（通用版）2020版高考數(shù)學大二輪復習 專題突破練21 隨機變量及其分布 理

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1、專題突破練21　隨機變量及其分布 1.(2019全國卷2,理18)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分.當某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結束. (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率. 2.某班將要舉行籃球投籃比賽,比賽規(guī)則是:每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次,在A區(qū)每進一球得2分,不進球得

2、0分;在B區(qū)每進一球得3分,不進球得0分,得分高的選手勝出.已知某參賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進球的概率分別是910和13. (1)如果該選手以在A,B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標準,問該選手應該選擇哪個區(qū)投籃?請說明理由; (2)求該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率. 3.(2019河北武邑中學調(diào)研二,理18)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有

3、6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率. (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望E(X). 4.醫(yī)學上某種還沒有完全攻克的疾病,治療時需要通過藥物控制其中的兩項指標H和V.現(xiàn)有三種不同配方的藥劑,根據(jù)分析,A,B,C三種藥劑能控制H指標的概率分別為0.5,0.6,0.75,能控制V指標的概率分別是0.6,0.5,0.4,能否控制H指標與能否控制V指標之間相互沒有影

4、響. (1)求A,B,C三種藥劑中恰有一種能控制H指標的概率; (2)某種藥劑能使兩項指標H和V都得到控制就說該藥劑有治療效果.求三種藥劑中有治療效果的藥劑種數(shù)X的分布列. 5.某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下: 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 ?！　≠M 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下: 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概　　率 0.30

5、 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值. 6.2019年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關鍵一年,有關部門為宣傳垃圾分類知識,面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機會,通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1 000人的得分數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示: (1)由頻率分布直方圖可以認為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)

6、分布N(μ,210),μ近似為這1 000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布求P(50.5

7、)≈0.954 5. 7.某公司新上一條生產(chǎn)線,為保證新的生產(chǎn)線正常工作,需對該生產(chǎn)線進行檢測.現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品,測量產(chǎn)品數(shù)據(jù),用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù)μ=14,標準差σ=2,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.以頻率值作為概率估計值. (1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件,記其數(shù)據(jù)為X,依據(jù)以下不等式評判(P表示對應事件的概率): ①P(μ-σ

8、個不等式,則生產(chǎn)狀況為優(yōu),無需檢修;否則需檢修生產(chǎn)線,試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修; (2)將數(shù)據(jù)不在(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)的產(chǎn)品視為次品,從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件,次品數(shù)記為Y,求Y的分布列與數(shù)學期望E(Y). 8.某闖關游戲規(guī)則是:先后擲兩枚骰子,將此試驗重復n輪,第n輪的點數(shù)分別記為xn,yn,如果點數(shù)滿足xn<6ynyn+6,則認為第n輪闖關成功,否則進行下一輪投擲,直到闖關成功,游戲結束. (1)求第一輪闖關成功的概率; (2)如果第i輪闖關成功所獲的獎金數(shù)f(i)=10 000×12i(單位:元),求某人闖關獲得獎金不超過1 250

9、元的概率; (3)如果游戲只進行到第四輪,第四輪后不論游戲成功與否,都終止游戲,記進行的輪數(shù)為隨機變量x,求x的分布列和數(shù)學期望. 參考答案 專題突破練21　隨機變量及其分布 1.(1)證明X=2就是10∶10平后,兩人又打了兩個球該局比賽結束,則這兩個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5. (2)解X=4且甲獲勝,就是10∶10平后,兩人又打了4個球該局比賽結束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5×(1-0.4)

10、+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1. 2.解(1)設該選手在A區(qū)投籃的進球數(shù)為X,則X~B2,910,故E(X)=2×910=95,則該選手在A區(qū)投籃得分的期望為2×95=185.設該選手在B區(qū)投籃的進球數(shù)為Y,則Y~B3,13,故E(Y)=3×13=1,則該選手在B區(qū)投籃得分的期望為3×1=3.所以該選手應該選擇在A區(qū)投籃. (2)設“該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分”為事件C,“該選手在A區(qū)投籃得4分,且在B區(qū)投籃得3分或0分”為事件D,“該選手在A區(qū)投籃得2分,且在B區(qū)投籃得0分”為事件E,則事件C=D∪E,且事件D與事件E互斥. P(D)=910×910×C

11、31×13×232+233=81100×49+827=35,P(E)=C21×910×110×233=18100×827=475,P(C)=P(D∪E)=35+475=4975,故該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率為4975. 3.解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C105=518. (2)X的可能取值為:0,1,2,3,4, ∴P(X=0)=C65C105=142, P(X=1)=C64C41C105=521, P(X=2)=C63C42C105=1021, P(X=3)=C62C43C105=521, P(X=4)

12、=C61C44C105=142. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X的數(shù)學期望E(X)=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2. 4.解(1)A,B,C三種藥劑中恰有一種能控制H指標的概率為P=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275. (2)∵A有治療效果的概率為PA=0.5×0.6=0.3, B有治療效果的概率為PB=0.6×0.5=0.3, C有治療效果的概率為PC=0.75

13、×0.4=0.3, ∴A,B,C三種藥劑有治療效果的概率均為0.3,可看成是獨立重復試驗,即X~B(3,0.3).∵X的所有可能取值為0,1,2,3, ∴P(X=k)=C3k×0.3k×(1-0.3)3-k,即P(X=0)=C30×0.30×(1-0.3)3=0.343,P(X=1)=C31×0.3×(1-0.3)2=0.441,P(X=2)=C32×0.32×(1-0.3)=0.189, P(X=3)=C33×0.33=0.027. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 5.解(1)設A表示事件“一續(xù)保人本年

14、度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (2)設B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311. 因此所求概率為311. (3)記續(xù)保人本年度的保費為X,則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

15、0.05 E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23. 6.解(1)E(Z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65, ∴μ=65,σ=210≈14.5, ∴P(50.5

16、50.5

17、(0.29+0.11)×2=0.8>0.6826, P(μ-2σ

18、1250; P(Y=2)=3502=92500; ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 22092500 1411250 92500 ∴E(Y)=0×22092500+1×1411250+2×92500=325. 8.解(1)當y1=6時,x1<3612=3,因此x1=1,2; 當y1=5時,x1<3011,因此x1=1,2; 當y1=4時,x1<2410,因此x1=1,2; 當y1=3時,x1<189=2,因此x1=1; 當y1=2時,x1<128=32,因此x1=1; 當y1=1時,x1<67,因此x1無值; 所以第一輪闖關成功的概率P(A)=86×6

19、=29. (2)令獎金數(shù)f(i)=10000×12i≤1250,則i≥3, 由(1)知每輪過關的概率為29. 某人闖關獲得獎金不超過1250元的概率P(i≥3)=1-P(i=1)-P(i=2)=1-29-1-29×29=4981. (3)依題意X的可能取值為1,2,3,4. 設游戲第k輪后終止的概率為Pk(k=1,2,3,4), P1=29, P2=1-29×29=1481, P3=1-292×29=98729, P4=1-P1-P2-P3=343729. 故X的分布列為 X 1 2 3 4 P 29 1481 98729 343729 因此,E(X)=1×29+2×1481+3×98729+4×343729=2080729. 16