江蘇省2011年高考數(shù)學模擬題.doc

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2011年高考數(shù)學模擬題一、填空題1.已知復數(shù) z1=m+2i，z2=3-4i，若 為實數(shù)，則實數(shù)m的值為 。-。2如圖墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分 都是以正方形的頂點為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是 。1-。3. 甲、乙兩個學習小組各有10名同學，他們在一次數(shù)學測驗中成績的莖葉圖如下圖所示，則他們在這次測驗中成績較好的是甲組。甲 乙5 8 53 6 47 94 7 4569 76641 8 029 2 9 4. 設集合A=0,1,2，B=0,1,2，分別從集合A和B中隨機 取一個數(shù)a,和b，確定平面上的一個點P(a,b)，記“點P(a,b)落在直線x+y=n上”為事件Cn(0n4， nN)，若事件Cn的概率最大，則n的可能值為 。2。5. 在平面直角坐標系中，正方形ABCD的中心坐標為(3，2)，其一邊AB所在直線的方程為x-y+1=0，則邊AB的對邊CD所在直線的方程為 。x-y-3=0。6. 某個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 cm3。(cm3)。7. 若點P(2，0)到雙曲線-=1的一條漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為 。8已知流程圖如右圖所示，該程序運行后，為使輸出的b值為16，則循環(huán)體的判斷框內(nèi)處應填 。3。9. 函數(shù)y=f(x)的圖像在點M(1, f(1)處的切線方程是y=3x-2，則f(1)+ f (1)= 。4。10若直線ax+by=1(a,bR)經(jīng)過點(1，2)，則+的最小值是 。3+2。11已知在平面直角坐標系xOy中，O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1)，動點M(x,y) 滿足條件，則的最大值為 。4。14.下列命題中，錯誤命題的序號有 (1)、(2)、(3) 。 (1)“a=-1”是“函數(shù)f(x)= x2+|x+a+1| ( xR) 為偶函數(shù)”的必要條件； (2)“直線l垂直平面內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線l垂直平面”的充分條件； (3)已知a，b，c為非零向量，則“ab= ac”是“b=c”的充要條件； (4)若p: xR，x2+2x+20,則 p:xR，x2+2x+20。二、代數(shù)基本題1、已知向量a=(cosx，sinx)，b=(-cosx，cosx)，c=(-1，0)。(1)若x=，求向量a，c的夾角；(2)當x，時，求函數(shù)f(x)=2ab+1的最大值。解：(1)當x=時，cos=-cosx=-cos=cos。 0，=。(2) f(x)=2ab+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=sin(2x-)。 x，2x-，2，故sin(2x-)-1, ，當2x-=，即x=時，f(x)max=1。2、已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：(1) 2sinBcosC-sin(B-C)的值；(2)若a=2，求ABC周長的最大值。解：(1)b2+c2=a2+bc，a2=b2+c2-bc，結(jié)合余弦定理知cosA=，A=，2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=。 (2)由a=2，結(jié)合正弦定理，得 b+c=sinB+sinC =sinB+sin(-B) =2sinB+2cosB=4sin(B+)，可知周長的最大值為6。3、口袋中裝有質(zhì)地大小完全的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號。如果兩個編號的和為偶數(shù)就算甲勝，否則算乙勝。(1)求甲勝且編號的和為6的事件發(fā)生的概率；(2)這種游戲規(guī)則公平嗎？說明理由。解：(1)設“甲勝且兩個編號的和為6”為事件A，甲編號x，乙編號y，(x，y)表示一個基本事件，則兩人摸球結(jié)果包括(1，1)，(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(5，4)，(5，5)共25個基本事件；A包含的基本事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5個，所以P(A)= 。答：編號之和為6且甲勝的概率為。(2)這種游戲不公平。設“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C。甲勝即兩編號之和為偶數(shù)所包(含基本事件數(shù)為以下13個：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)；所以甲勝的概率為P(B)=。乙勝的概為P(C)=1-=，P(B)P(C)，這種游戲規(guī)則不公平。三、立體幾何題4、如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分別是AB、PD的中點。 (1)求證：AF平面PCE； (2)求證：平面PCE平面PCD。證明：(1)取PC中點G，連接FG、EG。因為F、G分別為PD、PC的中點，所以FGCD且FG=CD，又AECD且AE=CD，所以，F(xiàn)GAE且FG=AE，四邊形AEGF為平行四邊形，因此，AFEG，又AF 平面PCE，所以AF平面PCE。(2) 由PA平面ABCD，知PACD，又CDAD，所以CD平面PAD，CDAF。又PAAD，F(xiàn)為PD的中點，則AFPD，因此，AF平面PCD。而AFEG，故EG平面PCD，又EG平面PCE，所以，平面PCE平面PCD。四、解析幾何題5、已知橢圓 x2+=1(0b1)的左焦點為F，左、右頂點分別為A，C，上頂點為B，過F、B、C作P，其中圓心P的坐標為(m,n)。(1)當m+n0時，求橢圓離心率的范圍；(2)直線AB與P能否相切？證明你的結(jié)論。解：(1)設F、B、C的坐標分別為(-c, 0)，(0, b)，(1, 0)，則FC、BC的中垂線分別為x=，y-=(x-)，聯(lián)立方程組，解出 。 m+n=+0，即 b-bc+b2-c0，即 (1+b)(b-c)0，bc。從而b2c2，即有 a22c2，e2，又e0，0e。(2)直線AB與P不能相切。由 kAB=b，kPB=，如果直線AB與P相切，則 b=-1，又b2+c2=1，解出c=0或2，與0c1矛盾，所以直線AB與P不能相切。五、導數(shù)應用題6、水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間(單位：月)，以年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為v(t)= 。(1)若該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期，以i-1ti表示第i月份(i=1，2，12)，問一年內(nèi)那幾個月份是枯水期？(2)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量(取e3=20計算)。解：(1)當0t9時，v(t)=(-t2+15t-51)et+5050，即t2-15t+510，解得 t或 t，從而 0t5.2。當9t12時，v(t)=4(t-9)(3t-41)+5050，即(t-9)(3t-41) 0，解得 9t，所以 9t12。綜上，0t5.2或9t12，枯水期為1，2，3，4，5，10，11，12月。(2)由(1)知，水庫的最大蓄水量只能在69月份。 v(t)=(-t2+13t-36)et =-et(t-1)(t-9)，令v(t)=0，解得t=9或t=4(舍去)，又當t(6,9)時，v(t)0；當t(9,10)時，v(t)0。所以，當t=9時，v(t)的最大值v(9)=3e9+50=150(億立方米)，故一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是150億立方米。7、一變壓器的鐵芯截面為正十字形，為保證所需的磁通量，要求十字形應具有4m2的面積。問應如何設計十字形的寬x及長y，才能使其外接圓的周長最短，這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節(jié)省。解：設AB=h，則長y=2h+x。由題意，x2+4xh=4，h=，又 l=2R，欲求l的最小值，只須求出R的最小值， 4R2= x2+(2h+x)2=2(x2+2hx+2h2)，設 (x)= x2+2hx+2h2= x2+2h2+=+x2+(0x2R)。令 (x)= x- =0 x4=16，x=2，這時 h=，y=2h+x=+1。根據(jù)問題的實際意義，此最小周長l，最小半徑R是存在的，故 x=2cm，y =(+1)cm 即為所求。六、數(shù)列綜合題8.設數(shù)列an滿足a1 = 3，an+1 = 2ann2n+13n，n1。(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項之和Sn。解: (1) an = 2an-1(n-1)2n3n-1=22an-2+(n-2)2n-13n-2(n-1)2n3n-1=22an-2(n-2)(n-1)2n(23n-23n-1)=222an-3(n-3)2n-23n-3(n-2)(n-1)2n(23n-23n-1)=23an-3(n-3)(n-2)(n-1)2n(223n-323n-23n-1)=2 n-1a1123(n-1)2n(2n-232n-3323n-1)=2n-132n2n-23=2n-1(n2-n3)2n-13()n-1-1=2n-1(n2-n)3n。(2)設數(shù)列bn，其中 bn =2n-1(n2-n)，Mn 為其前n項和，則Sn= Mn3n。Mn =0122123223423(n-1)n2n-1，2Mn = 12222323(n-1)n2n，相減得 - Mn = 122222232232(n-1)2n-1- (n-1)n2n=122223324(n-1)2n- (n-1)n2n，-2 Mn = 123224325(n-1)2n+1- (n-1)n2n+1，相減得 Mn = 12223242n- (n-1)2 n+1(n-1)n2n = (2-n)2 n+1(n-1)n2n-4，Sn = Mn3323n= - (n-2)2n+1(n-1)n2n-4。七、函數(shù)綜合題9、已知函數(shù)f(x)=x+，g(x)= x-，a2-3，(1)求證：函數(shù)f(x)在(0,1上單調(diào)遞增；(2)函數(shù)g(x)在（0,1上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(3)若對任意x(0,1，函數(shù)h(x)=x|x-b|+a的圖象在x軸下方，求b的取值范圍。解：設0x1x21，(1)a0，f(x1)- f(x2)=( x1-x2)(1-)0，f(x)在(0，1)上遞增。(2)g(x1)- g(x2)=( x1-x2)(1-)0，1+0，a-x1x1，而-x1x1最小值為-1， a-1。(3)h(x)0，即|x-b|-，x+bx-，即f(x)bg(x)，f(x)maxbg(x)g(x)min，x(0,1)。當-12-3時，由(1)知 f(x)max為f(1)=1+a，而g(x)=x-2，1+ab2。當a-1時，由(2)結(jié)論的可逆性，可得g(x)最小值為g(1)=1-a，由(1)知f(x)最大值仍為f(1)=1+a，1+ab1-a。10、對任意xR，給定區(qū)間k-,k+(kZ)，設函數(shù)f(x)表示實數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差的絕對值。(1)寫出f(x)的解析式；(2)設函數(shù)g(x)= loga，(e- a1)試證明：當x1時，f(x)g(x)；當0x1時，f(x)g(x)；(3)求方程f(x)- loga=0的實根，(e- a1)。解：(1)當xk-,k+(kZ)時，由定義知：k為與x最近的一個整數(shù)，故 f(x)=|x-k|，xk-,k+(kZ)。(2)當x1時，|x-k| 0logax，所以f(x)g(x)；當x1時，設H(x)= g(x)- f(x)= logax-(1-x)，(x1)。則H(x)= logae+1=+1+1=-+10，所以當x1時，H(x)為減函數(shù)，H(x)H(1)=0，故f(x)g(x)；當0x時，設G(x)= g(x)- f(x)=logax-x，明顯G(x)為減函數(shù)，G(x)G()=H()0，故f(x)g(x)。另證：g(x)=logaxloga=loga4- logae- logaa= f()f(x)。(3)由(2)，容易驗證x=1為方程 |x-k|-logax=0的實根，所以，若e- a1，方程f(x)-loga=0有且僅有一個實根，實根為1。11、已知f(x)=ax-lnx，x0, e，g(x)=，aR，(1)若a=1，求f(x)的極小值；(2)在(1)條件下證明f(x)g(x)+；(3)是否存在實數(shù)a使f(x)的最小值為3。解：(1)f(x)=ax-lnx，f (x)=1-=，當0x1時，f (x)0，此時f(x)單調(diào)遞減；當1xe時，f (x)0，此時f(x)單調(diào)遞增。 f(x)的極小值為f(1)=1。(2)f(x)的極小值為1，即f(x)在(0，e)上的最小值為1， f(x)0，f(x)min=1。 令h(x)=g(x)+=+，h(x)= ，當0xe時，h(x)0，h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，h(x)max= h(e)= +1=| f(x)|min。在(1)的條件下，f(x)g(x)+。(3)假設存在實數(shù)a，使f(x)=ax-lnx ，x0, e有最小值3，f(x)=a-=，當a0時，f(x)在（0，e上單調(diào)遞減，f(x)min= f(e)=ae-1=3，a=(舍去)，所以，此時f(x)無最小值。當0e時，f(x)在(0, )上單調(diào)遞減，在(, e上單調(diào)遞增，f(x)min= f()=1+lna=3，a=e2，滿足條件。當e時，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，f(x)min= f(e)=ae-1=3，a=(舍去)，所以，此時f(x)無最小值。綜上，存在實數(shù)a=e2，使得當x0, e時f(x)有最小值為3。八、空間向量題（理科附加）12、如圖，正棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為4，D為CC1中點，(1)求證：AB1平面A1BD；(2)求二面角A-A1D-B的大小。解：(1)取BC中點O，連接AO，取B1C1中點O1，以O為原點，如圖建立空間直角坐標系O-xyz， 則 B(2,0,0)，D(-2,2,0)，A1(-4,2,2)，A(0,0,2)，B1(2,4,0)， =(2,4,- 2)，=(-4,2,0)，=(2,4,2)，=0，=0，平面A1BD。(2)設平面A1AD的法向量為=(x,y,z), =(-2,2,- 2)，=(0,4,0)。 ， ，令z=1，得=(-,0,1)為平面A1AD的一個法向量，由(1) =(2,4,2)為平面A1BD的法向量，得cos=，所以二面角A-A1D-B的大小為arccos。13、如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點。(1)證明PA平面BDE；(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在點F,使PB平面DEF?證明你的結(jié)論。解：(1) 以D為坐標原點,分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PD=CD=2，則A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。設=(x,y,z)是平面BDE的一個法向量，則由，得 ；取=-1，=(1,-1,1)， =2-2=0，又PA平面BDE，PA平面BDE。(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一個法向量,又=(2,0,0)是平面DEC的一個法向量。設二面角B-DE-C的平面角為,由圖可知=， cos=cos=，故二面角B-DE-C余弦值為。(3)=(2,2,-2)，=(0,1,1)，=0+2-2=0，PBDE。假設棱PB上存在點F，使PB平面DEF，設=(01)，則 =(2, 2,-2)，=+=(2, 2,2-2)，由=0 得 42 +42-2(2-2)=0， =(0,1)，此時PF=PB，即在棱PB上存在點F，PF=PB，使得PB平面DEF。九、隨機變量題（理科附加）14、某班從6名干部中(其中男生4人，女生2人)，選3人參加學校的義務勞動。(1)設所選3人中女生人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；(3)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率。解：(1) 的所有可能取值為0，1，2，依題意得： P(=0)= =，P(=1)= =，P(=2)= =。012P 的分布列為E=0+1+2=1。(2)設“男生甲、女生乙都不被選中”為事件C，則P(C)= =，所求概率為P()=1-P(C)= 。(3)設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則 P(A)= =，P(AB)= =，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為P(B|A)= =。15、一袋中有m(mN*)個紅球，3個黑球和2個白球，現(xiàn)從中任取2個球。(1)當m=4時，求取出的2個球顏色相同的概率；(2)當m=3時，設表示取出的2個球中黑球的個數(shù)，求的概率分布及數(shù)學期望;(3)如果取出的2個球顏色不相同的概率小于，求m的最小值。解：(1)設“取出的2個球顏色相同”為事件A，P(A)= =。012P(2) E=0+1+2=。(3)設“取出的2個球中顏色不相同”為事件B，則P(B)= ,x2-6x+20，x3+或x3-，x的最小值為6。十、混合題(理科附加)16、已知f(x)=(1+x)(1+) (,xR+)，(1)求f(x)的最小值；(2)如果y0，求證: ()+()()；(3)如果1,2, n,1,2,n0，求證: ()1+2+n()1()2 ()n。(1)解：f (x)= (1+x)-1(1+)+(1+x)(1+)-1(-1)=(x-)，x(，)時f (x)0，x(0，)時，f (x)0.f(x)max= f()=()()。(2)證：f()f()，()()()()，即()+()()。(3)當n=2時，由(2)可知()1+2()1()2，設n=k時，()1+2+n ()1()2 ()n，當n=k+1時，()1+2+n+n+1 =(1+2+n)+n+1 ()1+2+n ()n+1()1()2 ()n()n+1。所以，結(jié)論對一切n成立。