2022年高中數(shù)學(xué) 第一、二章 基本初等函數(shù)（Ⅱ）、平面向量綜合測試題 新人教B版必修4

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一、二章 基本初等函數(shù)（Ⅱ）、平面向量綜合測試題 新人教B版必修4 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，其中有且僅有一個是正確的．) 1．下列各式中，不能化簡為的是(　　) A．(＋)＋　　 B．(＋)＋(＋) C．＋－ D．－＋ [答案]　C [解析]　A中，(＋)＋＝＋＋＝； B中，(＋)＋(＋)＝＋＋＝. C中，＋－＝＋＋＝2＋； D中，－＋＝＋＝，故選C． 2．(xx·潮州市高一期末測試)已知角α的終邊上有一點P(1，－1)，則cosα＝(　　) A． B．1 C． D． [答案]　D [

2、解析]　角α的終邊上點P到原點的距離r＝|OP|＝＝， ∴cosα＝＝＝. 3．設(shè)a、b、c是非零向量，下列命題正確的是(　　) A．(a·b)·c＝a·(b·c) B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2 C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與b的夾角為60° D．若|a|＝|b|＝|a－b|，則a與b的夾角為60° [答案]　D [解析]　對于A，數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律，A錯；對于B，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2－2|a||b|·cos＋|b|2，B錯，對于C、D，由三角形法則知|a|＝|b|＝|a－b|組成的三角形為正三角

3、形，則＝60°，∴D正確． 4．下列說法正確的是(　　) A．第三象限的角比第二象限的角大 B．若sinα＝，則α＝ C．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角 D．不論用角度制還是弧度制度量一個角，它們與扇形所對應(yīng)的半徑的大小無關(guān) [答案]　D [解析]?。?20°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120°，排除A；若sinα＝，則α＝＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z)，排除B；當(dāng)三角形的內(nèi)角等于90°時，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C，故選D． 5．已知△ABC中，點D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s的值是(　　) A． B． C

4、．－3 D．0 [答案]　D [解析]?。剑剑?， ∴＝－－＝－－， ∴＝－， ∴＝－，又＝r＋s， ∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0，故選D． 6．函數(shù)f(x)＝sin的圖象相鄰的兩個零點之間的距離是(　　) A． B． C． D．2π [答案]　B [解析]　函數(shù)y＝sin的圖象相鄰的兩個零點之間的距離為半個周期，又T＝＝，∴＝. 7．函數(shù)y＝cos的一個對稱中心為(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　y＝cos＝cos， 令3x－＝kπ＋(k∈Z)， ∴x＝＋(k∈Z)． 當(dāng)k＝0時，x＝，故選C． 8．已知向量O＝(4

5、,6)、O＝(3,5)，且O⊥O，A∥O，則向量O等于(　　) A．(－，) B．(－，) C．(，－) D．(，－) [答案]　D [解析]　設(shè)O＝(x，y)，則A＝O－O＝(x－4，y－6)．∵O⊥O，A∥O， ∴，解得. ∴O＝(，－)． 9．(xx·廣東中山紀(jì)念中學(xué)高一期末測試)下圖是函數(shù)f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一個周期的圖象，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于(　　) A． B． C．2＋ D．2 [答案]　A [解析]　由圖象可知，A＝2，T＝8，∴ω＝. ∴f(x)＝2sinx. ∴f(1)＝

6、，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－， f(6)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝. 10．已知O、A、B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2＋＝0，則＝(　　) A．2－ B．－＋2 C．－ D．－＋ [答案]　A [解析]　∵2＋＝0， ∴2(－)＋(－)＝0， ∴＋－2＝0，∴＝2－. 11．在△ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點，點M是△ABC的重心，則＋－等于(　　) A．0 B．4 C．4 D．4 [答案]　C [解析]　如圖， 由已知得，＋＝2，又∵M為△ABC

7、的重心， ∴|MC|＝2|MF|， ∴－＝＝2，∴＋－＝4. 12．如圖所示，點P在∠AOB的對角區(qū)域MON內(nèi)，且滿足＝x＋y，則實數(shù)對(x，y)可以是(　　) A．(，－) B．(，) C．(－，－) D．(－，) [答案]　C [解析]　向量用基底、表示具有惟一性，結(jié)合圖形知x<0，y<0，故選C． 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題(本大題共4個小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上) 13．已知sinα、cosα是方程2x2－x－m＝0的兩根，則m＝________. [答案]　 [解析]　由題意，得， 解得m＝，又m＝時滿足方程2x

8、2－x－m＝0有兩根．所以m＝. 14. (xx·潮州市高一期末測試)已知在△ABC中，點D在邊BC上，且滿足＝3，若＝x＋y，則x＋y＝________. [答案]　1 [解析]?。剑剑? ＝＋(－)＝＋， ∴x＝，y＝，x＋y＝1. 15．已知函數(shù)f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)的圖象的一條對稱軸方程為x＝，則a的值為________． [答案]　 [解析]　由題意，得f(0)＝f，即asin0＋cos0＝asin＋cos，∴a＝，∴a＝. 16．設(shè)單位向量m＝(x，y)、b＝(2，－1)．若m⊥b，則|x＋2y|＝________. [答案]　 [解

9、析]　本題考查了向量垂直，坐標(biāo)運算、數(shù)量積等．由m⊥b知m·b＝0，即2x－y＝0?、?，又由m為單位向量，所以|m|＝1，即x2＋y2＝1　②，由①②聯(lián)立解得或，所以|x＋2y|＝. 三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)(xx·安徽合肥市撮鎮(zhèn)中學(xué)高一月考) (1)已知A(1,2)、B(3,5)、C(9,14)，求證：A、B、C三點共線； (2)已知|a|＝2，|b|＝3，(a－2b)·(2a＋b)＝－1，求a與b的夾角． [解析]　(1)A＝(2,3)，A＝(8,12)， ∴A＝4A，∴A與A共線． 又∵A與

10、A有公共點A，∴A、B、C三點共線. (2)設(shè)a與b的夾角為θ， 則(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－3a·b－2b2＝2×4－3×2×3×cosθ－2×9＝－10－18cosθ＝－1， ∴cosθ＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 18．(本小題滿分12分)(xx·廣東揭陽市世鏗中學(xué)高一月考)已知tanθ＝－，求2＋sinθcosθ－cos2θ的值． [解析]　2＋sinθcosθ－cos2θ＝2＋ ＝2＋＝2＋＝. 19．(本小題滿分12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)、e2＝(0,1)，求： (1)a·b、|a＋b|； (2)a與

11、b的夾角的余弦值． [解析]　(1)因為e1＝(1,0)、e2＝(0,1) 所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)， b＝4e1＋e2＝(4,1)，a·b＝10， a＋b＝(7，－1)，|a＋b|＝5. (2)cos〈a，b〉＝＝＝. 20．(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx－)＋1(A>0，ω>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)α∈(0，)，f()＝2，求α的值． [解析]　(1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3， ∴A＋1＝3，即A＝2. ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為， ∴最小正周期T＝π，

12、∴ω＝2. 故函數(shù)f(x)的解析式為y＝2sin(2x－)＋1. (2)∵f()＝2sin(α－)＋1＝2， 即sin(α－)＝， ∵0<α<，∴－<α－<， ∴α－＝，故α＝. 21．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝. (1)求φ； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間． [解析]　(1)x＝是函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱軸． ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－. (2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin. 由題意，得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， ∴kπ＋≤x≤kπ

13、＋，k∈Z. ∴函數(shù)y＝sin的單調(diào)增區(qū)間為 (k∈Z)． 22．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝2sin(3ωx＋)，其中ω>0. (1)若f(x＋θ)是周期為2π的偶函數(shù)，求ω及θ的值； (2)若f(x)在(0，]上是增函數(shù)，求ω的最大值． [解析]　(1)由函數(shù)解析式f(x)＝2sin(3ωx＋)，ω>0整理可得f(x＋θ)＝2sin[3ω(x＋θ)＋] ＝2sin(3ωx＋3ωθ＋)，由f(x＋θ)的周期為2π，根據(jù)周期公式2π＝，且ω>0，得ω＝，∴f(x＋θ) ＝2sin(x＋θ＋)， ∵f(x＋θ)為偶函數(shù)，定義域x∈R關(guān)于原點對稱， 令g(x)＝f(x＋θ)＝2sin(x＋θ＋)， ∴g(－x)＝g(x)， 2sin(x＋θ＋)＝2sin(－x＋θ＋)， ∴x＋θ＋＝π－(－x＋θ＋)＋2kπ，k∈Z， ∴θ＝kπ＋，k∈Z.∴ω＝，θ＝kπ＋，k∈Z. (2)∵ω>0，∴2kπ－≤3ωx＋≤＋2kπ，k∈Z， ∴－≤x≤＋，k∈Z，若f(x)在(0，]上是增函數(shù)，∴(0，]為函數(shù)f(x)的增區(qū)間的子區(qū)間，∴≥，∴ω≤，∴ωmax＝.