（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練21 隨機(jī)變量及其分布 理

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1、專題突破練21　隨機(jī)變量及其分布 1.(2019全國卷2,理18)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分.當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束. (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率. 2.某班將要舉行籃球投籃比賽,比賽規(guī)則是:每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次,在A區(qū)每進(jìn)一球得2分,不進(jìn)球得

2、0分;在B區(qū)每進(jìn)一球得3分,不進(jìn)球得0分,得分高的選手勝出.已知某參賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別是910和13. (1)如果該選手以在A,B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標(biāo)準(zhǔn),問該選手應(yīng)該選擇哪個(gè)區(qū)投籃?請(qǐng)說明理由; (2)求該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率. 3.(2019河北武邑中學(xué)調(diào)研二,理18)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有

3、6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率. (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X). 4.醫(yī)學(xué)上某種還沒有完全攻克的疾病,治療時(shí)需要通過藥物控制其中的兩項(xiàng)指標(biāo)H和V.現(xiàn)有三種不同配方的藥劑,根據(jù)分析,A,B,C三種藥劑能控制H指標(biāo)的概率分別為0.5,0.6,0.75,能控制V指標(biāo)的概率分別是0.6,0.5,0.4,能否控制H指標(biāo)與能否控制V指標(biāo)之間相互沒有影

4、響. (1)求A,B,C三種藥劑中恰有一種能控制H指標(biāo)的概率; (2)某種藥劑能使兩項(xiàng)指標(biāo)H和V都得到控制就說該藥劑有治療效果.求三種藥劑中有治療效果的藥劑種數(shù)X的分布列. 5.某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 ?！　≠M(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概　　率 0.30

5、 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率; (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 6.2019年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類的關(guān)鍵一年,有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí),面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì),通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1 000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示: (1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)

6、分布N(μ,210),μ近似為這1 000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布求P(50.5

7、)≈0.954 5. 7.某公司新上一條生產(chǎn)線,為保證新的生產(chǎn)線正常工作,需對(duì)該生產(chǎn)線進(jìn)行檢測.現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,測量產(chǎn)品數(shù)據(jù),用統(tǒng)計(jì)方法得到樣本的平均數(shù)μ=14,標(biāo)準(zhǔn)差σ=2,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.以頻率值作為概率估計(jì)值. (1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件,記其數(shù)據(jù)為X,依據(jù)以下不等式評(píng)判(P表示對(duì)應(yīng)事件的概率): ①P(μ-σ

8、個(gè)不等式,則生產(chǎn)狀況為優(yōu),無需檢修;否則需檢修生產(chǎn)線,試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修; (2)將數(shù)據(jù)不在(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)的產(chǎn)品視為次品,從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件,次品數(shù)記為Y,求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望E(Y). 8.某闖關(guān)游戲規(guī)則是:先后擲兩枚骰子,將此試驗(yàn)重復(fù)n輪,第n輪的點(diǎn)數(shù)分別記為xn,yn,如果點(diǎn)數(shù)滿足xn<6ynyn+6,則認(rèn)為第n輪闖關(guān)成功,否則進(jìn)行下一輪投擲,直到闖關(guān)成功,游戲結(jié)束. (1)求第一輪闖關(guān)成功的概率; (2)如果第i輪闖關(guān)成功所獲的獎(jiǎng)金數(shù)f(i)=10 000×12i(單位:元),求某人闖關(guān)獲得獎(jiǎng)金不超過1 250

9、元的概率; (3)如果游戲只進(jìn)行到第四輪,第四輪后不論游戲成功與否,都終止游戲,記進(jìn)行的輪數(shù)為隨機(jī)變量x,求x的分布列和數(shù)學(xué)期望. 參考答案 專題突破練21　隨機(jī)變量及其分布 1.(1)證明X=2就是10∶10平后,兩人又打了兩個(gè)球該局比賽結(jié)束,則這兩個(gè)球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5. (2)解X=4且甲獲勝,就是10∶10平后,兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束,且這4個(gè)球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5×(1-0.4)

10、+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1. 2.解(1)設(shè)該選手在A區(qū)投籃的進(jìn)球數(shù)為X,則X~B2,910,故E(X)=2×910=95,則該選手在A區(qū)投籃得分的期望為2×95=185.設(shè)該選手在B區(qū)投籃的進(jìn)球數(shù)為Y,則Y~B3,13,故E(Y)=3×13=1,則該選手在B區(qū)投籃得分的期望為3×1=3.所以該選手應(yīng)該選擇在A區(qū)投籃. (2)設(shè)“該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分”為事件C,“該選手在A區(qū)投籃得4分,且在B區(qū)投籃得3分或0分”為事件D,“該選手在A區(qū)投籃得2分,且在B區(qū)投籃得0分”為事件E,則事件C=D∪E,且事件D與事件E互斥. P(D)=910×910×C

11、31×13×232+233=81100×49+827=35,P(E)=C21×910×110×233=18100×827=475,P(C)=P(D∪E)=35+475=4975,故該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率為4975. 3.解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C105=518. (2)X的可能取值為:0,1,2,3,4, ∴P(X=0)=C65C105=142, P(X=1)=C64C41C105=521, P(X=2)=C63C42C105=1021, P(X=3)=C62C43C105=521, P(X=4)

12、=C61C44C105=142. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2. 4.解(1)A,B,C三種藥劑中恰有一種能控制H指標(biāo)的概率為P=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275. (2)∵A有治療效果的概率為PA=0.5×0.6=0.3, B有治療效果的概率為PB=0.6×0.5=0.3, C有治療效果的概率為PC=0.75

13、×0.4=0.3, ∴A,B,C三種藥劑有治療效果的概率均為0.3,可看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),即X~B(3,0.3).∵X的所有可能取值為0,1,2,3, ∴P(X=k)=C3k×0.3k×(1-0.3)3-k,即P(X=0)=C30×0.30×(1-0.3)3=0.343,P(X=1)=C31×0.3×(1-0.3)2=0.441,P(X=2)=C32×0.32×(1-0.3)=0.189, P(X=3)=C33×0.33=0.027. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 5.解(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年

14、度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15. 又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311. 因此所求概率為311. (3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

15、0.05 E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23. 6.解(1)E(Z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65, ∴μ=65,σ=210≈14.5, ∴P(50.5

16、50.5

17、(0.29+0.11)×2=0.8>0.6826, P(μ-2σ

18、1250; P(Y=2)=3502=92500; ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 22092500 1411250 92500 ∴E(Y)=0×22092500+1×1411250+2×92500=325. 8.解(1)當(dāng)y1=6時(shí),x1<3612=3,因此x1=1,2; 當(dāng)y1=5時(shí),x1<3011,因此x1=1,2; 當(dāng)y1=4時(shí),x1<2410,因此x1=1,2; 當(dāng)y1=3時(shí),x1<189=2,因此x1=1; 當(dāng)y1=2時(shí),x1<128=32,因此x1=1; 當(dāng)y1=1時(shí),x1<67,因此x1無值; 所以第一輪闖關(guān)成功的概率P(A)=86×6

19、=29. (2)令獎(jiǎng)金數(shù)f(i)=10000×12i≤1250,則i≥3, 由(1)知每輪過關(guān)的概率為29. 某人闖關(guān)獲得獎(jiǎng)金不超過1250元的概率P(i≥3)=1-P(i=1)-P(i=2)=1-29-1-29×29=4981. (3)依題意X的可能取值為1,2,3,4. 設(shè)游戲第k輪后終止的概率為Pk(k=1,2,3,4), P1=29, P2=1-29×29=1481, P3=1-292×29=98729, P4=1-P1-P2-P3=343729. 故X的分布列為 X 1 2 3 4 P 29 1481 98729 343729 因此,E(X)=1×29+2×1481+3×98729+4×343729=2080729. 16