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1、2022年高中數(shù)學 第一、二章 基本初等函數(shù)(Ⅱ)、平面向量綜合測試題 新人教B版必修4
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,其中有且僅有一個是正確的.)
1.下列各式中,不能化簡為的是( )
A.(+)+ B.(+)+(+)
C.+- D.-+
[答案] C
[解析] A中,(+)+=++=;
B中,(+)+(+)=++=.
C中,+-=++=2+;
D中,-+=+=,故選C.
2.(xx·潮州市高一期末測試)已知角α的終邊上有一點P(1,-1),則cosα=( )
A. B.1
C. D.
[答案] D
[
2、解析] 角α的終邊上點P到原點的距離r=|OP|==,
∴cosα===.
3.設a、b、c是非零向量,下列命題正確的是( )
A.(a·b)·c=a·(b·c)
B.|a-b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2
C.若|a|=|b|=|a+b|,則a與b的夾角為60°
D.若|a|=|b|=|a-b|,則a與b的夾角為60°
[答案] D
[解析] 對于A,數(shù)量積的運算不滿足結合律,A錯;對于B,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=|a|2-2|a||b|·cos+|b|2,B錯,對于C、D,由三角形法則知|a|=|b|=|a-b|組成的三角形為正三角
3、形,則=60°,∴D正確.
4.下列說法正確的是( )
A.第三象限的角比第二象限的角大
B.若sinα=,則α=
C.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角
D.不論用角度制還是弧度制度量一個角,它們與扇形所對應的半徑的大小無關
[答案] D
[解析]?。?20°是第三象限角,120°是第二象限角,而-120°<120°,排除A;若sinα=,則α=+2kπ或α=+2kπ(k∈Z),排除B;當三角形的內(nèi)角等于90°時,它既不是第一象限,也不是第二象限,排除C,故選D.
5.已知△ABC中,點D在BC邊上,且=2,=r+s,則r+s的值是( )
A. B.
C
4、.-3 D.0
[答案] D
[解析]?。剑剑?,
∴=--=--,
∴=-,
∴=-,又=r+s,
∴r=,s=-,∴r+s=0,故選D.
6.函數(shù)f(x)=sin的圖象相鄰的兩個零點之間的距離是( )
A. B.
C. D.2π
[答案] B
[解析] 函數(shù)y=sin的圖象相鄰的兩個零點之間的距離為半個周期,又T==,∴=.
7.函數(shù)y=cos的一個對稱中心為( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] y=cos=cos,
令3x-=kπ+(k∈Z),
∴x=+(k∈Z).
當k=0時,x=,故選C.
8.已知向量O=(4
5、,6)、O=(3,5),且O⊥O,A∥O,則向量O等于( )
A.(-,) B.(-,)
C.(,-) D.(,-)
[答案] D
[解析] 設O=(x,y),則A=O-O=(x-4,y-6).∵O⊥O,A∥O,
∴,解得.
∴O=(,-).
9.(xx·廣東中山紀念中學高一期末測試)下圖是函數(shù)f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)一個周期的圖象,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)的值等于( )
A. B.
C.2+ D.2
[答案] A
[解析] 由圖象可知,A=2,T=8,∴ω=.
∴f(x)=2sinx.
∴f(1)=
6、,f(2)=2,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,
f(6)=-2,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=.
10.已知O、A、B是平面上的三個點,直線AB上有一點C,滿足2+=0,則=( )
A.2- B.-+2
C.- D.-+
[答案] A
[解析] ∵2+=0,
∴2(-)+(-)=0,
∴+-2=0,∴=2-.
11.在△ABC中,D、E、F分別是BC、CA、AB的中點,點M是△ABC的重心,則+-等于( )
A.0 B.4
C.4 D.4
[答案] C
[解析] 如圖,
由已知得,+=2,又∵M為△ABC
7、的重心,
∴|MC|=2|MF|,
∴-==2,∴+-=4.
12.如圖所示,點P在∠AOB的對角區(qū)域MON內(nèi),且滿足=x+y,則實數(shù)對(x,y)可以是( )
A.(,-) B.(,)
C.(-,-) D.(-,)
[答案] C
[解析] 向量用基底、表示具有惟一性,結合圖形知x<0,y<0,故選C.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個小題,每空4分,共16分,把正確答案填在題中橫線上)
13.已知sinα、cosα是方程2x2-x-m=0的兩根,則m=________.
[答案]
[解析] 由題意,得,
解得m=,又m=時滿足方程2x
8、2-x-m=0有兩根.所以m=.
14. (xx·潮州市高一期末測試)已知在△ABC中,點D在邊BC上,且滿足=3,若=x+y,則x+y=________.
[答案] 1
[解析] =+=+
=+(-)=+,
∴x=,y=,x+y=1.
15.已知函數(shù)f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)的圖象的一條對稱軸方程為x=,則a的值為________.
[答案]
[解析] 由題意,得f(0)=f,即asin0+cos0=asin+cos,∴a=,∴a=.
16.設單位向量m=(x,y)、b=(2,-1).若m⊥b,則|x+2y|=________.
[答案]
[解
9、析] 本題考查了向量垂直,坐標運算、數(shù)量積等.由m⊥b知m·b=0,即2x-y=0?、?,又由m為單位向量,所以|m|=1,即x2+y2=1 ②,由①②聯(lián)立解得或,所以|x+2y|=.
三、解答題(本大題共6個大題,共74分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)(xx·安徽合肥市撮鎮(zhèn)中學高一月考)
(1)已知A(1,2)、B(3,5)、C(9,14),求證:A、B、C三點共線;
(2)已知|a|=2,|b|=3,(a-2b)·(2a+b)=-1,求a與b的夾角.
[解析] (1)A=(2,3),A=(8,12),
∴A=4A,∴A與A共線.
又∵A與
10、A有公共點A,∴A、B、C三點共線.
(2)設a與b的夾角為θ,
則(a-2b)·(2a+b)=2a2-3a·b-2b2=2×4-3×2×3×cosθ-2×9=-10-18cosθ=-1,
∴cosθ=-.∵θ∈[0,π],∴θ=.
18.(本小題滿分12分)(xx·廣東揭陽市世鏗中學高一月考)已知tanθ=-,求2+sinθcosθ-cos2θ的值.
[解析] 2+sinθcosθ-cos2θ=2+
=2+=2+=.
19.(本小題滿分12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0)、e2=(0,1),求:
(1)a·b、|a+b|;
(2)a與
11、b的夾角的余弦值.
[解析] (1)因為e1=(1,0)、e2=(0,1)
所以a=3e1-2e2=(3,-2),
b=4e1+e2=(4,1),a·b=10,
a+b=(7,-1),|a+b|=5.
(2)cos〈a,b〉===.
20.(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)=Asin(ωx-)+1(A>0,ω>0)的最大值為3,其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設α∈(0,),f()=2,求α的值.
[解析] (1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3,
∴A+1=3,即A=2.
∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,
∴最小正周期T=π,
12、∴ω=2.
故函數(shù)f(x)的解析式為y=2sin(2x-)+1.
(2)∵f()=2sin(α-)+1=2,
即sin(α-)=,
∵0<α<,∴-<α-<,
∴α-=,故α=.
21.(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.
(1)求φ;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
[解析] (1)x=是函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸.
∴+φ=kπ+,k∈Z.
∵-π<φ<0,∴φ=-.
(2)由(1)知φ=-,因此y=sin.
由題意,得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
∴kπ+≤x≤kπ
13、+,k∈Z.
∴函數(shù)y=sin的單調(diào)增區(qū)間為
(k∈Z).
22.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=2sin(3ωx+),其中ω>0.
(1)若f(x+θ)是周期為2π的偶函數(shù),求ω及θ的值;
(2)若f(x)在(0,]上是增函數(shù),求ω的最大值.
[解析] (1)由函數(shù)解析式f(x)=2sin(3ωx+),ω>0整理可得f(x+θ)=2sin[3ω(x+θ)+]
=2sin(3ωx+3ωθ+),由f(x+θ)的周期為2π,根據(jù)周期公式2π=,且ω>0,得ω=,∴f(x+θ)
=2sin(x+θ+),
∵f(x+θ)為偶函數(shù),定義域x∈R關于原點對稱,
令g(x)=f(x+θ)=2sin(x+θ+),
∴g(-x)=g(x),
2sin(x+θ+)=2sin(-x+θ+),
∴x+θ+=π-(-x+θ+)+2kπ,k∈Z,
∴θ=kπ+,k∈Z.∴ω=,θ=kπ+,k∈Z.
(2)∵ω>0,∴2kπ-≤3ωx+≤+2kπ,k∈Z,
∴-≤x≤+,k∈Z,若f(x)在(0,]上是增函數(shù),∴(0,]為函數(shù)f(x)的增區(qū)間的子區(qū)間,∴≥,∴ω≤,∴ωmax=.