（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.11 函數(shù)與方程講義 文

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1、第十一節(jié)函數(shù)與方程 一、基礎(chǔ)知識(shí)批注——理解深一點(diǎn) 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． 函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)，而是y＝f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù). 2．函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零

2、點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件. 3．二分法的定義 對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn) 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零

3、點(diǎn)． (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)． (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)． 三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化——功底牢一點(diǎn) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(　　) (3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值．(　　) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0時(shí)沒有零點(diǎn)．(　　) (5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且

4、只有一個(gè)零點(diǎn)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ (二)選一選 1．已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表： x 1 2 3 4 5 f(x) －4 －2 1 4 7 在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為(　　) A．(1,2)　　　　　　　 　B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 解析：選B　由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x＝2與x＝3這兩個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)不同，即f(2)·f(3)<0，所以函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)． 2．函數(shù)f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零點(diǎn)有(

5、　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 解析：選B　由x－2>0，得x>2，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2，＋∞)，所以當(dāng)f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0時(shí)，解得x＝1(舍去)或x＝3. 3．函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C.和(3,4) D．(4，＋∞) 解析：選B　易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(2,3)． (三)填一填 4．已知2是函數(shù)f(x)＝的一個(gè)零點(diǎn)，則f[f(4

6、)]的值是________． 解析：由題意知log2(2＋m)＝0，∴m＝－1，∴f[f(4)]＝f(log23)＝2＝3. 答案：3 5．若函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝1在(－1,1)上沒有零點(diǎn)，所以a≠0.所以函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，要滿足題意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得

7、x)＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　 　B．1 C．2 D．3 (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－ln x，則函數(shù)y＝f(x)(　　) A．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn) B．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn) C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn) D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn) [解析]　(1)解方程法 令f(x)＋3x＝0， 則或 解得x＝0或x＝－1， 所以函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2. (2)法一：圖象法 令f(x)＝0得x＝ln x．作出函數(shù)y＝x和y＝ln x的圖象，如圖， 顯然y＝f(x)在內(nèi)無零點(diǎn)，在(1，e)

8、內(nèi)有零點(diǎn)． 法二：定理法 當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)圖象是連續(xù)的，且f′(x)＝－＝<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減． 又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1，e)內(nèi)． [答案]　(1)C　(2)D [解題技法]　掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法 (1)解方程法 若對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0可解，通過解方程，即可判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，其中方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)定理法 利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷，但必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． (3)數(shù)形結(jié)合法 合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖

9、象(易畫出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其是否有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． [題組訓(xùn)練] 1.函數(shù)f(x)＝x3－x2－1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(－1,0) C．(1,2) D．(2,3) 解析：選C　函數(shù)f(x)＝x3－x2－1是連續(xù)函數(shù)．因?yàn)閒(1)＝1－1－1＝－1<0，f(2)＝8－4－1＝3>0，所以f(1)f(2)<0，結(jié)合選項(xiàng)可知函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2)． 2.函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 解析：選B　法一：(解方程法) 由f(

10、x)＝0得或 解得x＝－2或x＝e. 因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)． 法二：(圖象法) 作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 由圖象知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)． 3.設(shè)f(x)＝ln x＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：選B　函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在區(qū)間．如圖如示，可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)． 考法(一)　已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍 [典例]　(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝g

11、(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0)　　　　　　 　B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　令h(x)＝－x－a， 則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)． 在同一坐標(biāo)系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)的示意圖，如圖所示． 若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移y＝h(x)的圖象，可知當(dāng)直線y＝－x－a過點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)1＝－0－a，a＝－1. 當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意． 當(dāng)y＝－x－a在y＝－x

12、＋1下方，即a>－1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意． 綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞)． [答案]　C 考法(二)　已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍 [典例]　(2019·安慶摸底)若函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　∵函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)， ∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解， 即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解． 方程a＝4x－2x可變形為a＝2－， ∵x∈[－1,1]，∴2x∈， ∴2－∈. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是. [答案]　 [解題技法] 1．

13、利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的3種方法 直接法 直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍 分離參數(shù)法 分離參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解 數(shù)形結(jié)合法 先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解 2.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的步驟 [題組訓(xùn)練] 1．(2019·北京西城區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1,3)　　　　　　　 　B．(1,2) C．

14、(0,3) D．(0,2) 解析：選C　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0， 即a(a－3)<0，解得0

15、，a∈∪(－2，＋∞)． 1．下列函數(shù)中，在(－1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝logx　　　　　　 　B．y＝2x－1 C．y＝x2－ D．y＝－x3 解析：選B　函數(shù)y＝logx在定義域上單調(diào)遞減，y＝x2－在(－1,1)上不是單調(diào)函數(shù)，y＝－x3在定義域上單調(diào)遞減，均不符合要求．對(duì)于y＝2x－1，當(dāng)x＝0∈(－1,1)時(shí)，y＝0且y＝2x－1在R上單調(diào)遞增．故選B. 2．(2018·重慶一中期中)函數(shù)f(x)＝ex＋x－3在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　由題知函數(shù)f(x)是增函數(shù)．根據(jù)函數(shù)

16、的零點(diǎn)存在性定理及f(0)＝－2，f(1)＝e－2>0，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故選B. 3．(2018·豫西南部分示范性高中聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：選B　易知f(x)＝ln x－的定義域?yàn)?0，＋∞)，且在定義域上單調(diào)遞增． ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－>0， ∴f(1)·f(2)<0，∴根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知f(x)＝ln x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)． 4．若函數(shù)f(x)＝ax＋1在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

17、a的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1) 解析：選C　由題意知，f(－1)·f(1)＜0， 即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1. 5．已知實(shí)數(shù)a＞1,0＜b＜1，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：選B　因?yàn)閍＞1,0＜b＜1，所以f(x)＝ax＋x－b在R上是單調(diào)增函數(shù)，所以 f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零點(diǎn)存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(－1,0)上存

18、在零點(diǎn)． 6．若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)． 7．函數(shù)f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C

19、．2 D．3 解析：選C　由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的圖象如圖所示． 由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 8．(2019·鄭州質(zhì)量測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1] 解析：選A　畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需0

20、0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需－a<0，即a>0.綜上，0

21、)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：依題意并結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知， 即 解得