高中數學選修2-3《離散型隨機變量》復習.doc

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相互獨立事件同時發(fā)生的概率一、明確復習目標1.了解相互獨立事件的意義，會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.2.會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率.二建構知識網絡1相互獨立事件：事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立.3相互獨立事件同時發(fā)生的概率：事件相互獨立， 2.互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：互斥事件與相互獨立事件研究的都是兩個事件的關系,但而互斥的兩個事件是一次實驗中的兩個事件，相互獨立的兩個事件是在兩次試驗中得到的，注意區(qū)別。如果A、B相互獨立，則P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）如:某人射擊一次命中的概率是0.9,射擊兩次,互不影響,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.90.9=0.99,(也即1-0.10.1=0.99)4.獨立重復試驗的定義：在同樣條件下進行的各次之間相互獨立的一種試驗.6獨立重復試驗的概率公式：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復試驗中這個事恰好發(fā)生K次的概率:.k=n時,即在n次獨立重復試驗中事件A全部發(fā)生,概率為Pn(n)=Cnnpn(1p)0 =pnk=0時,即在n次獨立重復試驗中事件A沒有發(fā)生,概率為Pn()=Cn0p0(1p)n =(1p)n三、雙基題目練練手1.從應屆高中生中選出飛行員，已知這批學生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項標準合格的概率為，從中任選一學生，則該生三項均合格的概率為（假設三項標準互不影響） ( )A.B.C.D.2 (2005天津)某人射擊一次擊中的概率為0.6,經過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標的概率為 （ ）A B C D3.甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是 ( )A. p1p2B.p1（1p2）+p2（1p1）C.1p1p2D.1（1p1）（1p2）4.接種某疫苗后，出現發(fā)熱反應的概率為0.80.現有5人接種該疫苗，至少有3人出現發(fā)熱反應的概率為_.（精確到0.01）5.一道數學競賽試題，甲生解出它的概率為，乙生解出它的概率為，丙生解出它的概率為，由甲、乙、丙三人獨立解答此題只有一人解出的概率為_.6.一出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是.那么這位司機遇到紅燈前，已經通過了兩個交通崗的概率是_.簡答:1-3.CAB; 4. 0.94; 5.P=+ + =.6.P=（1）（1）=.經典例題做一做【例1】甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為求：（）甲恰好擊中目標2次的概率；（）乙至少擊中目標2次的概率；（）乙恰好比甲多擊中目標2次的概率.解：（I）甲恰好擊中目標2次的概率為（II）乙至少擊中目標2次的概率為（III）設乙恰好比甲多擊中目標2次為事件A，乙恰好擊中目標2次且甲恰好擊中目標0次為事件B1，乙恰好擊中目標3次且甲恰好擊中目標1次為事件B2，則A=B1+B2，B1，B2為互斥事件. P（A）=P（B1）+P（B2） 所以，乙恰好比甲多擊中目標2次的概率為【例2】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球.兩甲，乙兩袋中各任取2個球.()若n=3，求取到的4個球全是紅球的概率；()若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為，求n.解：（I）記“取到的4個球全是紅球”為事件.（II）記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件，“取到的4個球只有1個紅球”為事件，“取到的4個球全是白球”為事件.由題意，得 所以，化簡，得 解得，或（舍去），故 .提煉總結以為師1.正確理解概念,能準確判斷是否相互獨立事件,只有對于相互獨立事件A與B來說，才能運用公式P（AB）=P（A）P（B）.2.對于復雜的事件要能將其分解為互斥事件的和或獨立事件的積，或先計算對立事件.3.善于發(fā)現或將問題化為n次獨立重復試驗問題,進而計算發(fā)生k次的概率.離散型隨機變量的分布列一、明確復習目標了解離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列二建構知識網絡隨機變量：隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，這樣的變量的隨機變量，記作等；若是隨機變量，=a+b，其中是常數，則也是隨機變量.如出租車里程與收費.2. 離散型隨機變量：隨機變量可能取的值，可以按一定順序一一列出連續(xù)型隨機變量：隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值。離散型隨機變量的研究內容：隨機變量取什么值、取這些值的多與少、所取值的平均值、穩(wěn)定性等。3. 離散型隨機變量的分布列：設離散型隨機變量可能取的值為x1,x2,xi，且P(=xi)=pi，則稱x1x2xipp1p2pi為隨機變量的分布列。(1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質：P(=xi)=pi0；p1+p2+=1(2)求分布列的方法步驟：確定隨機變量的所有取值; 計算每個取值的概率并列表。4. 二項分布：在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的次數是一個隨機變量，其所有可能取的值為0，1，2，3，n，并且P(=k)=Cnkpkqn-k（其中k=0,1,2,n，p+q=1）,即分布列為01knPCn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0 稱這樣的隨機變量服從參數為n和p的二項分布，記作：.5.幾何分布：如：某射擊手擊中目標的概率為p,則從射擊開始到擊中目標所需次數的分布列為 123kPpqpq2pqk-1p這種種分布列叫幾何分布,記作g(k，p)= qk-1p，其中k0,1,2,，q=1-p三、雙基題目練練手1.袋中有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，現在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設兩個球號碼之和為隨機變量，則所有可能取值的個數是 ( )A.5 B.9 C.10 D.252.已知隨機變量的分布列為P（=k）=，k=1，2，則P（24）等于A.B.C.D.3.一袋中有5個白球，3個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現10次時停止，設停止時共取了次球，則P（=12）等于A.C（）10（）2B.C（）9（）2C.C（）9（）2D.C（）9（）24.設隨機變量B（2，p），B（4，p），若P（1）=，則P（1）=_5.現有一大批種子，其中優(yōu)質良種占30%，從中任取5粒，記為5粒中的優(yōu)質良種粒數，則的分布列是_.簡答:1-3.BAB; 3.第12次為紅球，前11次中9次紅球，P（=12）=C（）9（）2; 4.P（1）=1P（1）=1Cp0（1p）2=，p=，P（1）=1P（=0）=1C（）0（）4=1=答.5.B（5，03），的分布列是P（=k）=C03k075k，k=0，1，5答案：P（=k）=C03k075k，k=0，1，5經典例題做一做【例1】某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且各次射擊的結果互不影響。（1）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率（用數字作答）；（2）求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率（用數字作答）；（3）設隨機變量表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數，求的分布列解（）：記“射手射擊1次，擊中目標”為事件，則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標的概率 （）解：射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率（）解：由題設，“=k”的概率為 （且）所以，的分布列為：34kP【例2】已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品。需要從中取出2個正品，每次從中取出1個，取出后不放回，直到取出2個正品為止，設為取出的次數，求的分布列及E。解：；。的分布列表略E。提煉總結以為師1.會根據實際問題用隨機變量正確表示某些隨機試驗的結果與隨機事件；2.熟練應用分布列的兩個基本性質；3.能熟練運用二項分布計算有關隨機事件的概率。4.求離散型隨機變量的分布列的步驟：首先確定隨機變量的取值，明確每個值的意義；利用概率及排列組合知識，求出每個取值的概率；按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質驗證離散型隨機變量的期望與方差一、明確復習目標了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差.二建構知識網絡1.平均數及計算方法(1)對于n個數據x1，x2，xn，=（x1+x2+xn）叫做這n個數據的平均數， (2)當數據x1，x2，xn的數值較大時，可將各數據同時減去一個適當的常數a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么，= +a.(3)如果在n個數據中，x1出現f1次，x2出現f2次，xk出現fk次（f1+f2+fk=n），那么=,叫加權平均數.2.方差及計算方法(1)對于一組數據x1，x2，xn，s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2叫做這組數據的方差，而s叫做標準差.(2)方差公式: s2=（x12+x22+xn2）n2(3)當數據x1，x2，xn中各值較大時，可將各數據減去一個適當的常數a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna則s2=（x12+x22+xn2）n3.隨機變量的數學期望: 一般地，若離散型隨機變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 E=x1p1+x2p2+xnpn 為的數學期望，簡稱期望.也叫平均數,均值.(1)數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)期望的一個性質:E(a+b)=aE+b（3）求期望的方法步驟： 確定隨機變量的所有取值;計算第個取值的概率并列表; 由期望公式計算期望值。4. 方差: D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+(1) 標準差:D的算術平方根叫做隨機變量的標準差，記作(2)方差的性質： D(a+b)=a2D; D=E(2)-(E)2(3)方差的求法步驟：求分布列; 求期望; 由公式計算方差。隨機變量的方差與標準差都反映了:隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。5.會用求和符號:如E=xi pi，D=（xiE）2pi，6.二項分布的期望和方差：若B(n，p)，則E=np, np(1-p)7.幾何分布的期望和方差：若服從幾何分布g(k，p)= ，則 ，證明: 令 ，三、雙基題目練練手1.在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均值和方差分別為（ ）A.9.4, 0.484 B9.4, 0.016 C9.5, 0.04 D9.5, 0.0162.設導彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數為，則下列結論正確的是 ( )A.E=0.001B.D=0.099C.P（=k）=0.01k0.9910kD.P（=k）=C0.99k0.0110k3.一射手對靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現有4顆子彈，命中后的剩余子彈數目的期望為A.2.44B.3.376C.2.376D.2.44.一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1，一個面上標以數2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積的數學期望是。5.設離散型隨機變量可能取的值為1，2，3，4.P(k)ak+b(k=1，2，3，4),又的數學期望E3，則_ 6.有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝重量分別為隨機變量1、2，已知E1=E2，D1D2，則自動包裝機_的質量較好.7.若隨機變量A在一次試驗中發(fā)生的概率為p（0p1），用隨機變量表示A在1次試驗中發(fā)生的次數，則的最大值為 .解：隨機變量的所有可能取值為0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1p，從而E=0（1p）+1p=p，D=（0p）2（1p）+（1p）2p=pp2.=2（2p+）22當且僅當2p=，即p=時，取得最大值22.答案:1-3.DBC; 3. P（=0）=0.43，P（=1）=0.60.42，P（=2）=0.60.4，P（=3）=0.6，E=2.376;4.; 5.得, .6.包裝的重量的平均水平一樣,甲機包裝重量的差別大，不穩(wěn)定,答案：乙經典例題做一做【例1】 (1)一枚骰子的六個面上標有1、2、3、4、5、6，投擲一次，向上面的點數為,求E、E(2+3)和D。(2) 若隨機變量的分布列為P(=k)= (k=1，2，3，n)，求E和D。(3)一次英語測驗由50道選擇題構成，每道有4個選項，其中有且僅有一個是正確的，每個選對得3分，選錯或不選均不得分，滿分150分，某學生選對每一道題的概率為0.7，求該生在這次測驗中的成績的期望與方差。解：(1)E=x1P1+x2P2+x3P3+x6P6=1+2+3+6=3.5E(2+3)=2E+3=10D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(x6-E)2P6=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(6-3.5)2=17.5=2.92(2) E=(1+2+n)=D=E2-(E)2=(n2-1)(3)設為該生選對試題個數，為成績。則B(50，0.7)，=3E=500.7=35；D=500.70.3=10.5故E=E(3)=3E=105D=D(3)=9D=94.5【例2】(2006年安徽)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑，現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計學原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和，（）寫出的分布列；（以列表的形式給出結論，不必寫計算過程）.（）求的數學期望E.（要求寫出計算過程或說明道理）.解：（I）的分布列為123456789P（II）由的定義得.提煉總結以為師1.離散型隨機變量的期望和方差的意義.2.求期望與方差.首先應先求出分布列，再代公式求期望與方差.3.離散型隨機變量的期望和方差的計算公式與運算性質：4.二項分布的期望與方差：若B（n，p），則E=np，D=np（1p）.