（江蘇專用）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第42講 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案

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1、 第42講　基本不等式及其應(yīng)用 考試要求　1.基本不等式的證明過程(A級要求)；2.利用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題(C級要求).應(yīng)關(guān)注利用基本不等式把等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后研究最值問題. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)當(dāng)a≥0，b≥0時，≥.(　　) (2)兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.(　　) (3)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (4)函數(shù)f(x)＝sin x＋的最小值為2.(　　) (5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要條件.(　　) 解析　(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；

2、不等式≥成立的條件是a≥0，b≥0. (3)函數(shù)y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，沒有最小值. (4)函數(shù)f(x)＝sin x＋的最小值為－5. (5)x>0且y>0是＋≥2的充分條件. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.(教材改編)設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為________. 解析　∵x>0，y>0，∴≥， 即xy≤＝81， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81. 答案　81 3.(教材改編)若00， 故＝· ≤·＝， 當(dāng)且僅

3、當(dāng)x＝時，上式等號成立. ∴0<≤. 答案　 4.(必修5P106習(xí)題16改編)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，那么＋的最小值為____________. 解析　因為x>0，y>0，x＋2y＝1， 所以＋＝(x＋2y)＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝2y2時取得最小值3＋2. 答案　3＋2 5.(教材改編)①若x∈(0，π)，則sin x＋≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，則lg a＋lg b≥2；③若x∈R，則≥4.其中正確結(jié)論的序號是________. 解析　①因為x∈(0，π)，所以sin x∈(0，1]， 所以①成立； ②只有在lg a>0，lg b>0，

4、 即a>1，b>1時才成立； ③＝|x|＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±2時“＝”成立. 答案?、佗? 知 識 梳 理 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號. (3)適用于求含兩個代數(shù)式的最值. 2.幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同號). (3)ab≤，(a，b∈R). (4)≥(a，b∈R). (以上不等式要根據(jù)條件合理選擇其中之一) 以上不等式等號成立的條件均為a＝b. 3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何

5、平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)兩個正數(shù)相等時兩者相等. 4.利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記：積定和最小). (2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值(簡記：和定積最大). 考點(diǎn)一　利用基本不等式求最值(多維探究) 命題角度1　配湊法求最值 【例1－1】 (1)已知01

6、)的最小值為________. 解析　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝， 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4－3x，即x＝時，取等號. (2)因為x<，所以5－4x>0， 則f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時，等號成立. 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1. (3)由于x>1，故y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝＋1時，等號成立. 答案　(1)　(2)1　(3)2＋2 命題角度2　常數(shù)代換或消元法求最值 【例1－2】 (1)(2018·鹽城模擬)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y－xy＝0

7、，則x＋2y的最小值為________. (2)(一題多解)(2018·南京模擬)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________. (3)(2017·蘇州期末)已知ab＝，a，b∈(0，1)，那么＋的最小值為________. 解析　(1)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0. ∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝4，y＝2時等號成立. (2)法一　(消元法) 由已知得x＝. 因為x＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 所以x＋3y＝＋3y ＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝3(y＋1)，

8、即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6. 法二　∵x＞0，y＞0， 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時等號成立. 設(shè)x＋3y＝t＞0，則t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0， 又∵t＞0，∴t≥6.故當(dāng)x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6. (3)因為b＝，a∈(0，1)， 所以＋＝＋＝＋＋2＝＋2. 令2a＋1＝t，則a＝，原式＝＋2＝＋2≥＋2＝4＋，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即a＝∈(0，1)時取等號， 故原式的最小值為4＋. 答案　(1)8　(2)6　(3)4＋ 規(guī)律方法　(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：

9、“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件. (2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式. (3)條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解. 易錯警示　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2)盡量避免多次使用基

10、本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致. 【訓(xùn)練1】 (1)(一題多解)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________. (2)設(shè)a＋b＝2，b>0，則＋取最小值時，a的值為________. 解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy及x，y均為正數(shù)可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋＝5. (當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1，y＝時，等號成立)， ∴3x＋4y的最小值是5. 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝， ∵x>0，y>0，∴y>， ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y ＝＋·＋4 ≥＋2＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝時等號成立，∴(

11、3x＋4y)min＝5. (2)∵a＋b＝2，b>0， ∴＋＝＋ ＝＋ ＝＋＋≥＋2＝＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時等號成立. 又a＋b＝2，b>0， ∴當(dāng)b＝－2a，a＝－2時，＋取得最小值. 答案　(1)5　(2)－2 考點(diǎn)二　基本不等式的綜合應(yīng)用 【例2】 (1)設(shè)x，y，z均為大于1的實數(shù)，且z為x和y的等比中項，則＋的最小值為________. (2)設(shè)正四面體ABCD的棱長為，P是棱AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，且點(diǎn)P到平面ACD，平面BCD的距離分別為x，y，則＋的最小值是________. 解析　(1)由題意得z2＝xy，lg x>0，lg y>0， ∴

12、＋＝＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋ ≥＋2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即lg y＝2lg x， 即y＝x2時取等號. (2)過點(diǎn)A作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，則O為△BCD的重心，所以O(shè)B＝××＝， 所以AO＝＝2. 又VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD， 所以S△BCD·y＋S△ACD·x＝S△BCD·2，即x＋y＝2.所以＋＝(x＋y) ＝≥2＋，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3－，y＝－1時取等號. 答案　(1)　(2)2＋ 規(guī)律方法　(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (3)在求函數(shù)的最值時，一

13、定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解. 【訓(xùn)練2】 (1)(2018·泰州模擬)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，則a＋的最小值為________. (2)(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)若實數(shù)x，y滿足xy>0，則＋的最大值為________. 解析　(1)因為2logab＋3logba＝7，所以2(logab)2－7logab＋3＝0，解得logab＝或logab＝3，因為a>b>1，所以logab∈(0，1)，故logab＝，從而b＝，因此a＋＝a＋＝(a－1)＋＋1≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時等號成立. (2)因為xy>0， 所以＋＝＝＝1＋＝

14、1＋≤1＋＝4－2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x2＝2y2時取等號. 答案　(1)3　(2)4－2 考點(diǎn)三　利用基本不等式解決恒成立及實際 應(yīng)用問題 【例3－1】 若不等式x＋2≤a(x＋y)對任意的實數(shù)x，y∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)a的最小值為________. 解析　由題意得a≥＝恒成立. 令t＝(t>0)，則a≥，再令1＋2t＝u(u>1)，則t＝，故a≥＝. 因為u＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)u＝時等號成立)，故u＋－2≥2－2，從而0<≤＝，故a≥，即amin＝. 答案　 【例3－2】 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為________. (2)已知函數(shù)f(

15、x)＝(a∈R)，若對于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________. 解析　(1)由＋≥， 得m≤(a＋3b)＝＋＋6. 又a>0，b>0，所以＋＋6≥2＋6＝12(當(dāng)且僅當(dāng)＝時等號成立)， ∴m≤12，∴m的最大值為12. (2)對任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－＋3. 設(shè)g(x)＝x＋，x∈N*，則g(2)＝6，g(3)＝. ∵g(2)>g(3)， ∴g(x)min＝，∴－＋3≤－， ∴a≥－，故a的取值范圍是. 答案　(1)12　(2) 規(guī)律方法　(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，

16、然后利用基本不等式求解. (2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍. 【訓(xùn)練3】 (2018·蘇北四市聯(lián)考)如圖，墻上有一壁畫，最高點(diǎn)A離地面4 m，最低點(diǎn)B離地面2 m，觀察者從距離墻x(x>1)m，離地面高a(1≤a≤2)m的C處觀賞該壁畫，設(shè)觀賞視角∠ACB＝θ. (1)若a＝1.5，問：觀察者離墻多遠(yuǎn)時，視角θ最大？ (2)若tan θ＝，當(dāng)a變化時，求x的取值范圍. 解　(1) 當(dāng)a＝1.5時，過C作AB的垂線，垂足為D，則BD＝0.5，且θ＝∠

17、ACD－∠BCD， 由已知觀察者離墻x m，且x>1， 則tan∠BCD＝，tan∠ACD＝， 所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝>1時取等號. 又tan θ在上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)觀察者離墻 m時，視角θ最大. (2)由題意得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝， 又tan θ＝， 所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD) ＝＝， 所以a2－6a＋8＝－x2＋4x. 當(dāng)1≤a≤2時，0≤a2－6a＋8≤3， 所以0≤－x2＋4x≤3， 即解得0≤x≤1或3≤x≤4， 因為x>1，所以3≤x≤4. 所以x的取值范圍是[3，4]

18、. 一、必做題 1.(教材改編)已知a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的序號是________. ①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2；③＋>； ④＋≥2. 解析　因為a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，所以①錯誤；對于④，因為ab>0，所以＋≥2＝2.對于②，③，當(dāng)a<0，b<0時，明顯錯誤. 答案　④ 2.(教材改編)用長為16 cm的鐵絲圍成一個矩形，則所圍成的矩形的最大面積是________ cm2. 解析　設(shè)矩形長為x cm(00，8－x>0，可得S≤＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8－

19、x，即x＝4時，Smax＝16.所以矩形的最大面積是16 cm2. 答案　16 3.當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)＝有最________值，為________. 解析　由于x>0，所以f(x)＝＝≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號. 答案　大　1 4.(2018·鹽城模擬)函數(shù)y＝的最小值為________. 解析　y＝＝＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝0時，y取到最小值2. 答案　2 5.某民營企業(yè)的一種電子產(chǎn)品，2015年的年產(chǎn)量在2014年基礎(chǔ)上增長率為a；2016年計劃在2015年的基礎(chǔ)上增長率為b(a，b＞0)，若這兩年的平均增長率為q，則q與的大小關(guān)系是________. 解析　

20、設(shè)2014年的年產(chǎn)量為1， 則2016年的年產(chǎn)量為(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋q)2＝(1＋a)(1＋b)， ∴1＋q＝≤＝1＋， ∴q≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取“＝”. 答案　q≤ 6.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________. 解析　≥＝4ab＋≥2＝4(前一個等號成立條件是a2＝2b2，后一個等號成立的條件是ab＝，兩個等號可以同時取得，則當(dāng)且僅當(dāng)a2＝，b2＝時取等號). 答案　4 7.設(shè)f(x)＝x2＋x＋1，g(x)＝x2＋1，則的取值范圍是________. 解析?。剑?＋， 當(dāng)x＝0時，＝1； 當(dāng)x>0時，＝1＋≤1＋＝

21、； 當(dāng)x<0時，x＋＝－≤－2， 則＝1＋≥1－＝. ∴∈. 答案　 8.(2017·吉林九校第二次聯(lián)考)若正數(shù)a，b滿足＋＝1，則＋的最小值是________. 解析　∵正數(shù)a，b滿足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)＝9(a－1)，即a＝時等號成立，∴最小值為6. 答案　6 9.(2018·揚(yáng)州一模)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時，＋－的最大值為________. 解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*) 則＝＝≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號，把x＝2y代入(*)式，得z

22、＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋1≤1. 答案　1 10.已知函數(shù)f(x)＝(x≠a，a為非零常數(shù)). (1)解不等式f(x)a時，f(x)有最小值為6，求a的值. 解　(1)f(x)0時，(x－a)<0， ∴解集為； 當(dāng)a<0時，(x－a)>0， 解集為. (2)設(shè)t＝x－a，則x＝t＋a(t>0). ∴f(t)＝ ＝t＋＋2a ≥2＋2a ＝2＋2a. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝， 即t＝時，等號成立， 即f(x)有最小值2＋2a. 依題意有2＋2a＝6， 解得a＝1. 二、選做題 1

23、1.(一題多解)(2018·南通模擬)設(shè)實數(shù)x，y滿足－y2＝1，則3x2－2xy的最小值是________. 解析　法一　因為－y2＝1，所以3x2－2xy＝＝，令k＝∈，則3x2－2xy＝＝，再令t＝3－2k∈(2，4)，則k＝，故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時等號成立. 法二　令t＝3x2－2xy，則y＝，代入方程－y2＝1并化簡得8x4＋(4－6t)x2＋t2＝0，令u＝x2≥4，則8u2＋(4－6t)u＋t2＝0在[4，＋∞)上有解，從而由得t2－12t＋4≥0，解得t≥6＋4，當(dāng)取得最小值時，u＝2＋ 滿足題意. 法三　因為－y2＝1＝， 所以令＋y＝t，則

24、－y＝， 從而 則3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝時等號成立. 答案　6＋4 12.(2018·南京模擬)一位創(chuàng)業(yè)青年租用了如圖所示的一塊邊長為1百米的正方形田地ABCD來養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)(不與正方形的頂點(diǎn)重合)，連接AE，EF，F(xiàn)A，使得∠EAF＝45°.現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長區(qū)，△AEF部分規(guī)劃 為蜂巢區(qū)，△CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū).若蜂源植物生長區(qū)的投入約為2×105元/百米2，蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為105元/百米2，則這三個區(qū)域的總投入最少需要多少元？ 解　設(shè)陰影部分面積為S，三個區(qū)域的總投入為T. 則T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，所以只要求S的最小值即可得T的最小值. 設(shè)∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因為AB＝1，∠B＝90°，所以BE＝tan α， 則S△ABE＝AB·BE＝tan α. 又∠DAF＝45°－α，所以S△ADF＝tan(45°－α). 所以S＝[tan α＋tan(45°－α)]＝. 令x＝tan α∈(0，1)， 則S＝＝＝ ＝≥(2－2)＝－1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝－1時取等號. 此時T＝×105， 所以三個區(qū)域的總投入T的最小值約為×105元. 15