（江蘇專用）2019版高考數學大一輪復習 第七章 不等式 第42講 基本不等式及其應用學案

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1、 第42講　基本不等式及其應用 考試要求　1.基本不等式的證明過程(A級要求)；2.利用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題(C級要求).應關注利用基本不等式把等式轉化為不等式，然后研究最值問題. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)當a≥0，b≥0時，≥.(　　) (2)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.(　　) (3)函數y＝x＋的最小值是2.(　　) (4)函數f(x)＝sin x＋的最小值為2.(　　) (5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件.(　　) 解析　(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；

2、不等式≥成立的條件是a≥0，b≥0. (3)函數y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，沒有最小值. (4)函數f(x)＝sin x＋的最小值為－5. (5)x>0且y>0是＋≥2的充分條件. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.(教材改編)設x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為________. 解析　∵x>0，y>0，∴≥， 即xy≤＝81， 當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81. 答案　81 3.(教材改編)若00， 故＝· ≤·＝， 當且僅

3、當x＝時，上式等號成立. ∴0<≤. 答案　 4.(必修5P106習題16改編)已知正數x，y滿足x＋2y＝1，那么＋的最小值為____________. 解析　因為x>0，y>0，x＋2y＝1， 所以＋＝(x＋2y)＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2，當且僅當x2＝2y2時取得最小值3＋2. 答案　3＋2 5.(教材改編)①若x∈(0，π)，則sin x＋≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，則lg a＋lg b≥2；③若x∈R，則≥4.其中正確結論的序號是________. 解析?、僖驗閤∈(0，π)，所以sin x∈(0，1]， 所以①成立； ②只有在lg a>0，lg b>0，

4、 即a>1，b>1時才成立； ③＝|x|＋≥2＝4，當且僅當x＝±2時“＝”成立. 答案　①③ 知 識 梳 理 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號. (3)適用于求含兩個代數式的最值. 2.幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同號). (3)ab≤，(a，b∈R). (4)≥(a，b∈R). (以上不等式要根據條件合理選擇其中之一) 以上不等式等號成立的條件均為a＝b. 3.算術平均數與幾何平均數 設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為，幾何

5、平均數為，基本不等式可敘述為兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數，當兩個正數相等時兩者相等. 4.利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記：積定和最小). (2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值(簡記：和定積最大). 考點一　利用基本不等式求最值(多維探究) 命題角度1　配湊法求最值 【例1－1】 (1)已知01

6、)的最小值為________. 解析　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝， 當且僅當3x＝4－3x，即x＝時，取等號. (2)因為x<，所以5－4x>0， 則f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 當且僅當5－4x＝，即x＝1時，等號成立. 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1. (3)由于x>1，故y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 當且僅當x－1＝，即x＝＋1時，等號成立. 答案　(1)　(2)1　(3)2＋2 命題角度2　常數代換或消元法求最值 【例1－2】 (1)(2018·鹽城模擬)已知正數x，y滿足x＋2y－xy＝0

7、，則x＋2y的最小值為________. (2)(一題多解)(2018·南京模擬)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________. (3)(2017·蘇州期末)已知ab＝，a，b∈(0，1)，那么＋的最小值為________. 解析　(1)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0. ∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8. 當且僅當＝，即x＝4，y＝2時等號成立. (2)法一　(消元法) 由已知得x＝. 因為x＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 所以x＋3y＝＋3y ＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6， 當且僅當＝3(y＋1)，

8、即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6. 法二　∵x＞0，y＞0， 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·， 當且僅當x＝3y時等號成立. 設x＋3y＝t＞0，則t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0， 又∵t＞0，∴t≥6.故當x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6. (3)因為b＝，a∈(0，1)， 所以＋＝＋＝＋＋2＝＋2. 令2a＋1＝t，則a＝，原式＝＋2＝＋2≥＋2＝4＋，當且僅當t＝，即a＝∈(0，1)時取等號， 故原式的最小值為4＋. 答案　(1)8　(2)6　(3)4＋ 規(guī)律方法　(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：

9、“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件. (2)在利用基本不等式求最值時，要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式. (3)條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對條件使用基本不等式，建立所求目標函數的不等式求解. 易錯警示　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件；(2)盡量避免多次使用基

10、本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致. 【訓練1】 (1)(一題多解)若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________. (2)設a＋b＝2，b>0，則＋取最小值時，a的值為________. 解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy及x，y均為正數可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋＝5. (當且僅當＝，即x＝1，y＝時，等號成立)， ∴3x＋4y的最小值是5. 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝， ∵x>0，y>0，∴y>， ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y ＝＋·＋4 ≥＋2＝5， 當且僅當y＝時等號成立，∴(

11、3x＋4y)min＝5. (2)∵a＋b＝2，b>0， ∴＋＝＋ ＝＋ ＝＋＋≥＋2＝＋1， 當且僅當＝時等號成立. 又a＋b＝2，b>0， ∴當b＝－2a，a＝－2時，＋取得最小值. 答案　(1)5　(2)－2 考點二　基本不等式的綜合應用 【例2】 (1)設x，y，z均為大于1的實數，且z為x和y的等比中項，則＋的最小值為________. (2)設正四面體ABCD的棱長為，P是棱AB上的任意一點(不與點A，B重合)，且點P到平面ACD，平面BCD的距離分別為x，y，則＋的最小值是________. 解析　(1)由題意得z2＝xy，lg x>0，lg y>0， ∴

12、＋＝＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋ ≥＋2＝， 當且僅當＝，即lg y＝2lg x， 即y＝x2時取等號. (2)過點A作AO⊥平面BCD于點O，則O為△BCD的重心，所以OB＝××＝， 所以AO＝＝2. 又VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD， 所以S△BCD·y＋S△ACD·x＝S△BCD·2，即x＋y＝2.所以＋＝(x＋y) ＝≥2＋，當且僅當x＝3－，y＝－1時取等號. 答案　(1)　(2)2＋ 規(guī)律方法　(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數. (2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值. (3)在求函數的最值時，一

13、定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解. 【訓練2】 (1)(2018·泰州模擬)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，則a＋的最小值為________. (2)(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調研)若實數x，y滿足xy>0，則＋的最大值為________. 解析　(1)因為2logab＋3logba＝7，所以2(logab)2－7logab＋3＝0，解得logab＝或logab＝3，因為a>b>1，所以logab∈(0，1)，故logab＝，從而b＝，因此a＋＝a＋＝(a－1)＋＋1≥3，當且僅當a＝2時等號成立. (2)因為xy>0， 所以＋＝＝＝1＋＝

14、1＋≤1＋＝4－2，當且僅當＝，即x2＝2y2時取等號. 答案　(1)3　(2)4－2 考點三　利用基本不等式解決恒成立及實際 應用問題 【例3－1】 若不等式x＋2≤a(x＋y)對任意的實數x，y∈(0，＋∞)恒成立，則實數a的最小值為________. 解析　由題意得a≥＝恒成立. 令t＝(t>0)，則a≥，再令1＋2t＝u(u>1)，則t＝，故a≥＝. 因為u＋≥2(當且僅當u＝時等號成立)，故u＋－2≥2－2，從而0<≤＝，故a≥，即amin＝. 答案　 【例3－2】 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為________. (2)已知函數f(

15、x)＝(a∈R)，若對于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________. 解析　(1)由＋≥， 得m≤(a＋3b)＝＋＋6. 又a>0，b>0，所以＋＋6≥2＋6＝12(當且僅當＝時等號成立)， ∴m≤12，∴m的最大值為12. (2)對任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－＋3. 設g(x)＝x＋，x∈N*，則g(2)＝6，g(3)＝. ∵g(2)>g(3)， ∴g(x)min＝，∴－＋3≤－， ∴a≥－，故a的取值范圍是. 答案　(1)12　(2) 規(guī)律方法　(1)應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，

16、然后利用基本不等式求解. (2)條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求參數的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或范圍. 【訓練3】 (2018·蘇北四市聯考)如圖，墻上有一壁畫，最高點A離地面4 m，最低點B離地面2 m，觀察者從距離墻x(x>1)m，離地面高a(1≤a≤2)m的C處觀賞該壁畫，設觀賞視角∠ACB＝θ. (1)若a＝1.5，問：觀察者離墻多遠時，視角θ最大？ (2)若tan θ＝，當a變化時，求x的取值范圍. 解　(1) 當a＝1.5時，過C作AB的垂線，垂足為D，則BD＝0.5，且θ＝∠

17、ACD－∠BCD， 由已知觀察者離墻x m，且x>1， 則tan∠BCD＝，tan∠ACD＝， 所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝＝≤＝， 當且僅當x＝>1時取等號. 又tan θ在上單調遞增， 所以當觀察者離墻 m時，視角θ最大. (2)由題意得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝， 又tan θ＝， 所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD) ＝＝， 所以a2－6a＋8＝－x2＋4x. 當1≤a≤2時，0≤a2－6a＋8≤3， 所以0≤－x2＋4x≤3， 即解得0≤x≤1或3≤x≤4， 因為x>1，所以3≤x≤4. 所以x的取值范圍是[3，4]

18、. 一、必做題 1.(教材改編)已知a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的序號是________. ①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2；③＋>； ④＋≥2. 解析　因為a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立，所以①錯誤；對于④，因為ab>0，所以＋≥2＝2.對于②，③，當a<0，b<0時，明顯錯誤. 答案?、? 2.(教材改編)用長為16 cm的鐵絲圍成一個矩形，則所圍成的矩形的最大面積是________ cm2. 解析　設矩形長為x cm(00，8－x>0，可得S≤＝16，當且僅當x＝8－

19、x，即x＝4時，Smax＝16.所以矩形的最大面積是16 cm2. 答案　16 3.當x>0時，函數f(x)＝有最________值，為________. 解析　由于x>0，所以f(x)＝＝≤＝1，當且僅當x＝1時取等號. 答案　大　1 4.(2018·鹽城模擬)函數y＝的最小值為________. 解析　y＝＝＋≥2，當且僅當＝，即x＝0時，y取到最小值2. 答案　2 5.某民營企業(yè)的一種電子產品，2015年的年產量在2014年基礎上增長率為a；2016年計劃在2015年的基礎上增長率為b(a，b＞0)，若這兩年的平均增長率為q，則q與的大小關系是________. 解析　

20、設2014年的年產量為1， 則2016年的年產量為(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋q)2＝(1＋a)(1＋b)， ∴1＋q＝≤＝1＋， ∴q≤，當且僅當a＝b時，取“＝”. 答案　q≤ 6.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________. 解析　≥＝4ab＋≥2＝4(前一個等號成立條件是a2＝2b2，后一個等號成立的條件是ab＝，兩個等號可以同時取得，則當且僅當a2＝，b2＝時取等號). 答案　4 7.設f(x)＝x2＋x＋1，g(x)＝x2＋1，則的取值范圍是________. 解析　＝＝1＋， 當x＝0時，＝1； 當x>0時，＝1＋≤1＋＝

21、； 當x<0時，x＋＝－≤－2， 則＝1＋≥1－＝. ∴∈. 答案　 8.(2017·吉林九校第二次聯考)若正數a，b滿足＋＝1，則＋的最小值是________. 解析　∵正數a，b滿足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，當且僅當＝9(a－1)，即a＝時等號成立，∴最小值為6. 答案　6 9.(2018·揚州一模)設正實數x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最大值時，＋－的最大值為________. 解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*) 則＝＝≤1，當且僅當x＝2y時取等號，把x＝2y代入(*)式，得z

22、＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋1≤1. 答案　1 10.已知函數f(x)＝(x≠a，a為非零常數). (1)解不等式f(x)a時，f(x)有最小值為6，求a的值. 解　(1)f(x)0時，(x－a)<0， ∴解集為； 當a<0時，(x－a)>0， 解集為. (2)設t＝x－a，則x＝t＋a(t>0). ∴f(t)＝ ＝t＋＋2a ≥2＋2a ＝2＋2a. 當且僅當t＝， 即t＝時，等號成立， 即f(x)有最小值2＋2a. 依題意有2＋2a＝6， 解得a＝1. 二、選做題 1

23、1.(一題多解)(2018·南通模擬)設實數x，y滿足－y2＝1，則3x2－2xy的最小值是________. 解析　法一　因為－y2＝1，所以3x2－2xy＝＝，令k＝∈，則3x2－2xy＝＝，再令t＝3－2k∈(2，4)，則k＝，故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，當且僅當t＝2時等號成立. 法二　令t＝3x2－2xy，則y＝，代入方程－y2＝1并化簡得8x4＋(4－6t)x2＋t2＝0，令u＝x2≥4，則8u2＋(4－6t)u＋t2＝0在[4，＋∞)上有解，從而由得t2－12t＋4≥0，解得t≥6＋4，當取得最小值時，u＝2＋ 滿足題意. 法三　因為－y2＝1＝， 所以令＋y＝t，則

24、－y＝， 從而 則3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，當且僅當t2＝時等號成立. 答案　6＋4 12.(2018·南京模擬)一位創(chuàng)業(yè)青年租用了如圖所示的一塊邊長為1百米的正方形田地ABCD來養(yǎng)蜂、產蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點E，F(不與正方形的頂點重合)，連接AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°.現擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長區(qū)，△AEF部分規(guī)劃 為蜂巢區(qū)，△CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū).若蜂源植物生長區(qū)的投入約為2×105元/百米2，蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為105元/百米2，則這三個區(qū)域的總投入最少需要多少元？ 解　設陰影部分面積為S，三個區(qū)域的總投入為T. 則T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值. 設∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因為AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tan α， 則S△ABE＝AB·BE＝tan α. 又∠DAF＝45°－α，所以S△ADF＝tan(45°－α). 所以S＝[tan α＋tan(45°－α)]＝. 令x＝tan α∈(0，1)， 則S＝＝＝ ＝≥(2－2)＝－1. 當且僅當x＋1＝，即x＝－1時取等號. 此時T＝×105， 所以三個區(qū)域的總投入T的最小值約為×105元. 15