2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計(jì)算教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第六節(jié)　正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計(jì)算 [考綱傳真]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題． 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bc·cos A； b2＝c2＋a2－2ca·cos B； c2＝a2＋b2－2ab·cos C 公式 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝； cos B＝； cos

2、C＝ 2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 3.三角形常用面積公式 (1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)． 1．三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 變形：＝－. 2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos

3、C； (2)sin＝cos ；(4)cos＝sin . 3．在△ABC中，sin A＞sin B?A＞B?a＞b， cosA＞cos B?A＜B?a＜b. 4．三角形射影定理 a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝acos B＋bcos A． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，則必有sin A＞sin B． (　　) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則△ABC為銳角三角形． (　　) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，則B＝45°或

4、135°． (　　) (4)在△ABC中，＝． (　　) [解析]　(1)正確．A＞B?a＞b?sin A＞sin B． (2)錯(cuò)誤．由cos A＝＞0知，A為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形． (3)錯(cuò)誤．由b＜a知，B＜A． (4)正確．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知結(jié)論正確． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形　 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 C　[由正弦定理，得＝sin A，＝sin B

5、，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形．] 3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A．　　　　　B． C．2　　　　　D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D．] 4．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，則a等于(　　) A．3　 B．6 C．2　　　D．3 B　[由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.] 5．(教材改編)在非鈍角△ABC中，2bsin A＝a，則角B為

6、(　　) A．　　　B． C．　　　D． C　[由2bsin A＝a得2sin Bsin A＝sin A． ∴sin B＝，又B是銳角或直角． ∴B＝.] 利用正、余弦定理解三角形 【例1】　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4　　　B．　　　C．　　　D．2 (2)(2019·青島模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，則A等于(　　) A． B． C． D． (1)A　(2)C　[(1)因?yàn)閏os ＝， 所以cos C＝2c

7、os2 －1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×－＝32，所以AB＝4.故選A． (2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A． 又a2＝2b2(1－sin A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1， 又A是三角形內(nèi)角，則A＝，故選C．] [規(guī)律方法]　應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧 (1)求邊：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相應(yīng)變形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相應(yīng)變

8、形公式求解． (3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解． (4)靈活利用式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理． (1)(2019·鄭州模擬)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，則角B的大小為(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° (2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，則sin B＝________，c＝________. (1)A　(2)　3　

9、[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°. (2)因?yàn)閍＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.] 與三角形面積有關(guān)的問題 【例2】　(1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC

10、的面積為________． 　[由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因?yàn)閟in Bsin C≠0，所以sin A＝.因?yàn)閎2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.] (2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. ①求cos B； ②若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b. [解]?、儆深}設(shè)及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式兩

11、邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝. 故cos B＝. ②)由cos B＝得sin B＝， 故S△ABC＝acsin B＝ac. 又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4. 所以b＝2. [規(guī)律方法]　三角形面積公式的應(yīng)用方法： (1)對(duì)于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式． (2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．

12、 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則C＝(　　) A． B． C． D． C　[因?yàn)镾△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.故選C．] (2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b＋c＝2acos B． ①證明：A＝2B； ②若△ABC的面積S＝，求角A的大?。? [解]?、僮C明：由b＋c＝2acos B得sin B＋sin C＝2sin

13、Acos B． 即2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B； 所以sin(A－B)＝sin B． 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＋(A－B)＝π或A－B＝B， 所以A＝π(舍去)或A＝2B， 所以A＝2B． ②由S＝得absin C＝， 則sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B． 由sin B≠0得sin C＝cos B． 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B． 當(dāng)B＋C＝時(shí)，A＝， 當(dāng)C－B＝時(shí)，A＝， 綜上知A＝或A＝. 正余弦定理的簡(jiǎn)單

14、應(yīng)用 ?考法1　判斷三角形的形狀 【例3】　(1)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，滿足acos A＝bcos B，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 (2)(2019·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B·sin C＝sin2A，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 (1)D　(2)C　[(1)因?yàn)閍cos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin

15、 Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D． (2)由b2＋c2＝a2＋bc得cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. 由sin B·sin C＝sin2A得bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc得(b－c)2＝0，即b＝c，從而△ABC是等邊三角形，故選C．] ?考法2　求解幾何計(jì)算問題 【例4】　(2019·哈爾濱模擬)如圖，在△ABC中，B＝，AB＝8，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的長(zhǎng)． [解]　(1

16、)在△ADC中，∵cos∠ADC＝ ， ∴sin∠ADC＝＝＝，則sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADC·sinB＝×－×＝. (2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcos B＝82＋52－2×8×5×＝49，即AC＝7. ?考法3　正、余弦定理與三角函數(shù)的交匯問題 【例5】　(2018·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bsin A＝acos (1)求角B的大小； (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． [解]

17、　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因?yàn)锽∈(0，π)，可得B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝. 由bsin A＝acos，可得sin A＝. 因?yàn)閍＜c，故cos A＝. 因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝. 所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝. [規(guī)律方法]　平面幾何中解三角形問題的求解思

18、路 (1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解； (2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果． 易錯(cuò)警示：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題． 如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)． [解]　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD． 因?yàn)镾△ABD＝2S△AD

19、C，∠BAD＝∠CAD， 所以AB＝2AC． 由正弦定理可得＝＝. (2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC， 所以BD＝. 在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC． 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1. 1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　

20、D． B　[因?yàn)閍＝2，c＝， 所以由正弦定理可知，＝， 故sin A＝sin C． 又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C為△ABC的內(nèi)角， 故sin C≠0， 則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1. 又A∈(0，π)，所以A＝. 從而sin C＝sin A＝×＝. 由A＝知C為銳角，故C＝，故選B．] 2．

21、(2017·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________. 　[由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理， 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A． ∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B． ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B． 又sin B≠0，∴cos B＝. ∴B＝.] 3．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝

22、________. 　[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] 4．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，則A＝________. 75°　[如圖，由正弦定理，得＝，∴sin B＝. 又c>b，∴B＝45°， ∴A＝180°－60°－45°＝75°.] 5．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)． [解]　(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C． 可得cos C＝，所以C＝. (2)由已知得absin C＝. 又C＝，所以ab＝6. 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周長(zhǎng)為5＋. - 12 -