《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)

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橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 第一課時(shí) 教學(xué)設(shè)計(jì) 一 教學(xué)內(nèi)容分析 教材選自人教 A 版 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)選修 2 1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn) 方程 是繼學(xué)習(xí)圓以后運(yùn)用 曲線與方程 思想解決二次曲線問題的又一實(shí)例 橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程是圓錐曲線方程研究的基礎(chǔ) 它的學(xué)習(xí)方法對(duì)整個(gè)這一章具有導(dǎo)向和引領(lǐng)作用 一方 面 它是對(duì)前面所學(xué)的運(yùn)用 代數(shù)方法研究幾何問題 的又一次實(shí)際演練 同時(shí)它也是進(jìn)一 步研究橢圓幾何性質(zhì)和雙曲線 拋物線的基礎(chǔ) 另一方面 教科書以橢圓作為學(xué)習(xí)圓錐曲 線的開始和重點(diǎn) 并依此來介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法 為 我們后面研究雙曲線 拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和方法 因此本節(jié)課有承前 啟后的作用 是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容 橢圓是通過描述橢圓形成過程進(jìn)行定義的 作為橢圓本質(zhì)屬性的揭示和橢圓方 程建立的基石 這是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn) 而坐標(biāo)法是解析幾何中的重要數(shù)學(xué)方 法 橢圓方程的推導(dǎo)是利用坐標(biāo)法求曲線方程的很好應(yīng)用實(shí)例 讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢 圓概念形成的數(shù)學(xué)化過程 并通過探究得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察 分析 抽象概括的能力 學(xué)生對(duì) 曲線與方程 的內(nèi)在聯(lián)系僅在 圓的方程 一節(jié)中有過一次感性認(rèn)識(shí) 并未真正 有所感受 通過本節(jié)學(xué)習(xí) 學(xué)生一方面認(rèn)識(shí)到橢圓與圓的區(qū)別與聯(lián)系 另一方面也為 利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)以及為學(xué)生類比橢圓的研究過程和方法 學(xué)習(xí)雙曲線 拋物線奠定了基礎(chǔ) 根據(jù)以上分析 確定本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)和教學(xué)重點(diǎn)分別是 教學(xué)重點(diǎn) 掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 體會(huì)坐標(biāo)法的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) 橢圓概念的深入理解及選擇不同的坐標(biāo)系推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 二 學(xué)生學(xué)情分析 在學(xué)習(xí)本節(jié)課前 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程 對(duì)曲線和方程的思想方法有了一些了 解和運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn) 對(duì)坐標(biāo)法研究幾何問題也有了初步的認(rèn)識(shí) 因此 學(xué)生已經(jīng)具備探究有 關(guān)點(diǎn)的軌跡問題的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力 而本節(jié)課要求學(xué)生通過自己動(dòng)手親自作出橢圓并 且還要 利用曲線方程的知識(shí)推導(dǎo)出方程 與前面學(xué)生熟悉的圓相比 對(duì)學(xué)生的抽象 分析 實(shí)踐 的能力要求比較高 可能困難要大一點(diǎn) 導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難是 學(xué)生動(dòng)手 作圖慢 用尺規(guī)作圖的思路可能出現(xiàn)障礙 受教材的影響 學(xué)生選擇坐標(biāo)系的思維可能受 到限制 方程的化簡(jiǎn)也是一個(gè)難點(diǎn) 三 教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析 根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的要求以及對(duì)教材和學(xué)生情況的分析 本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)確定為 1 感受建立曲線方程的基本過程 使學(xué)生理解橢圓的定義 即通過學(xué)生動(dòng)手用圖釘 細(xì)繩 畫橢圓 能用自己的語言敘述出什么是橢圓 進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生利用直尺 圓規(guī)作出橢圓 用 等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法從不同角度加深對(duì)橢圓的理解 2 體會(huì)坐標(biāo)法的應(yīng)用 掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程 即要讓學(xué)生自己選擇坐標(biāo) 系 根據(jù)對(duì)橢圓概念的不同理解 選擇適當(dāng)?shù)姆椒?推導(dǎo)橢圓的方程 在這些活動(dòng)的基礎(chǔ) 上 讓學(xué)生進(jìn)一步感受曲線與議程的內(nèi)在聯(lián)系 3 培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力 合作意識(shí)和分析探索能力 增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力 即通過對(duì)同一概念從不同角度的理解 坐標(biāo)系的不同選擇 用不同的方法得到不同的方程 通過比較 體會(huì)曲線方程的不確定性及其標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)稱和諧美 四 教學(xué)方法 探究式教學(xué)法 即教師通過問題誘導(dǎo) 啟發(fā)討論 探索結(jié)果 引導(dǎo)學(xué)生直 觀觀察 歸納抽象 總結(jié)規(guī)律 使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí) 能夠掌握方法 提升能力 五 教具準(zhǔn)備 多媒體課件和自制教具 繪圖板 圖釘 細(xì)繩 六 教學(xué)過程 一 創(chuàng)設(shè)情境 引入概念 1 嫦娥一號(hào) 是我國(guó)的首顆繞月人造衛(wèi)星 以中國(guó)古代神話人物嫦娥命名 已于 2007 年 10 月 24 日 18 時(shí) 05 分左右在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心升空 在快要到達(dá)月球時(shí) 依靠控制火箭 的反向助推減速 在被月球引力 俘獲 后 成為環(huán)月球衛(wèi)星 繞月球飛行 請(qǐng)問 嫦娥一號(hào) 衛(wèi)星的繞月運(yùn)行軌道是什么 學(xué)生根據(jù)自己平時(shí)的積累 可能會(huì)回答圓或橢圓 設(shè)計(jì)意圖 展示 嫦娥一號(hào) 繞月球運(yùn)行的軌道圖片 指出衛(wèi)星進(jìn)入太空后 以橢圓形 軌道繞月運(yùn)行后又以極月圓軌道繞月球飛行 由于實(shí)際的結(jié)果與學(xué)生已有的認(rèn)知產(chǎn)生了沖 突 從而激發(fā)了學(xué)生的興趣和探索欲望 2 用圓柱狀水杯盛半杯水 將水杯放在水平桌面上 截面為圓形 當(dāng)端起水杯喝水時(shí) 水 杯傾斜 再觀察水平面 此時(shí)截面為橢圓形 聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形 回憶 1 圓是怎么畫出來的 2 圓的定義是什么 3 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式 圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡 根據(jù)圓的定義 用一根細(xì)繩就可畫出一個(gè)圓 將 細(xì)繩的一貫固定在黑板上 在另一端系上一支粉筆 將細(xì)繩繃緊并繞固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周即 可 猜想 1 橢圓是怎么畫出來的 2 橢圓的定義是什么 3 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么形式 提出 將圓心從一點(diǎn) 分裂 成兩點(diǎn) 將細(xì)繩的兩端固定在這兩點(diǎn) 用粉筆挑起細(xì)繩并繃緊 移動(dòng)粉筆 可畫出什么圖形 設(shè)計(jì)意圖 從生活實(shí)際出發(fā) 從而激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望 用類比的思想 通過已 經(jīng)學(xué)過的圓的知識(shí)猜想橢圓 開展后續(xù)教學(xué) 二 實(shí)驗(yàn)探究 形成概念 1 學(xué)生分組 合作探究 教師巡視指導(dǎo) 通過動(dòng)手實(shí)踐 觀察 猜想軌跡為橢圓 每四人 一組 在預(yù)先準(zhǔn)備好的繪圖板上 用圖釘固定細(xì)繩兩端 用鉛筆挑起細(xì)繩并繃緊 移動(dòng)鉛 筆 觀察畫出的圖形 2 展示學(xué)生成果 請(qǐng)學(xué)生代表本小組交流探究結(jié)論 根據(jù)橢圓畫法 從中歸納橢圓定義 與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng) 繩長(zhǎng) 的點(diǎn)的軌跡為橢圓 繩長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離 3 幾何畫板動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)生成軌跡的全過程 印證猜想 設(shè)計(jì)意圖 給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手操作 合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì) 通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生去探究 滿足 什么樣的條件下的點(diǎn)的集合為橢圓 讓每個(gè)人都動(dòng)手畫圖 自己思考問題 由此培養(yǎng)學(xué)生 的自信心 4 橢圓定義的完善 1 提出問題 要想用上面那句話作為橢圓的定義 要保證它足夠嚴(yán)密 經(jīng)得起推敲 那 么 這個(gè)常數(shù)可以是任意正實(shí)數(shù)嗎 有什么限制條件嗎 引導(dǎo)學(xué)生回答 在 定義 中需要加上 常數(shù)大于 的限制 2 深化問題 若常數(shù)等于 或常數(shù)小于 情況會(huì)發(fā)生什么變化 應(yīng)用平面幾何中的 三角形任意兩邊之和大于第三邊 兩點(diǎn)之間線段最短 為理論依據(jù) 得出結(jié)論 當(dāng)常數(shù)等于 時(shí) 與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是線 段 當(dāng)常數(shù)小于 時(shí) 與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡不存 在 設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程 提高其歸納概括能力 加深對(duì)橢 圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí) 并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng) 5 概括橢圓定義 請(qǐng)學(xué)生給出經(jīng)過修改的橢圓定義 定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 距離的和等于常數(shù) 大于 的點(diǎn)的軌跡叫橢圓 教師指出 這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn) 兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距 思考 焦點(diǎn)為 的橢圓上任一點(diǎn) M 有什么性質(zhì) 令橢圓上任一點(diǎn) M 則有 補(bǔ)充 若 時(shí) 軌跡是線段 若 時(shí) 無軌跡 設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生通過反思畫圖過程 歸納定義 學(xué)習(xí)定義 為后面分析橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程做下鋪墊 比較深入地理解橢圓定義的條件 三 研討探究 推導(dǎo)方程 問題 請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 求出焦點(diǎn)是 焦距是 動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) 距離之和是 的橢圓中的方程 請(qǐng)先說出解決這個(gè)問題的方案 討論之 后再進(jìn)行解決 活動(dòng)方式 學(xué)生先獨(dú)立思考 之后全班交流 確定最后的解決方案 然后分工合作 共同 完成 之后再交流 設(shè)計(jì)意圖 通過坐標(biāo)系的不同選擇 用不同的方法得到不同的方程 通過比較體會(huì)曲 線的方程的不確定性 理解曲線與方程的關(guān)系 感受恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系的優(yōu)越性 感受標(biāo)準(zhǔn) 方程的簡(jiǎn)潔 對(duì)稱 和諧之美 并在實(shí)踐中通過對(duì)比提高決策能力 計(jì)算能力 培養(yǎng)學(xué)生 簡(jiǎn)約的思維能力 預(yù)設(shè)的解決方案 方案 1 如圖 1 建立坐標(biāo)系 得到方程 方案 2 如圖 2 建立坐標(biāo)系 得到方程 方案 3 如圖 3 建立坐標(biāo)系 得到方程 方案 4 如圖 4 建立坐標(biāo)系 得到方程 方案 5 如圖 5 建立坐標(biāo)系 以下是方案 1 的過程 其它方案的過程略 以過 的直線為 軸 線段 的垂直平分線為 軸 建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè) 點(diǎn) 為橢圓上任意一點(diǎn) 則 稱此式為幾何條件 得 實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化 想一想 下面怎樣化簡(jiǎn) 教師為突破難點(diǎn) 進(jìn)行引導(dǎo)設(shè)問 我們?cè)趺椿?jiǎn)帶根式的式子 對(duì)于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢 化簡(jiǎn) 得 2 的引入 由橢圓的定義可知 讓點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到 軸正半軸上 如圖 2 由學(xué)生觀察圖形直觀獲得 的幾何意義 進(jìn) 而自然引進(jìn) 此時(shí)設(shè) 于是得 兩邊同時(shí)除以 得到方程 注意 兩 次平方時(shí)的等價(jià)性 可以根據(jù)學(xué)生的具體 情況選擇加以證明 或者不加證明的指出 板書 方程 叫做 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在 軸上 其坐標(biāo)是 其中 把學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程的具有代表性的方法 在實(shí)物展臺(tái)上投影 問題 通過對(duì)比學(xué)生求出橢圓各種形式的方程 你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律 哪一種方程最簡(jiǎn)潔 活動(dòng)形式 學(xué)生思考后主動(dòng)發(fā)言回答 設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生通過對(duì)比及感性認(rèn)識(shí) 總結(jié)歸納出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 1 焦點(diǎn)在 軸 以 所在直線為 軸 線段 的垂直平分線為 軸 建立直角 坐標(biāo)系 上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 焦點(diǎn)在 軸 以 所在直線為 軸 線段 的垂直平分線為 軸 建立直角 坐標(biāo)系 上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 四 歸納概括 方程特征 1 觀察橢圓圖形及其標(biāo)準(zhǔn)方程 師生共同總結(jié)歸納 1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)的橢圓中心在原點(diǎn) 以焦點(diǎn)所在軸為坐標(biāo)軸 2 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式 左邊是兩個(gè)分式的平方和 右邊是 1 3 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù) a b c 關(guān)系 2 在歸納總結(jié)的基礎(chǔ)上 填下表 設(shè)計(jì)意圖 把兩種類型的橢圓方程推導(dǎo)出來 那這兩類方程有什么相同點(diǎn) 有什么不 同點(diǎn)呢 先讓學(xué)生進(jìn)行小組討論 找出性質(zhì) 再列出表格讓學(xué)生填空 這樣通過表格的對(duì) 比可以對(duì)知識(shí)深化理解 五 例題研討 變式精析 例 1 判斷分別滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是否為橢圓 1 到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為 6 的點(diǎn)的軌跡 是 2 到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為 4 的點(diǎn)的軌跡 不是 3 到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為 6 的點(diǎn)的軌跡 是 4 到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為 4 的點(diǎn)的軌跡 不是 設(shè)計(jì)意圖 鞏固橢圓定義 例 2 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于 10 變式一 將上題焦點(diǎn)改為 結(jié)果如何 變式二 將上題改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為 8 橢圓上一點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離和等于 10 結(jié) 果如何 學(xué)生直接搶答 設(shè)計(jì)意圖 1 根據(jù)不同條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 定義或待定系數(shù) 2 提醒學(xué)生在 解題時(shí)先要根據(jù)焦點(diǎn)位置判斷使用哪種形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 例 3 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 并且經(jīng)過點(diǎn) P 活動(dòng)形式 學(xué)生獨(dú)立思考完成 教師巡視 投影學(xué)生答案 學(xué)生討論總結(jié) 解題思路 1 先根據(jù)已知條件設(shè)出焦點(diǎn)在 軸上的橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程 再將橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo) 代入此方程 并結(jié)合 間的關(guān)系求 出 的值 從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 設(shè)計(jì)意圖 學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解題思路 2 利用橢圓定義 橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù) 2 求出 值 再 結(jié)合已知條件和 間的關(guān)系求出 的值 進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程 設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生體會(huì)橢圓定義在解題中的重要作用 六 小結(jié)歸納 提高認(rèn)識(shí) 最后進(jìn)行課堂小結(jié) 先由學(xué)生小組討論 再個(gè)別提問 然后集體補(bǔ)充 最后教師才引導(dǎo)和 完善 師生應(yīng)共同歸納本節(jié)所學(xué)內(nèi)容 知識(shí)規(guī)律以及所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法 定義 橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn) F1 F 2 的距離的和等于常數(shù) 大于 F 1F2 的點(diǎn)的軌跡 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 焦點(diǎn)坐標(biāo) F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 的關(guān)系 學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生總結(jié)出在知識(shí) 數(shù)學(xué)思想等方面的收獲 設(shè)計(jì)意圖 擺脫傳統(tǒng)教學(xué)中教師小結(jié)的做法 以表格形式出現(xiàn) 讓學(xué)生自己總結(jié) 加深 對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)識(shí) 七 作業(yè)訓(xùn)練 鞏固提高 1 課本作業(yè) 2 你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點(diǎn)嗎 作圖的依據(jù)是什么 根據(jù)你的作圖方法 能找到與之相應(yīng)的方法求出橢圓方法嗎 活動(dòng)方式 留作課后自主或交流完成 設(shè)計(jì)意圖 鞏固橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí) 按照能力來選擇作業(yè)也體現(xiàn)了分層教學(xué)的 思想 還可以激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)自己的能力 激發(fā)興趣 八 板書設(shè)計(jì) 根據(jù)課堂教學(xué)要求 板書設(shè)計(jì)如下 七 教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本節(jié)課以問題為紐帶 以探究活動(dòng)為載體 學(xué)生在自覺進(jìn)入問題情境后 在問題的指引下 和老師的指導(dǎo)下 通過實(shí)踐 探索 體驗(yàn) 反思等活動(dòng)把探究活動(dòng)層層展開 步步深入 親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程 使學(xué)生在知識(shí)的形成過程中 獲得數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn) 享受到成 功的樂趣 同時(shí)在思想方法運(yùn)用 思維能力等方面得到提高和發(fā)展 課堂進(jìn)行中通過實(shí)際 操作 多媒體課件演示等 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 使學(xué)生讓學(xué)生在生生互動(dòng) 師生互動(dòng)中 把學(xué)生的學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問題 發(fā)現(xiàn)問題 分析問題 解決問題的過程 希望對(duì) 學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)思想的建立 心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用 本節(jié)課學(xué)生活動(dòng)較多 知識(shí)拓展較深 運(yùn)算較困難 因此本節(jié)課不能按預(yù)計(jì)完成 剩余問 題下節(jié)課解決 八 課后反思 1 本節(jié)課整個(gè)教學(xué)過程為 提出問題 探索 解決問題 歸納反思 提高 在問 題的設(shè)計(jì)中 從多角度探究 縱向挖掘知識(shí)深度 橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系 這樣的設(shè)計(jì)不 但突出了重點(diǎn) 更使難點(diǎn)的突破水到渠成 2 存在的問題 1 對(duì)課堂調(diào)控沒有真正達(dá)到目的 如推導(dǎo)橢圓方程的目的是要讓學(xué)生 從代數(shù)的角度去理解橢圓 但由于學(xué)生沒能及時(shí)推導(dǎo)出方程 實(shí)際上沒能達(dá)到這個(gè)效果 2 對(duì)學(xué)生估計(jì)不夠 如問題 建系求方程 提出后 學(xué)生討論積極但由于計(jì)算不過關(guān) 導(dǎo) 致幾種解法沒有結(jié)果 只能課下研究