.將線段0，a任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長分別為x,y,a-x-y.則基本事件集為由0xa,0ya,0a-x-y乙反）由對(duì)稱性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P(甲正乙正)=46.證明“確定的原則”（Sure-thing）：若P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，則P（A）P(B).【證】由P（A|C）P(B|C),得即有 同理由 得 故 47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(kn)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.【解】 設(shè)Ai=第i節(jié)車廂是空的，（i=1,n）,則其中i1,i2,in-1是1，2，n中的任n-1個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是 故所求概率為48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為0.試證明：不論0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A=投擲硬幣r次都得到國徽B=這只硬幣為正品由題知 則由貝葉斯公式知 50.巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2n-r次，設(shè)n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2n-r次火柴視作2n-r重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率為51.求n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.52.設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P（+B）（A+B）（+）（A+）的值.【解】因?yàn)椋ˋB）（）=AB（B）（A）=AB所求 故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按題設(shè)P（A）,故P（A）=.54.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.【解】 故 故 由A,B的獨(dú)立性，及、式有 故 故 或（舍去）即P（A）=.55.隨機(jī)地向半圓0y0,P(A|B)=1,試比較P(AB)與P(A)的大小. (2006研考)【解】因?yàn)?所以 .59. 某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0p1),求此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率.【解】這是伯努利概型.第4次射擊恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率為.60. 在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),求這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率.【解】設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為x、y，則0x1,0y1,x-y，畫出圖形，由幾何概型可得，所求概率為.17