（全國通用版）2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第十三單元 直線與圓學案 理

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1、第十三單元 直線與圓教材復(fù)習課“直線與圓”相關(guān)基礎(chǔ)知識一課過直線的方程過雙基1直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角定義：當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角；規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為；范圍：直線l的傾斜角的取值范圍是0，)(2)直線的斜率定義：當直線l的傾斜角時，其傾斜角的正切值tan 叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即ktan_；斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.2直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率ykxb與x軸

2、不垂直的直線點斜式過一點、斜率yy0k(xx0)兩點式過兩點與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)所有直線1已知A(m，2)，B(3,0)，若直線AB的斜率為2，則m的值為()A1B2C1或2 D2解析：選B由直線AB的斜率k2，解得m2.2若經(jīng)過兩點(5，m)和(m,8)的直線的斜率大于1，則m的取值范圍是()A(5,8) B(8，)C. D.解析：選D由題意知1，即0，5m0，解得2a.2(2018天津模擬)若坐標原點在圓(xm)2(ym)24的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1,1) B(，)C(，) D.解析：選C

3、因為(0,0)在(xm)2(ym)24的內(nèi)部，則有(0m)2(0m)24，解得m.3(2015北京高考)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析：選D圓的半徑r，圓心坐標為(1,1)，所以圓的標準方程為(x1)2(y1)22.4若圓C的圓心在x軸上，且過點A(1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_解析：設(shè)圓心坐標為C(a,0)，點A(1,1)和B(1,3)在圓C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圓心為C(2,0)，半徑|CA|，圓C的方程為(x2)2y210.答案：(x2)2y210兩條直

4、線的位置關(guān)系過雙基1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.(2)兩條直線垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k21.當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1l2.2兩條直線的交點的求法直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解3距離P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點之間的距離|P1P2|點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d平行線AxBy

5、C10與AxByC20間距離d1已知直線l1：(3a)x4y53a和直線l2：2x(5a)y8平行，則a()A7或1 B7C7或1 D1解析：選B由題意可得a5，所以，解得a7(a1舍去)2圓x2y26x2y30的圓心到直線xay10的距離為1，則a()A BC. D2解析：選B圓x2y26x2y30可化為(x3)2(y1)27，其圓心(3,1)到直線xay10的距離d1，解得a.3已知直線l1：(m2)xy50與l2：(m3)x(18m)y20垂直，則實數(shù)m的值為()A2或4 B1或4C1或2 D6或2解析：選D當m18時，兩條直線不垂直，舍去；當m18時，由l1l2，可得(m2)1，化簡得

6、(m6)(m2)0，解得m6或2.4若兩條平行直線4x3y60和4x3ya0之間的距離等于2，則實數(shù)a_.解析：兩條平行直線的方程為4x3y60和4x3ya0，由平行線間的距離公式可得2，即|6a|10，解得a4或16.答案：4或16清易錯1在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進行判斷，若無斜率，要單獨考慮2運用兩平行直線間的距離公式時易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導致出錯1已知直線l1：x(a2)y20，直線l2：(a2)xay10，則“a1”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條

7、件解析：選A法一：(1)當直線l1的斜率不存在，即a2時，有l(wèi)1：x20，l2：2y10，此時符合l1l2.(2)當直線l1的斜率存在，即a2時，直線l1的斜率k10，若l1l2，則必有直線l2的斜率k2，所以1，解得a1.綜上所述，l1l2a1或a2.故“a1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件法二：l1l21(a2)(a2)a0，解得a1或a2.所以“a1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件2若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，則|PQ|的最小值為()A. B.C. D.解析：選C因為，所以兩直線平行由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值

8、為.直線與圓的位置關(guān)系過雙基直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點000幾何觀點drdrdr1直線yax1與圓x2y22x30的位置關(guān)系是()A相切 B相交C相離 D隨a的變化而變化解析：選B因為直線yax1恒過定點(0,1)，又點(0,1)在圓x2y22x30的內(nèi)部，故直線與圓相交2(2018大連模擬)若a2b22c2(c0)，則直線axbyc0被圓x2y21所截得的弦長為()A. B1C. D.解析：選D因為圓心(0,0)到直線axbyc0的距離d，因此根據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長的一半就等于 ，所以弦長為.3已知圓C：x2y26x80，則圓心C的坐標

9、為_；若直線ykx與圓C相切，且切點在第四象限，則k的值為_解析：圓的方程可化為(x3)2y21，故圓心坐標為(3,0)；由1，解得k，由切點在第四象限，可得k.答案：(3,0)圓與圓的位置關(guān)系過雙基圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑r1，r2，d|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|1若圓x2y21與圓(x4)2(ya)225相切，則實數(shù)a_.答案：2或02圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長為_解析：由得xy20.又圓x2y24的圓心到直線xy20的距離為.由勾股定理得弦長的一半為，所以所求弦長為2.答案：

10、2一、選擇題1直線 xy30的傾斜角為()A.B.C. D.解析：選C直線xy30可化為yx3，直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則tan ，又00)，又由圓與直線4x3y0相切可得1，解得a2，故圓的標準方程為(x2)2(y1)21.二、填空題9已知直線l過點A(0,2)和B(，3m212m13)(mR)，則直線l的傾斜角的取值范圍為_解析：設(shè)此直線的傾斜角為，00，且0，解得1m0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0,1) B.C. D. 解析：選B由消去x，得y，當a0時，直線yaxb與x軸交于點，結(jié)合圖形知，化簡得(ab)2a(a1)，則a.a0，0，解得b.考慮極限位

11、置，即a0，此時易得b1，故選B.一、選擇題1如果AB0，BC0，則直線AxByC0不經(jīng)過的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C由AB0，BC0，可得直線AxByC0的斜率為0，直線在y軸上的截距0, 故直線不經(jīng)過第三象限2直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是()A0，) B.C. D.解析：選B直線xsin y20的斜率為ksin ， 1sin 1, 1k1, 直線傾斜角的取值范圍是.3已知點M是直線xy2上的一個動點，且點P(，1)，則|PM|的最小值為()A. B1C2 D3解析：選B|PM|的最小值即點P(，1)到直線xy2的距離，又1，故|PM|的最小值

12、為1.4(2018鄭州質(zhì)量預(yù)測)“a1”是“直線axy10與直線(a2)x3y20垂直”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選Baxy10與(a2)x3y20垂直，a(a2)30，解得a1或a3.“a1”是兩直線垂直的充分不必要條件5已知點A(1，2)，B(m,2)，若線段AB的垂直平分線的方程是x2y20，則實數(shù)m的值為()A2 B7C3 D1解析：選CA(1，2)和B(m,2)的中點在直線x2y20上， 2020，m3.6已知直線l過點P(1,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，則當AOB的面積取得最小值時，直線l的方程為()A2xy

13、40 Bx2y30Cxy30 Dxy10解析：選A由題可知，直線l的斜率k存在，且k0，則直線l的方程為y2k(x1)A，B(0,2k)，SOAB(2k)4，當且僅當k2時取等號直線l的方程為y22(x1)，即2xy40.7(2018豫南九校質(zhì)量考評)若直線xay20與以A(3,1)，B(1,2)為端點的線段沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(2,1)B(，2)(1，)C.D(，1)解析：選D直線xay20過定點C(2,0)，直線CB的斜率kCB2，直線CA的斜率kCA1，所以由題意可得a0且21，解得a.8已知P(x0，y0)是直線l：AxByC0外一點，則方程AxByC(Ax0By0C

14、)0表示()A過點P且與l垂直的直線B過點P且與l平行的直線C不過點P且與l垂直的直線D不過點P且與l平行的直線解析：選D因為P(x0，y0)是直線l：AxByC0外一點，所以Ax0By0Ck，k0.若方程AxByC(Ax0By0C)0，則AxByCk0.因為直線AxByCk0和直線l斜率相等，但在y軸上的截距不相等，故直線AxByCk0和直線l平行因為Ax0By0Ck，且k0，所以Ax0By0Ck0，所以直線AxByCk0不過點P，故選D.二、填空題9已知點A(3，4)，B(6,3)到直線l：axy10的距離相等，則實數(shù)a的值為_解析：由題意及點到直線的距離公式得，解得a或.答案：或10與直

15、線2x3y50平行，且在兩坐標軸上截距的和為6的直線方程是_解析：由平行關(guān)系設(shè)所求直線方程為2x3yc0, 令x0，可得y；令y0，可得x， 6，解得c， 所求直線方程為2x3y0, 化為一般式可得10x15y360.答案：10x15y36011已知直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，則直線l1與l2的距離為_解析：直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，即3x4y0，直線l1與l2的距離為.答案：12在平面直角坐標系中，已知點P(2,2)，對于任意不全為零的實數(shù)a，b，直線l：a(x1)b(y2)0，若點P到直線l的距離為d，則d的取值范圍是_解析

16、：由題意，直線過定點Q(1，2)，PQl時，d取得最大值5, 直線l過點P時，d取得最小值0, 所以d的取值范圍0,5答案：0,5 三、解答題13已知方程(m22m3)x(2m2m1)y52m0(mR)(1)求方程表示一條直線的條件； (2)當m為何值時，方程表示的直線與x軸垂直；(3)若方程表示的直線在兩坐標軸上的截距相等，求實數(shù)m的值解：(1)由解得m1，方程(m22m3)x(2m2m1)y52m0(mR)表示直線，m22m3,2m2m1不同時為0，m1.故方程表示一條直線的條件為m1.(2)方程表示的直線與x軸垂直，解得m.(3)當52m0，即m時，直線過原點，在兩坐標軸上的截距均為0；

17、當m時，由，解得m2.故實數(shù)m的值為或2.14已知直線m：2xy30與直線n：xy30的交點為P.(1)若直線l過點P，且點A(1,3)和點B(3,2)到直線l的距離相等，求直線l的方程；(2)若直線l1過點P且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，ABO的面積為4，求直線l1的方程解：(1)由得即交點P(2,1)由直線l與A，B的距離相等可知，lAB或l過AB的中點 由lAB，得klkAB，所以直線l的方程為y1(x2)，即x2y40，由l過AB的中點得l的方程為x2，故x2y40或x2為所求(2)法一：由題可知，直線l1的斜率k存在，且k0. 則直線l1的方程為yk(x2)1kx2k1.

18、令x0，得y12k0，令y0，得x0，SABO(12k)4，解得k， 故直線l1的方程為yx2，即x2y40.法二：由題可知，直線l1的橫、縱截距a，b存在，且a0，b0，則l1：1.又l1過點(2,1)，ABO的面積為4，解得故直線l1的方程為1，即x2y40.1設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)(點P與點A，B不重合)，則PAB的面積最大值是()A2 B5C. D.解析：選C由題意可知，動直線xmy0過定點A(0,0)動直線mxym30m(x1)3y0，因此直線過定點B(1,3)當m0時，兩條直線分別為x0，y3，交點P(0,3)，SPAB13

19、.當m0時，兩條直線的斜率分別為，m，則m1，因此兩條直線相互垂直當|PA|PB|時，PAB的面積取得最大值由|PA|AB|，解得|PA|.SPAB|PA|2.綜上可得，PAB的面積最大值是.2已知直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是(4,2)，(3,1)，則點C的坐標為()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析：選C設(shè)A(4,2)關(guān)于直線y2x的對稱點為(x，y)，則解得，即(4，2)直線BC所在方程為y1(x3)，即3xy100.聯(lián)立解得可得C(2,4)3在平面直角坐標系內(nèi)，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距離之和最

20、小的點的坐標是_解析：設(shè)平面上任一點M，因為|MA|MC|AC|，當且僅當A，M，C共線時取等號，同理|MB|MD|BD|，當且僅當B，M，D共線時取等號，連接AC，BD交于一點M，若|MA|MC|MB|MD|最小，則點M為所求kAC2，直線AC的方程為y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直線BD的方程為y5(x1)，即xy60.由得即M(2,4)答案：(2,4)高考研究課(二)圓的方程命題3角度求方程、算最值、定軌跡全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度圓的方程5年4考求圓的方程及先求圓的方程再考查應(yīng)用與圓有關(guān)的最值問題5年1考求范圍與圓有關(guān)的軌跡問題未考查圓的方程圓的方程的求法，應(yīng)根據(jù)

21、條件選用合適的圓的方程，一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量.(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.典例求經(jīng)過點A(5,2)，B(3，2)，且圓心在直線2xy30上的圓的方程解法一：用“幾何法”解題由題意知kAB2，AB的中點為(4,0)，設(shè)圓心為C(a，b)，圓過A(5,2)，B(3，2)兩點，圓心一定在線段AB的垂直平分線上則解得C(2,1)，r|CA|.所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二：用“代數(shù)法”解題設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則解得故圓的方程為(x2)2(y1)210.法三：用“代數(shù)法”解題設(shè)圓的方程為x2y

22、2DxEyF0(D2E24F0)，則解得所求圓的方程為x2y24x2y50.方法技巧求圓的方程的方法(1)方程選擇原則若條件中圓心坐標明確時，常設(shè)為圓的標準方程，不明確時，常設(shè)為一般方程(2)求圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是代數(shù)法，大致步驟如下：根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標準方程或一般方程即時演練根據(jù)下列條件，求圓的方程(1)已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0，6)，B(1，5)，且圓心在直線l：xy10上；(2)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點P(3，2)解：(1)法一：設(shè)圓的方程為

23、x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則圓心坐標為.由題意可得解得所以圓的方程為x2y26x4y120.法二：因為A(0，6)，B(1，5)，所以線段AB的中點D的坐標為，直線AB的斜率kAB1，因此線段AB的垂直平分線的方程是y，即xy50.則圓心C的坐標是方程組的解，解得所以圓心C的坐標是(3，2)圓的半徑長r|AC|5，所以圓的方程為(x3)2(y2)225.(2)法一：如圖，設(shè)圓心坐標為(x0，4x0)，依題意得1，x01，即圓心坐標為(1，4)，半徑r2，故圓的方程為(x1)2(y4)28.法二：設(shè)所求方程為(xx0)2(yy0)2r2，根據(jù)已知條件得解得因此所求圓的方程為(x1)

24、2(y4)28.與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想常見的命題角度有：(1)斜率型最值問題；(2)截距型最值問題；(3)距離型最值問題；(4)距離和(差)的最值問題；(5)三角形的面積的最值問題角度一：斜率型最值問題1已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解：原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.當直線ykx與圓相切時(如圖)，斜率k取最大值或最小值，此時，解得k.所以的最大值為，最小值為.角度二：截距型最值問題2在角度一條件下求yx的最大值和最

25、小值解：yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，如圖所示，當直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2.所以yx的最大值為2，最小值為2.角度三：距離型最值問題3設(shè)P(x，y)是圓(x2)2y21上的任意一點，則(x5)2(y4)2的最大值為()A6B25C26 D36解析：選D(x5)2(y4)2表示點P(x，y)到點(5，4)的距離的平方，又點(5，4)到圓心(2,0)的距離d5，則點P(x，y)到點(5，4)的距離最大值為6，從而(x5)2(y4)2的最大值為36.角度四：距離和(差)的最值問題4已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，

26、N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|PN|的最小值為()A54B.1C62 D.解析：選A圓心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1關(guān)于x軸的對稱點C1(2，3)，連接C1C2與x軸交于點P，此時|PM|PN|取得最小值，為|C1C2|1354.角度五：三角形的面積的最值問題5已知兩點A(1,0)，B(0,2)，點P是圓(x1)2y21上任意一點，則PAB面積的最大值與最小值分別是()A2，(4) B.(4)，(4)C.，4 D.(2)，(2)解析：選B直線AB的方程為1，即2xy20，圓心(1,0)到直線AB的距離d，則點P到直線AB的距離最大值為1，最小值為1，又|A

27、B|，則(SPAB)max(4)，(SPAB)min(4)，故選B.方法技巧求解與圓有關(guān)的最值問題的2大規(guī)律(1)借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式法、參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的與圓有關(guān)的軌跡問題典例已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ中點的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點為M(x

28、，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x2,2y)因為P點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標原點，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.方法技巧求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種常用方法直接法直接根據(jù)題目提供的條件列出方程定義法根據(jù)圓、直線等定義列方程幾何法利用圓的幾何性質(zhì)列方程代入法找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等即時演練1(2018唐山調(diào)研)點P(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析：選A設(shè)圓上任意一點為(x1，y1)，中點為(x，y)，則即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24.化簡得(x2)2(y1)21.2設(shè)點A為圓(x1)2y21上的動點，PA是圓的切線，且|PA|1，則點P的軌跡方程為()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22解析：選D設(shè)P(x，y)，則由題意知，圓(x1)2y21的圓心為C(1,0)、半徑為1，PA是圓的切線，且|PA