《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習(xí)題三答案

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1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題及答案 習(xí)題三 1 將一硬幣拋擲三次 以 X 表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù) 以 Y 表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù) 與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值 試寫出 X 和 Y 的聯(lián)合分布律 解 X 和 Y 的聯(lián)合分布律如表 0 1 2 3 1 0 3C28 A31C 8 A0 3 80 0 128 2 盒子里裝有 3 只黑球 2 只紅球 2 只白球 在其中任取 4 只球 以 X 表示取到黑球的只 數(shù) 以 Y 表示取到紅球的只數(shù) 求 X 和 Y 的聯(lián)合分布律 解 X 和 Y 的聯(lián)合分布律如表 0 1 2 3 0 0 0 3247C5 A13247C5 A 1 0 12347C65 A2134731247 2 P 0 黑 2 紅 2 白 247C 35 A123472347C5 A0 3 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F x y 020 sin他 yxyx 求二維隨機(jī)變量 X Y 在長方形域 內(nèi)的概率 36 4 解 如圖 0 3 2 46PY 公 式 0 466FF X Y X Y 2 sinsinsi0sin436362 1 AA 題 3 圖 說明 也可先求出密度函數(shù) 再求概率 4 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的分布密度 f x y 0 0 43 他yxAyxe 求 1 常數(shù) A 2 隨機(jī)變量 X Y 的分布函數(shù) 3 P 0 X 1 0 Y 2 解 1 由 34 0 ded12xyAfxy 得 A 12 2 由定義 有 yxFfuv 3434012ed 1e 0 xyx 其 他 3 PXY 12 34 380 2ed 1e 0 94xy 5 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 f x y 0 2 6 他yxyxk 1 確定常數(shù) k 2 求 P X 1 Y 3 3 求 P X 1 5 4 求 P X Y 4 解 1 由性質(zhì)有 3 240 d 6 d81 fxykxyk 故 18R 2 13 PXYfxy 0236d8k 3 11 5 a x Dfyxfxy 如 圖 40227d 83 4 24 dXYDPfyxfxy 如 圖 b 2016 題 5 圖 6 設(shè) X 和 Y 是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 在 0 0 2 上服從均勻分布 Y 的密度函數(shù)為 fY y 他ye 求 1 X 與 Y 的聯(lián)合分布密度 2 P Y X 題 6 圖 解 1 因 X 在 0 0 2 上服從均勻分布 所以 X 的密度函數(shù)為1 0 2 2Xxfx 其 他 而 4 5e 0 yYf 其 他 所以 XYfxyfxyA獨(dú) 立 551e2 0 20 0 yyxy 且其 他 2 5 dedyyxDPYXf 如 圖 0 20 2 5 1e 3679yx 7 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 F x y 0 0 1 24他yxyxe 求 X Y 的聯(lián)合分布密度 解 42 28e xyfxy 其 他 8 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 f x y 4 2 01 yxyx 其 他 求邊緣概率密度 解 dXff x204 82 4 01 0 yxx 其 他 dYfyfx 1 2y4 82 4 3 01 0 0 yy 其 他 5 題 8 圖 題 9 圖 9 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 f x y 0 他eyxy 求邊緣概率密度 解 dXfxf e 0 0 yxx 其 他 dYff 0e 0 yxy 其 他 題 10 圖 10 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 f x y 0 1 2他yxc 1 試確定常數(shù) c 2 求邊緣概率密度 解 1 d dDfxyfxy 如 圖 21 4 1 xcc 得 214c 2 dXfxfy 6 2 1241 1 d840 0 xxxy 其 他 Yfyf 52217d 01 40 yxy 其 他 11 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 f x y 0 1 1xy 求條件概率密度 fY X y x f X Y x y 題 11 圖 解 dXfxfy 1201 0 xx 其 他 1d 10 0 yY xyfyfx 其 他 所以 1 1 20 YXXyxfxyfy 其 他 7 1 1 0 XYYyxfxyf 其 他 12 袋中有五個號碼 1 2 3 4 5 從中任取三個 記這三個號碼中最小的號碼為 X 最 大的號碼為 Y 1 求 X 與 Y 的聯(lián)合概率分布 2 X 與 Y 是否相互獨(dú)立 解 1 X 與 Y 的聯(lián)合分布律如下表 3 4 5 iPXx 1 351C0 352C10 3510 6 2 0 353523 3 0 0 251C0 1 iPYy 103106 2 因 6 1 3 XPYPXY A 故 X 與 Y 不獨(dú)立 13 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布律為 2 5 8 0 4 0 8 0 15 0 30 0 35 0 05 0 12 0 03 1 求關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布 2 X 與 Y 是否相互獨(dú)立 解 1 X 和 Y 的邊緣分布如下表 2 5 8 P Y yi 0 4 0 15 0 30 0 35 0 8 0 8 0 05 0 12 0 03 0 2 iPXx 0 2 0 42 0 38 Y X XY XY 8 2 因 2 0 42 8PXY A016 5 2 0 4 PXY 故 X 與 Y 不獨(dú)立 14 設(shè) X 和 Y 是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 在 0 1 上服從均勻分布 Y 的概率密度為 fY y 2 他ye 1 求 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度 2 設(shè)含有 a 的二次方程為 a2 2Xa Y 0 試求 a 有實(shí)根的概率 解 1 因 1 0 Xxfx 其 他 21e 0yYf 其 他 故 2e1 0 yXYxyfxyfx A獨(dú) 立 其 他 題 14 圖 2 方程 有實(shí)根的條件是20aXY 2 40XY 故 X2 Y 從而方程有實(shí)根的概率為 22 dxyPfx 21 0e 0 45y 15 設(shè) X 和 Y 分別表示兩個不同電子器件的壽命 以小時計 并設(shè) X 和 Y 相互獨(dú)立 且服 從同一分布 其概率密度為 f x 0 102他x 9 求 Z X Y 的概率密度 解 如圖 Z 的分布函數(shù) ZXFzPzzY 1 當(dāng) z 0 時 0 2 當(dāng) 0 z0 的泊松分布 每位乘客在中途下車的概率 為 p 0 p 1 且中途下車與否相互獨(dú)立 以 Y 表示在中途下車的人數(shù) 求 1 在 發(fā)車時有 n 個乘客的條件下 中途有 m 人下車的概率 2 二維隨機(jī)變量 X Y 的概率分布 解 1 C 1 0 01 2nnPYmpn Y X 15 2 PXnYmPXnYmXn A eC 1 01 2 np 24 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 獨(dú)立 其中 X 的概率分布為 X 而 Y 的概率密度為 f y 7 3021 求隨機(jī)變量 U X Y 的概率密度 g u 解 設(shè) F y 是 Y 的分布函數(shù) 則由全概率公式 知 U X Y 的分布函數(shù)為 0 3 1 2 GuPPYPu 0 31 72 uu 由于 X 和 Y 獨(dú)立 可見 0 3 1 0 YY 7 2 Fu 由此 得 U 的概率密度為 0 3 1 0 gGFu 72fuf 25 25 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立 且均服從區(qū)間 0 3 上的均勻分布 求 P max X Y 1 解 因為隨即變量服從 0 3 上的均勻分布 于是有 1 03 3 xfx 1 03 3 yfy 因為 X Y 相互獨(dú)立 所以 1 03 9 xyfxy 推得 1 ma 9PXY 26 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的概率分布為 1 0 1 1 0 a 0 0 2 0 1 b 0 2 XY 16 1 0 0 1 c 其中 a b c 為常數(shù) 且 X 的數(shù)學(xué)期望 E X 0 2 P Y 0 X 0 0 5 記 Z X Y 求 1 a b c 的值 2 Z 的概率分布 3 P X Z 解 1 由概率分布的性質(zhì)知 a b c 0 6 1 即 a b c 0 4 由 可得 0 2E 01ac 再由 0 1 0 5PXYabPY 得 3b 解以上關(guān)于 a b c 的三個方程得 0 2 1 0ac 2 Z 的可能取值為 2 1 0 1 2 2PZXY 0 10 P 0 1 3PZXYXY P 2 1 0 ZXY 即 Z 的概率分布為 Z 2 1 0 1 2 P 0 2 0 1 0 3 0 3 0 1 3 0 104XPYb