（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列學(xué)案 文

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1、第六章 數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示本節(jié)主要包括2個知識點：1.數(shù)列的通項公式；2.數(shù)列的單調(diào)性.突破點(一)數(shù)列的通項公式 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1數(shù)列的定義按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第一項(通常也叫做首項)2數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式3數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的第一項(或前幾項)，且任何一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即anf(an1)(或anf(an1，

2、an2)等)，那么這個式子叫做數(shù)列an的遞推公式4Sn與an的關(guān)系已知數(shù)列an的前n項和為Sn，則an這個關(guān)系式對任意數(shù)列均成立考點貫通抓高考命題的“形”與“神”利用數(shù)列的前幾項求通項例1寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，；(5)1,0，1,0,1,0，1,0，.解(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an.(3)奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因式(1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇

3、數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為21，偶數(shù)項為21，所以an(1)n.也可寫為an(4)將數(shù)列各項改寫為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)(5)觀察數(shù)列中各項呈現(xiàn)周期性1,0，1,0聯(lián)想三角函數(shù)ycos x的特殊值，前4項對應(yīng)著cos ，cos ，cos ，cos ，所以ancos.還可以為an方法技巧由數(shù)列的前幾項求通項公式的思路方法給出數(shù)列的前幾項求通項時，需要注意觀察數(shù)列中各項與其序號之間的關(guān)系，在所給數(shù)列的前幾項中，先看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號間的關(guān)系，主要從以下幾個方面來考慮：(1)分式形式的數(shù)列，

4、分子、分母分別求通項，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系(2)若第n項和第n1項正負(fù)交錯，那么符號用(1)n或(1)n1或(1)n1來調(diào)控(3)熟悉一些常見數(shù)列的通項公式(4)對于較復(fù)雜數(shù)列的通項公式，其項與序號之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，這就需要將數(shù)列各項的結(jié)構(gòu)形式加以變形，可使用添項、通分、分割等方法，將數(shù)列的各項分解成若干個常見數(shù)列對應(yīng)項的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納利用an與Sn的關(guān)系求通項例2已知下面數(shù)列an的前n項和Sn，求an的通項公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb；(3)Snan.解(1)a1S1231，當(dāng)n2時，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n

5、5，由于a1也適合此等式，所以an的通項公式為an4n5.(2)a1S13b，當(dāng)n2時，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.當(dāng)b1時，a1適合此等式當(dāng)b1時，a1不適合此等式所以當(dāng)b1時，an23n1；當(dāng)b1時，an(3)由Snan得，當(dāng)n2時，Sn1an1，當(dāng)n2時，anSnSn1anan1，整理得an2an1，又a1時，S1a1a1，a11，an(2)n1.方法技巧已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時an的表達(dá)式(3)對n1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合n2時an的表達(dá)式，如果符

6、合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來寫利用遞推關(guān)系求通項例3(1)已知數(shù)列an滿足a1，an1an，則an_；(2)若數(shù)列an滿足a1，an1an，則通項an_；(3)若數(shù)列an滿足a11，an12an3，則an_；(4)若數(shù)列an滿足a11，an1，則an_.解析(1)由條件知an1an，則(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)，即ana11，又a1，an1.(2)由an1an(an0)，得，故ana1.(3)設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)，即an12ant，則t3.故an132(an3)令bnan3，則b1a134，bn0

7、，且2.所以bn是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列所以bn42n12n1，即an2n13.(4)an1，a11，an0，即，又a11，則1，是以1為首項，為公差的等差數(shù)列(n1)，an.答案(1)(2)(3)2n13(4)方法技巧典型的遞推數(shù)列及處理方法遞推式方法示例an1anf(n)疊加法a11，an1an2nan1anf(n)疊乘法a11，2nan1AanB (A0,1，B0)化為等比數(shù)列a11，an12an1an1 (A，B，C為常數(shù))化為等差數(shù)列a11，an1能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.已知nN*，給出4個表達(dá)式：anan，an，an.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0

8、,1，的通項公式的可能是_(填寫所有正確表達(dá)式的序號)解析：具體逐一檢驗可以判斷，均成立雖然數(shù)列的通項公式的表達(dá)形式不唯一，但是有通項公式的數(shù)列的通項公式是唯一的；有些無規(guī)則的數(shù)列未必有通項公式答案：2.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.則an的通項公式是_解析：由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因此an的各項都為正數(shù)，所以.故an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.答案：an3.已知數(shù)列an的前n項和為Snn22n2，則數(shù)列an的通項公式為_解析：當(dāng)n1時，a1S11，當(dāng)n2時，anSnSn12n3，由于n1時a1的值不

9、適合n2的解析式，故an的通項公式為an答案：an4.設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1，求數(shù)列an的通項公式解：由題意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)當(dāng)n1時也滿足此式，an(nN*)5.若數(shù)列an滿足：a11，an1an2n，求數(shù)列an的通項公式解：由題意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.又因為當(dāng)n1時滿足此式，所以an2n1.突破點(二)數(shù)列的單調(diào)性基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與

10、項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項考點貫通抓高考命題的“形”與“神”利用數(shù)列的單調(diào)性研究最值問題例1已知數(shù)列an的前n項和為Sn，常數(shù)0，且a1anS1Sn對一切正整數(shù)n都成立(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)a10，100.當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？解(1)取n1，得a2S12a1，即a1(a12)0.若a10，則Sn0，當(dāng)n2時，anSnSn1000，所以an0.若a10，則a1，當(dāng)n2時，2anSn,2an1Sn1，兩式相減得

11、2an2an1an，所以an2an1(n2)，從而數(shù)列an是等比數(shù)列，所以ana12n12n1.綜上，當(dāng)a10時，an0；當(dāng)a10時，an.(2)當(dāng)a10且100時，令bnlg，由(1)知bnlg2nlg 2.所以數(shù)列bn是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為lg 2)則b1b2b6lglglg 10，當(dāng)n7時，bnb7lglglg 10，故當(dāng)n6時，數(shù)列的前n項的和最大方法技巧1判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法(1)作差比較法an1an0數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；an1an0數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；an1an0數(shù)列an是常數(shù)列(2)作商比較法an0時1數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；1數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；1數(shù)列an

12、是常數(shù)列an0時1數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；1數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；1數(shù)列an是常數(shù)列2.求數(shù)列最大項或最小項的方法(1)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最大項；(2)利用不等式組(n2)找到數(shù)列的最小項利用數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例2已知函數(shù)f(x)(a0，且a1)，若數(shù)列an滿足anf(n)(nN*)，且an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是_解析因為an是遞增數(shù)列，所以解得2a3，所以實數(shù)a的取值范圍是(2,3)答案(2,3)方法技巧已知數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩種方法(1)利用數(shù)列的單調(diào)性構(gòu)建不等式，然后將其轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題進(jìn)行解決，也可通過分離參數(shù)將其轉(zhuǎn)化為最值問題處理(

13、2)利用數(shù)列與函數(shù)之間的特殊關(guān)系，將數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍，但要注意數(shù)列通項中n的取值范圍能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.設(shè)an3n215n18，則數(shù)列an中的最大項的值是_解析：an32，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n2或n3時，an取最大值，最大值為a2a30.答案：02.若數(shù)列an滿足：a119，an1an3，則數(shù)列an的前n項和數(shù)值最大時，n的值為_解析：a119，an1an3，數(shù)列an是以19為首項，3為公差的等差數(shù)列，an19(n1)(3)223n，則an是遞減數(shù)列設(shè)an的前k項和數(shù)值最大，則有即k，kN*，k7.滿足條件的n的值為7.答

14、案：73.已知an是遞增數(shù)列，且對于任意的nN*，ann2n恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_解析：對于任意的nN*，ann2n恒成立，an1an(n1)2(n1)n2n2n1.又an是遞增數(shù)列，an1an0，且當(dāng)n1時，an1an最小，an1ana2a130，3.答案：(3，)4.已知數(shù)列an中，an1(nN*，aR，且a0)(1)若a7，求數(shù)列an中的最大項和最小項的值；(2)若對任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范圍解：(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1.結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)數(shù)列an中的最大項為a52，最小項

15、為a40.(2)an11.對任意的nN*，都有ana6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，知56，10a8.故a的取值范圍為(10，8)課時達(dá)標(biāo)檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎(chǔ)小題強化運算能力1設(shè)數(shù)列an的前n項和Snn2n，則a4的值為_解析：a4S4S320128.答案：82(2018鎮(zhèn)江模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an1an2n(nN*)，則a10_.解析：an1an2n，an2an12n1，兩式相除得2.又a1a22，a11，a22.則24，即a102532.答案：323在數(shù)列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，則的值是_解析：由已知得a2

16、1(1)22，2a32(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，.答案：4(2018山東棗莊第八中學(xué)階段性檢測)已知數(shù)列，欲使它的前n項的乘積大于36，則n的最小值為_解析：由數(shù)列的前n項的乘積36，得n23n700，解得n10或n7.又因為nN*，所以n的最小值為8.答案：85(2018蘭州模擬)在數(shù)列1,2，中2是這個數(shù)列的第_項解析：數(shù)列1,2，即數(shù)列，該數(shù)列的通項公式為an，2，n26，故2是這個數(shù)列的第26項答案：26練?？碱}點檢驗高考能力一、填空題1已知數(shù)列an的前n項和Snn22n，則a2a18_.解析：當(dāng)n2時，anSnSn12n3；當(dāng)n1時，a1S11，所

17、以an2n3(nN*)，所以a2a1834.答案：342數(shù)列an中，a11，對于所有的n2，nN*都有a1a2a3ann2，則a3a5_.解析：令n2,3,4,5，分別求出a3，a5，a3a5.答案：3.如圖，互不相同的點A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面積均相等設(shè)OAnan.若a11，a22，則數(shù)列an的通項公式是_解析：記OA1B1的面積為S，則OA2B2的面積為4S.從而四邊形AnBnBn1An1的面積均為3S.可得OAnBn的面積為S3(n1)S(3n2)S.a3n2，即an.答案：an4已知數(shù)列an滿足

18、a115，且3an13an2.若akak10，則正整數(shù)k_.解析：由3an13an2得an1an，則an是等差數(shù)列，又a115，ann.akak10，0，k，k23.答案：235已知數(shù)列an滿足a13，an1，則a2 018_.解析：因為a13，an1，所以a21，a32，a43，所以數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列所以a2 018a67232a21.答案：16數(shù)列 an滿足 an1 , a82，則a1 _.解析：將a82代入an1，可求得a7；再將a7代入an1，可求得a61；再將a61代入an1，可求得a52；由此可以推出數(shù)列an是一個周期數(shù)列，且周期為3，所以a1a7.答案：7已知數(shù)列an中

19、，a11，若an2an11(n2)，則a5的值是_解析：an2an11，an12(an11)，2，又a11，an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即an122n12n，a5125，即a531.答案：318數(shù)列an定義如下：a11，當(dāng)n2時，an若an，則n的值為_解析：因為a11，所以a21a12，a3，a41a23，a5，a61a3，a7，a81a44，a9，所以n9.答案：99已知數(shù)列an滿足：a11，an1(an2)an(nN*)，若bn1(np)，b1p，且數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)p的取值范圍為_解析：由題中條件，可得1，則121，易知120，則是等比數(shù)列，所以12n，可得bn

20、12n(np)，則bn2n1(n1p)(nN*)，由數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，得2n(np)2n1(n1p)，則pn1恒成立，又n1的最小值為2，則p的取值范圍是(，2)答案：(，2)10(2018南通模擬)設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，則它的通項公式an_.解析：(n1)aan1anna0，(an1an)(n1)an1nan0，又an1an0，(n1)an1nan0，即，a11，an.答案：二、解答題11已知Sn為正項數(shù)列an的前n項和，且滿足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列an的通項公式解：(1)由Snaan(

21、nN*)，可得a1aa1，解得a11；S2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44.(2)Snaan，當(dāng)n2時，Sn1aan1，整理得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故數(shù)列an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故ann.12已知數(shù)列an的通項公式是ann2kn4.(1)若k5，則數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；(2)對于nN*，都有an1an，求實數(shù)k的取值范圍解：(1)由n25n40，解得1n4.因為nN*，所以n2,3，所以數(shù)列中有兩項是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.因為ann25n42，由二次函數(shù)性質(zhì)，

22、得當(dāng)n2或n3時，an有最小值，其最小值為a2a32.(2)由對于nN*，都有an1an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nN*，所以，即得k3.所以實數(shù)k的取值范圍為(3，)第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和本節(jié)主要包括3個知識點：1.等差數(shù)列基本量的計算；2.等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用；3.等差數(shù)列的判定與證明.突破點(一)等差數(shù)列基本量的計算 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為an1and(nN*，d為常數(shù))(2)

23、等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1(n1)d.(2)前n項和公式：Snna1d.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”等差數(shù)列的基本運算典例(1)(2017宿遷高三期中)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前 n項和，且a23，S416，則S9的值為_(2)(2018蘇州調(diào)研)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S36，a14，則公差d等于_解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a23，S416，得解得所以S991281.(2)由S36，且a14，得a30，則d2.答案(1)81(2)2方法技巧1等差數(shù)列運算問題的通性通法(1

24、)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程的思想2.等差數(shù)列設(shè)項技巧,若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)中間三項為ad，a，ad；若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)中間兩項為ad，ad，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元.能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1已知an是等差數(shù)列，a415，S555，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線斜率為_解析：S55a355，a311，k4.答案：42設(shè)Sn為等差數(shù)列a

25、n的前n項和，若a11，公差d2，Sn2Sn36，則n_.解析：由題意知Sn2Snan1an22a1(2n1)d22(2n1)36，解得n8.答案：83(2017全國卷改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得即解得d4.答案：44(2018南昌模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，S3S4S5.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn(1)n1an，求數(shù)列bn的前2n項和T2n.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S3S4S5，可得a1a2a3a5，即3a2a5，所以3(1d)14d，解得d2.an1(n

26、1)22n1.(2)由(1)，可得bn(1)n1(2n1)T2n1357(4n3)(4n1)(2)n2n.突破點(二)等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN*)也是等差數(shù)列，公差為m2d.(5)S2n1(2n1)an，S2nn(a1a2n)n(anan1)，遇見S奇，S偶時可分別運用性

27、質(zhì)及有關(guān)公式求解(6)an，bn均為等差數(shù)列且其前n項和為Sn，Tn，則.(7)若an是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項與an的首項相同，公差是an的公差的.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”等差數(shù)列的性質(zhì)例1(1)(2017南京一模)設(shè)an是等差數(shù)列，若a4a5a621，則S9_.(2)已知an，bn都是等差數(shù)列，若a1b109，a3b815，則a5b6_.解析(1)因為an是等差數(shù)列，所以a1a9a4a62a5.又a4a5a621，所以a1a914，所以S963.(2)因為an，bn都是等差數(shù)列，所以2a3a1a5,2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159

28、(a5b6)，解得a5b621.答案(1)63(2)21方法技巧利用等差數(shù)列性質(zhì)求解問題的注意點(1)如果an為等差數(shù)列，mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)因此，若出現(xiàn)amn，am，amn等項時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項)有關(guān)的條件；若求am項，可由am(amnamn)轉(zhuǎn)化為求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的靈活應(yīng)用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，mN*)等提醒一般地，amanamn，等號左、右兩邊必須是兩項相加，當(dāng)然也可以是amnamn2am.等差數(shù)列前n項和的最值例2等差數(shù)列an

29、的首項a10，設(shè)其前n項和為Sn，且S5S12，則當(dāng)n為何值時，Sn有最大值？解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S5S12得5a110d12a166d，da10.法一：Snna1dna1a1(n217n)a12a1，因為a10，nN*，所以當(dāng)n8或n9時，Sn有最大值法二：設(shè)此數(shù)列的前n項和最大，則即解得即8n9，又nN*，所以當(dāng)n8或n9時，Sn有最大值法三：由于Snna1dn2n，設(shè)f(x)x2x，則函數(shù)yf(x)的圖象為開口向下的拋物線，由S5S12知，拋物線的對稱軸為x(如圖所示)，由圖可知，當(dāng)1n8時，Sn單調(diào)遞增；當(dāng)n9時，Sn單調(diào)遞減又nN*，所以當(dāng)n8或n9時，Sn最大方法技巧求等

30、差數(shù)列前n項和Sn最值的三種方法(1)函數(shù)法利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的方法求解(2)鄰項變號法a10，d0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當(dāng)a10，d0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.(3)通項公式法求使an0(an0)成立時最大的n值即可一般地，等差數(shù)列an中，若a10，且SpSq(pq)，則：若pq為偶數(shù)，則當(dāng)n時，Sn最大；若pq為奇數(shù)，則當(dāng)n或n時，Sn最大能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a1a7a13，則cos(a2a12)的值為_解析：在等差數(shù)列an中，因為a1a7a13，

31、所以a7，所以a2a12，所以cos(a2a12).答案：2.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，則當(dāng)Sn取最小值時n_.解析：由(n1)SnnSn1得(n1)n，整理得anan1，所以等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又1，所以a80，a70，所以數(shù)列an的前7項為負(fù)值，即當(dāng)n7時，Sn的值最小答案：73.已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是_解析：由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)知，7，故當(dāng)n1,2,3,5,11時，為整數(shù)，故使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是5.答案：54.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后

32、6項的和為180，Sn324(n6)，求數(shù)列an的項數(shù)及a9a10.解：由題意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.a1an36，n18，a1a1836，從而a9a10a1a1836.5.(2018重慶高三期中)已知公比為q的等比數(shù)列an的前6項和S621，且4a1，a2，a2成等差數(shù)列(1)求an；(2)設(shè)bn是首項為2，公差為a1的等差數(shù)列，記bn前n項和為Tn，求Tn的最大值解：(1)4a1，a2，a2成等差數(shù)列，4a1a23a2，即2a1a2，q2，S621，解

33、得a1，an.(2)由(1)可知bn是首項為2，公差為的等差數(shù)列，bnn，法一：Tnn2n2，則Tn的最大值為7，此時n6或7.法二：公差為為負(fù)數(shù)，數(shù)列bn是遞減數(shù)列b70，n6或7時，數(shù)列bn的前n項和Tn取得最大值7.突破點(三)等差數(shù)列的判定與證明 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于數(shù)列an，anan1(n2，nN*)為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差數(shù)列通項公式法anpnq(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列填空題中的判定問題前n項和公式法驗證SnAn2B

34、n(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列考點貫通抓高考命題的“形”與“神”等差數(shù)列的判定與證明典例已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足：an2SnSn10(n2，nN*)，a1，判斷an是否為等差數(shù)列，并說明你的理由解因為anSnSn1(n2)，an2SnSn10，所以SnSn12SnSn10(n2)所以2(n2)又S1a1，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列所以2(n1)22n，故Sn.所以當(dāng)n2時，anSnSn1，所以an1，而an1an.所以當(dāng)n2時，an1an的值不是一個與n無關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列an不是等差數(shù)列能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1已知an是公差為1的等差數(shù)

35、列，判斷a2n12a2n是否為等差數(shù)列，并說明理由解：令bna2n12a2n，則bn1a2n12a2n2，故bn1bna2n12a2n2(a2n12a2n)(a2n1a2n1)2(a2n2a2n)2d4d6d616.即a2n12a2n是公差為6的等差數(shù)列2已知數(shù)列an中，a12，an2(n2，nN*)，設(shè)bn(nN*)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列證明：an2，an12.bn1bn1，bn是首項為b11，公差為1的等差數(shù)列3(2018蘇州月考)已知數(shù)列an中，a21，前n項和為Sn，且Sn.(1)求a1；(2)證明數(shù)列an為等差數(shù)列，并寫出其通項公式解：(1)令n1，則a1S10.(2)由Sn，即S

36、n，得Sn1.，得(n1)an1nan.于是，nan2(n1)an1.，得nan2nan2nan1，即an2an2an1.又a10，a21，a2a11，所以，數(shù)列an是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列所以，ann1.課時達(dá)標(biāo)檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎(chǔ)小題強化運算能力1若等差數(shù)列an的前5項之和S525，且a23，則a7_.解析：由S5，得25，解得a47，所以732d，即d2，所以a7a43d73213.答案：132在等差數(shù)列an中，a10，公差d0，若ama1a2a9，則m的值為_解析：ama1a2a99a1d36da37，即m37.答案：373(2018啟東中學(xué)

37、月考)在單調(diào)遞增的等差數(shù)列an中，若a31，a2a4，則a1_.解析：由題知，a2a42a32，又a2a4，數(shù)列an單調(diào)遞增，a2，a4.公差d.a1a2d0.答案：04設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a111，a3a76，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a3a76，所以a53，d2，則Snn212n，故當(dāng)n等于6時Sn取得最小值答案：65(2018蘇南四校聯(lián)考)設(shè)各項均為正數(shù)的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若，則_.解析：法一：各項均為正數(shù)的等差數(shù)列an中，由得，a1d，即and(n1)dnd，所以Snndd，所以3.法二：等差數(shù)列an中，a1a92a5，a

38、1a52a3，所以3.答案：3練?？碱}點檢驗高考能力一、填空題1(2017黃岡質(zhì)檢)在等差數(shù)列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8_.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7a8(a1a2)(41)(a3a4)(a1a2)40320100.答案：1002(2017江陰三校聯(lián)考)已知數(shù)列an的首項為3，bn為等差數(shù)列，且bnan1an(nN*)，若b32，b212，則a8_.解析：設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，則db3b214，因為an1anbn，所以a8a1b1b2b7(b2d)(b25d)112，又a13，則a8109.答案：1

39、093在等差數(shù)列an中，a3a5a11a174，且其前n項和為Sn，則S17_.解析：由a3a5a11a174，得2(a4a14)4，即a4a142，則a1a172，故S1717.答案：174(2017全國卷改編)等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，則d2，所以an前6項的和S661(2)24.答案：245設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“吉祥數(shù)列”已知等差數(shù)列bn的首項為

40、1，公差不為0，若數(shù)列bn為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列bn的通項公式為_解析：設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，k，因為b11，則nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因為對任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以數(shù)列bn的通項公式為bn2n1.答案：bn2n16(2018南通模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2a4a6a8120，且，則S9的值為_解析：由題意得，則2(a2a8)14，即a2a87，所以S9(a2a8).答案：7(2018徐州質(zhì)檢)在等差數(shù)列an中，已知首項a10，公差d

41、0.若a1a260，a2a3100，則5a1a5的最大值為_解析：由題意得所以設(shè)x(2a1d)y(2a13d)6a14d，所以解得于是兩式相加得5a1a5200.答案：2008記等差數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a12，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則a13_.解析：設(shè)數(shù)列an的公差為d.因為為等差數(shù)列，所以，成等差數(shù)列，從而2，解得d4，所以a13212d50.答案：509(2018金陵中學(xué)月考)在等差數(shù)列an中，已知a4a7a1015，i77，若ak13，則正整數(shù)k的值為_解析：等差數(shù)列an中2a7a4a10，a4a14a5a13a6a12a7a11a8a102a9，因為a4a7a1015，i77，

42、所以3a715,11a977，即a75，a97，即2d2，d1，因為ak13，所以aka913766d(k9)d，即k15.答案：1510(2018無錫期初)若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個不同的零點，且a，b，2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值為_解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得abp，abq，則a0，b0，當(dāng)a，b，2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時，2必為等比中項，故abq4，b.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，2必不是等差中項，當(dāng)a是等差中項時，2a2，解得a1，b4；當(dāng)是等差中項時，a2，解得a4，b1.綜上所述，abp5，所以pq9.答案：9二、解答

43、題11已知數(shù)列an滿足a11，an(nN*，n2)，數(shù)列bn滿足關(guān)系式bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解：(1)證明：bn，且an，bn1，bn1bn2.又b11，數(shù)列bn是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知數(shù)列bn的通項公式為bn1(n1)22n1，又bn，an.數(shù)列an的通項公式為an.12已知數(shù)列an滿足2an1anan2(nN*)，它的前n項和為Sn，且a310，S672，若bnan30，設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，求Tn的最小值解：2an1anan2，an1anan2an1，故數(shù)列an為等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公差為d，由a

44、310，S672得，解得a12，d4.故an4n2，則bnan302n31，令即解得n，nN*，n15，即數(shù)列bn的前15項均為負(fù)值，T15最小數(shù)列bn的首項是29，公差為2，T15225，數(shù)列bn的前n項和Tn的最小值為225.第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和本節(jié)主要包括3個知識點：1.等比數(shù)列基本量的計算；2.等比數(shù)列的性質(zhì)；3.等比數(shù)列的判定與證明.突破點(一)等比數(shù)列基本量的計算 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的

45、表達(dá)式為q.(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項即：G是a與b的等比中項a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1qn1.(2)前n項和公式：Sn3運用方程的思想求解等比數(shù)列的基本量(1)若已知n，an，Sn，先驗證q1是否成立，若q1，可以通過列方程(組)求出關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解(2)若已知數(shù)列an中的兩項an和am，可以利用等比數(shù)列的通項公式，得到方程組計算時兩式相除可先求出q，然后代入其中一式求得a1，進(jìn)一步求得Sn.另外，還可以利用公式anamqnm直接求得q，可減少運算量考點貫通抓高考命題的“形”與“神”求首項

46、a1，公比q例1(1)(2017無錫模擬)已知等比數(shù)列an單調(diào)遞減，若a31，a2a4，則a1_.(2)在等比數(shù)列an中，a37，前3項之和S321，則公比q的值為_解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，q0，則aa2a41，又a2a4，且an單調(diào)遞減，所以a22，a4，則q2，q，所以a14.(2)根據(jù)已知條件得消去a1得3，整理得2q2q10，解得q1或q.答案(1)4(2)1或求通項或特定項例2(1)(2017全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則a4_.(2)在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an_.解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則

47、a1a2a1(1q)1，a1a3a1(1q2)3，兩式相除，得，解得q2，a11，所以a4a1q38.(2)由題意知a14a116a121，解得a11，所以等比數(shù)列an的通項公式為ana1qn14n1.答案(1)8(2)4n1方法技巧求等比數(shù)列通項公式的方法與策略求等比數(shù)列的通項公式，一般先求出首項與公比，再利用ana1qn1求解但在某些情況下，利用等比數(shù)列通項公式的變形anamqnm可以簡化解題過程求解時通常會涉及等比數(shù)列設(shè)項問題，常用的設(shè)項方法為：(1)通項法設(shè)數(shù)列的通項公式ana1qn1(nN*)來求解(2)對稱設(shè)元法與有窮等差數(shù)列設(shè)項方法類似，有窮等比數(shù)列設(shè)項也要注意對稱設(shè)元一般地，連

48、續(xù)奇數(shù)個項成等比數(shù)列，可設(shè)為，x，xq，；連續(xù)偶數(shù)個項成等比數(shù)列，可設(shè)為，xq，xq3，(注意：此時公比q20，并不適合所有情況)這樣既可以減少未知量的個數(shù)，也使得解方程較為方便求等比數(shù)列的前n項和例3設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn滿足6Sn19an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)當(dāng)n1時，由6a119a1，得a1.當(dāng)n2時，由6Sn19an，得6Sn119an1，兩式相減得6(SnSn1)9(anan1)，即6an9(anan1)，所以an3an1.所以數(shù)列an是首項為，公比為3的等比數(shù)列，其通項公式為an3n13n2.(2)因為b

49、nn2，所以bn是首項為3，公比為的等比數(shù)列，所以Tnb1b2bn1n.能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.已知等比數(shù)列an的前三項依次為a1，a1，a4，則an_.解析：由題意得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，故a14，a26，所以q，則an4n1.答案：4n12.已知數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，且a1a34，a48，則a1q的值為_解析：由a1a34，a48，得aq24，a1q38，解得q2.當(dāng)q2時，a11，此時a1q3；當(dāng)q2時，a11，此時a1q3.答案：3或33.(2018泰州模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1a3，a2a4，則_.解析：設(shè)an的公比為q，由可

50、得2，q，將q代入得a12，an2n1，Sn4，2n1.答案：2n14.(2017江蘇高考)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3，S6，則a8_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由S62S3，得q1，則解得則a8a1q72732.答案：325.已知an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示an的前n項和(1)求an及Sn；(2)設(shè)bn是首項為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2(a41)qS40，求bn的通項公式及其前n項和Tn.解：(1)因為an是首項a11，公差d2的等差數(shù)列，所以ana1(n1)d2n1.故Snn2.(2)由(1)得a47，S416.因為q2(a41)qS40，即q28q160，所以(q4)20，從而q4.又b12，bn是公比q4的等比數(shù)列，所以bnb1qn124n