熱力學(xué)與統(tǒng)計物理課后習(xí)題答案第六章.doc

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第六章 近獨立粒子的最概然分布 6.1 試根據(jù)式（6.2.13）證明：在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 解: 式（6.2.13）給出，在體積內(nèi)，在到到到的動量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 （1） 用動量空間的球坐標描述自由粒子的動量，并對動量方向積分，可得在體積V內(nèi)，動量大小在到范圍內(nèi)三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 （2） 上式可以理解為將空間體積元（體積V，動量球殼）除以相格大小而得到的狀態(tài)數(shù). 自由粒子的能量動量關(guān)系為 因此 將上式代入式（2），即得在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 （3） 6.2 試證明，對于一維自由粒子，在長度L內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為 解: 根據(jù)式（6.2.14），一維自由粒子在空間體積元內(nèi)可能的量子態(tài)數(shù)為 在長度L內(nèi)，動量大小在到范圍內(nèi)（注意動量可以有正負兩個可能的方向）的量子態(tài)數(shù)為 （1） 將能量動量關(guān)系 代入，即得 （2） 6.3 試證明，對于二維的自由粒子，在面積內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為 解: 根據(jù)式（6.2.14），二維自由粒子在空間體積元內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為 （1） 用二維動量空間的極坐標描述粒子的動量，與的關(guān)系為 用極坐標描述時，二維動量空間的體積元為 在面積內(nèi)，動量大小在到范圍內(nèi)，動量方向在到范圍內(nèi)，二維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 （2） 對積分，從0積分到，有 可得在面積內(nèi)，動量大小在到范圍內(nèi)（動量方向任意），二維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 （3） 將能量動量關(guān)系 代入，即有 （4） 6.4 在極端相對論情形下，粒子的能量動量關(guān)系為 試求在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù). 解:式（6.2.16）已給出在體積V內(nèi)，動量大小在到范圍內(nèi)三維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為 （1） 將極端相對論粒子的能量動量關(guān)系 代入，可得在體積V內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，極端相對論粒子的量子態(tài)數(shù)為 （2） 6.5 設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為和. 粒子間的相互作用很弱，可以看作是近獨立的. 假設(shè)粒子可以分辨，處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制. 試證明，在平衡狀態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為 和 其中和是兩種粒子的能級，和是能級的簡并度. 解： 當系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為和，總能量為E，體積為V時，兩種粒子的分布和必須滿足條件 （1） 才有可能實現(xiàn). 在粒子可以分辨，且處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制的情形下，兩種粒子分別處在分布和時各自的微觀狀態(tài)數(shù)為 （2） 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為 （3） 平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的最概然分布是在滿足式（1）的條件下使或為極大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得 為求使為極大的分布，令和各有和的變化，將因而有的變化. 使為極大的分布和必使 即 但這些和不完全是獨立的，它們必須滿足條件 用拉氏乘子和分別乘這三個式子并從中減去，得 根據(jù)拉氏乘子法原理，每個和的系數(shù)都等于零，所以得 即 （4） 拉氏乘子和由條件（1）確定. 式（4）表明，兩種粒子各自遵從玻耳茲曼分布. 兩個分布的和可以不同，但有共同的. 原因在于我們開始就假設(shè)兩種粒子的粒子數(shù)和能量E具有確定值，這意味著在相互作用中兩種粒子可以交換能量，但不會相互轉(zhuǎn)化. 從上述結(jié)果還可以看出，由兩個弱相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)達到平衡時，兩個子系統(tǒng)有相同的. 6.6 同上題，如果粒子是玻色子或費米子，結(jié)果如何？ 解: 當系統(tǒng)含有個玻色子，個費米子，總能量為E，體積為V時，粒子的分布和必須滿足條件 （1） 才有可能實現(xiàn). 玻色子處在分布，費米子處在分布時，其微觀狀態(tài)數(shù)分別為 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為 （3） 平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的最概然分布是在滿足式（1）條件下使或為極大的分布. 將式（2）和式（3）取對數(shù)，利用斯特令公式可得 令各和有和的變化，將因而有的變化，使用權(quán)為極大的分布和必使 即 但這此致和不完全是獨立的，它們必須滿足條件 用拉氏乘子和分別乘這三個式子并從中減去，得 根據(jù)拉氏乘子法原理，每個和的系數(shù)都等于零，所以得 即 （4） 拉氏乘子和由條件（1）確定. 式（4）表明，兩種粒子分別遵從玻色分布和費米分布，其中和不同，但相等.