2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一單元 基本初等函數(shù)（Ⅱ）1.2.1 三角函數(shù)的定義學(xué)案 新人教B版必修4

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1、 1.2.1　三角函數(shù)的定義 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解任意角的三角函數(shù)的定義.2.掌握三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào).3.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. 知識(shí)點(diǎn)一　任意角的三角函數(shù) 使銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點(diǎn)P，作PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r. 思考1　角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？ 思考2　對(duì)確定的銳角α，sin α，cos α，tan α的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？ 梳理　如圖，設(shè)P(x，y)是α終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，設(shè)OP＝r(r≠0).

2、(1)定義 叫做角α的______，記作______，即cos α＝； 叫做角α的________，記作________，即sin α＝； 叫做角α的________，記作________，即tan α＝. 依照上述定義，對(duì)于每一個(gè)確定的角α，都分別有唯一確定的余弦值、正弦值與之對(duì)應(yīng)；當(dāng)α≠2kπ±(k∈Z)時(shí)，它有唯一的正切值與之對(duì)應(yīng).因此這三個(gè)對(duì)應(yīng)法則都是以α為自變量的函數(shù)，分別叫做角α的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù). (2)有時(shí)我們還用到下面三個(gè)函數(shù) 角α的正割：sec α＝________＝； 角α的余割：csc α＝________＝； 角α的余切：cot α＝___

3、_____＝. 這就是說，sec α，csc α，cot α分別是α的余弦、正弦和正切的倒數(shù). 由上述定義可知，當(dāng)α的終邊在y軸上，即α＝kπ±(k∈Z)時(shí)，tan α，sec α沒有意義；當(dāng)α的終邊在x軸上，即α＝kπ(k∈Z)時(shí)，cot α，csc α沒有意義. 知識(shí)點(diǎn)二　正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域 思考　對(duì)于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意義嗎？ 梳理　三角函數(shù)的定義域 三角函數(shù) 定義域 sin α R cos α R tan α 知識(shí)點(diǎn)三　正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號(hào) 思考　根據(jù)三角函數(shù)的定義，

4、你能判斷正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號(hào)嗎？ 梳理　三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)，如圖所示. 記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 類型一　三角函數(shù)定義的應(yīng)用 命題角度1　已知角α終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值 例1　已知θ終邊上一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 反思與感悟　(1)已知角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法： ①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)地三角函數(shù)值. ②在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)P到原點(diǎn)的距離為r(r>

5、0)，則sin α＝，cos α＝.當(dāng)已知α的終邊上一點(diǎn)求α的三角函數(shù)值時(shí)，用該方法更方便. (2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論. 跟蹤訓(xùn)練1　已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值. 命題角度2　已知角α的終邊所在直線求三角函數(shù)值 例2　已知角α的終邊落在直線x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值. 反思與感悟　在解決有關(guān)角的終邊在直線上的問題時(shí)，應(yīng)注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況處理

6、，取射線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值分別為sin α＝，cos α＝，tan α＝. 跟蹤訓(xùn)練2　已知角α的終邊在直線y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值. 類型二　三角函數(shù)值符號(hào)的判斷 例3　(1)確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào). ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan. (2)若α是第二象限角，則點(diǎn)P(sin α，cos α)在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 反思與感悟　角的三角函數(shù)值的符號(hào)由角的終邊所在位置確定，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定

7、角的終邊所在的象限，同時(shí)牢記各三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 跟蹤訓(xùn)練3　(1)判斷下列各式的符號(hào). ①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. (2)已知點(diǎn)P(tan α，cos α)在第三象限，則α是第________象限角. 類型三　三角函數(shù)的定義域 例4　求下列函數(shù)的定義域. (1)y＝； (2)y＝＋. 反思與感悟　求函數(shù)定義域使式子有意義的情況一般有以下幾種：(1)分母不為零.(2)偶次根號(hào)下大于等于零.(3)在真數(shù)位置時(shí)大于零.(4)在底數(shù)

8、位置時(shí)大于零且不等于1. 跟蹤訓(xùn)練4　求函數(shù)f(x)＝的定義域. 1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cos α等于(　　) A. B. C.－ D.－ 2.已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，則的終邊在(　　) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、三象限或x軸上 D.第二、四象限或x軸上 3.若點(diǎn)P(3，y)是角α終邊上的一點(diǎn)，且滿足y<0，cos α＝，則tan α等于(　　) A.－ B. C. D.－ 4.當(dāng)α為第二象限角時(shí)，－的值是(　　) A.1 B.0 C.2 D.－2

9、 5.已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 1.三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角α的終邊位置確定.即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān). 2.要善于利用三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律解題，并且注意掌握解題時(shí)必要的分類討論及三角函數(shù)值符號(hào)的正確選取. 3.要牢記一些特殊角的正弦、余弦、正切值. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1　sin α＝，cos α＝，tan α＝. 思考2　不會(huì)．因?yàn)槿呛瘮?shù)值是比值，其大小與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位

10、置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)． 梳理　(1)余弦　cos α　正弦　sin α　正切　tan α　(2)　　 知識(shí)點(diǎn)二 思考　由三角函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意角α，sin α，cos α都有意義，而當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，任取一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)x都為0，此時(shí)無意義，故tan α無意義． 知識(shí)點(diǎn)三　 思考　三角函數(shù)的定義告訴我們，三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，取決于x，y的符號(hào)． (1)sin α＝(r>0)，因此sin α的符號(hào)與y的符號(hào)相同，當(dāng)α的終邊在第一、二象限時(shí)，sin α>0；當(dāng)α的終邊在第三、四象限時(shí)，sin α<0. (2)cos α＝(r>

11、0)，因此cos α的符號(hào)與x的符號(hào)相同，當(dāng)α的終邊在第一、四象限時(shí)，cos α>0；當(dāng)α的終邊在第二、三象限時(shí)，cos α<0. (3)tan α＝，因此tan α的符號(hào)由x、y確定，當(dāng)α終邊在第一、三象限時(shí)，xy>0，tan α>0；當(dāng)α終邊在第二、四象限時(shí)， xy<0，tan α<0. 題型探究 例1　解　由題意知r＝|OP|＝， 由三角函數(shù)定義得 cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 當(dāng)x＝1時(shí)，P(1,3)， 此時(shí)sin θ＝＝， tan θ＝＝3.當(dāng)x＝－1時(shí)，P(－1,3)， 此時(shí)sin θ＝＝， tan θ＝＝－3.

12、 跟蹤訓(xùn)練1　2sin α＋cos α＝±1. 例2　解　設(shè)角α的終邊上任一點(diǎn)為P(k，－k)(k≠0)，則x＝k，y＝－k， r＝＝2|k|. (1)當(dāng)k＞0時(shí)，r＝2k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－， sec α＝＝2， csc α＝＝－， cot α＝＝－. (2)當(dāng)k＜0時(shí)，r＝－2k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－， sec α＝＝－2， csc α＝＝， cot α＝＝－. 跟蹤訓(xùn)練2　解　因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y＝x上，所以可設(shè)P(a，a)(a≠0

13、)為角α終邊上任意一點(diǎn)， 則r＝＝2|a|(a≠0)． 若a>0，則α為第一象限角，r＝2a， 所以sin α＝＝， cos α＝＝，tan α＝＝. 若a<0，則α為第三象限角，r＝－2a， 所以sin α＝＝－， cos α＝－＝－，tan α＝＝. 例3　(1)解　①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是負(fù)的，符號(hào)是“－”． ②∵－43°是第四象限角， ∴cos(－43°)是正的，符號(hào)是“＋”． ③∵是第四象限角， ∴tan是負(fù)的，符號(hào)是“－”． (2)D 跟蹤訓(xùn)練3　(1)①sin 145°cos(－210°)＜0.　②sin 3·cos 4·tan 5＞0. (2)二 學(xué)案導(dǎo)學(xué)與隨堂筆記答案精析例4　(1) (2) 跟蹤訓(xùn)練4　 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．D　2.D　3.D　4.C 5．sin α＝＝－，cos α＝＝－， tan α＝＝. 9