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1、第三節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)二二、多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 第六章 三三、全微分、全微分 定義定義1),(yxfz 在點),(),(lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在點),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx;),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy.),(001yxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyxfyxxfx),(),(lim0
2、00000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:一、一、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).),(001yxf1.偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù)),(,2yxf lim0y),(00yxfy若函數(shù) z=f(x,y)在域 D 內(nèi)每一點(x,y)處對 x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),),(,),(1yxfyxfx),(,),(2yxfyxfy),(0 xf),(0 xfy記為yy00y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在,yzyfyz),(,1yxf),(zyxfx例如例如,三元函數(shù) u=f
3、(x,y,z)在點(x,y,z)處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).lim0 x),(zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)21yxxz例例13 求xxz4.)2,1(23232處的偏導(dǎo)數(shù)在點yxyxz0y3機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法一解法一 把y看成常數(shù)，得把x看成常數(shù)，得0yz26yx3所以21yxyz,22314,34yx,632yx.21)2(31)3(2,23231yyzx求,166222xxzy.)2,1(23232處的偏導(dǎo)數(shù)在點yxyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回
4、結(jié)束 解法二解法二 先將y=2代入于是11)64(xxxxz.2得.21)63(222yyyyz32232yxyxz得同理 將x=1代入32232yxyxz于是練習(xí)練習(xí)1 求223yyxxz解法解法1:xz)2,1(xz解法解法2:)2,1(xz在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).)2,1(yz,32yx yzyx23,82312)2,1(yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例例14 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:1pTTVVpTRVp證證,VTRp,pTRV,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數(shù)),V
5、p2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商!此例表明,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整體記號,例例15 設(shè)，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 練習(xí)練習(xí)2 求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù).解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例16 設(shè)2 1)ln(3xyxz.,1)ln(3yzxzxyz求)01(yxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解同理，可得.1)ln(32xyyyz 此處，在函數(shù)的表達式中將兩個變量x，y 對調(diào)后仍為原來的函數(shù)，稱
6、這樣的函數(shù)對變量x，y 具有對稱性顯然，只要在求得的偏導(dǎo)數(shù)xz.1)ln(32xyx.,yzyx就可以得到換成將中函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)存在,解法一解法一例例17 求函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxfzxfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0.0)0,0(yf0注意：注意：但在該點不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在上節(jié)例10已證 f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)，并討論其在(0,0)處的連續(xù)性.xxxx00)(0lim20同理可得，解法二解法二顯然例例170,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0
7、,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在上節(jié)例10已證 f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!2二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點 M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對 y 軸的二、多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)二、多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z=f(x,y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)
8、數(shù)),(,),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù):)(xzyxz2);,(yxfyxy)(yzxyz2);,(yxfyxx)(yz22yz);,(yxfyyy類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z=f(x,y)關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz=f(x,y)關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于 y 的一階)(yyxznn1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz例例18 求函數(shù)225
9、yxyxz解解xz22xzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意:此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.221yxx225yxy23222)(yxy2322)(yxxy2322)(yxxy23222)(yxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù).0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,22
10、2222yxyxyxyx0,022 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例19 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證證xu22xu利用對稱性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義;記號;幾何意義 函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計算方法 求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的
11、方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時,應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1例如例如,對三元函數(shù) u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(x,y,z)連
12、續(xù)連續(xù)時,有而初等(證明略證明略)*2、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用 應(yīng)用應(yīng)用 一元函數(shù) y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似計算近似計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 本小節(jié)內(nèi)容本小節(jié)內(nèi)容:1、全微分的定義、全微分的定義 三、全微分1、幾個概念、幾個概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點在點(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，且偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)有定義，且偏導(dǎo)數(shù)),(,),(yxfyxfyx存在存在,當(dāng)變量當(dāng)變量x,y有增量有增量 x,y時時,由一元函數(shù)由一元函數(shù),),(),(),(xyxfyxfyxxfx其中其中分別稱為二元函數(shù)對分別稱為二元函數(shù)對x和和y的
13、偏增量；的偏增量；),(),(yxfyyxfyyxfxyxfyx),(,),(,),(),(),(yyxfyxfyyxfy微分學(xué)中函數(shù)增量與微分的關(guān)系，得微分學(xué)中函數(shù)增量與微分的關(guān)系，得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,),(),(yxfyxxf分別稱為二元函數(shù)對分別稱為二元函數(shù)對x和和y的偏微分，而把的偏微分，而把),(),(yxfyyxxfz稱為二元函數(shù)在點稱為二元函數(shù)在點(x,y)處的全增量處的全增量.2、全微分的定義、全微分的定義 定義定義2 如果函數(shù) z=f(x,y)在定義域 D 的內(nèi)點(x,y),(),(yxfyyxxfz可表示成,)(oyBxAz其中 A,B 不依賴于 x,y,
14、僅與 x,y 有關(guān)，稱為函數(shù)),(yxf在點(x,y)的全微分全微分,記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f(x,y)在點(x,y)可微可微，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.yBxA(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù) z=f(x,y)在點(x,y)可微),(lim00yyxxfyx由微分定義:得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即3、可微的條件、可微
15、的條件 定理定理2(必要條件必要條件)若函數(shù) z=f(x,y)在點(x,y)可微可微,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)yzxz,yyzxxzzd),(),(yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證:由全增量公式,)(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反例反例:函數(shù)函數(shù)xyyxf),(易知易知xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0 但但)0,0()0,0(yfxfzyx注意注意:定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立.yx偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微不一定可微 !即即:機
16、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx0lim0yfyffyy)0,0()0,0(lim)0,0(0,0yy0lim0,0)0,0()0,0(fyxf),(yxf00yx反例反例:函數(shù)函數(shù)xyyxf),()0,0()0,0(yfxfzyx因此因此,函數(shù)在點函數(shù)在點(0,0)不可微不可微.)(o2200)()(limyxyxyx.yx有,yx0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 現(xiàn)考察現(xiàn)考察)0,0()0,0(lim0yxfxfz特別地，取特別地，取2200)()(limyxyxyxxxyx2lim0021 ),(yyxxf定理定理3(充分條件充分條件)yzxz,證證：),(),(yxfyyxx
17、fz)1,0(21xyxfx),(yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),(yxf),(yyxfyyxfy),(若函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù),),(連續(xù)在點yx則函數(shù)在該點可微分.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函數(shù)),(yxfz),(yxyx在點可微.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(oxxu推廣推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)),(zyxfu ud習(xí)慣上把自變量的增量用微分表
18、示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuuzyxdddd稱為偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分為yyuzzu于是機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 uuuzyxd,d,d重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例20 求求在點(1,1)處的全微分.yxyxyxz2233解解 因為xz,2)1,1(xz.d6d2d)1,1(yxzyz,16322yxyyx,6223yxyxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6)1,1(yz例例21 求求的全微分.)ln(22yxxz解解 因為xz)(22yxx
19、x.dd1d222222yyxyxxyxyxzyz221yxx)(12222yxxyyxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束)0(12222yxyyxx.122yx)1(12222yxxyxx,2222yxyxxy例例22 設(shè)設(shè)求du.,2cosyxxyzu解解 因為xu,2sin21yx zzuyyuxxuudddd,xyzuyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2sin21yx xzyu.dd)2sin21(d)2sin21(zxyyyxxzxyxyz可知當(dāng)*4、全微分在近似計算中的應(yīng)用、全微分在近似計算中的應(yīng)用由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyy
20、xfxyxfyx),(),(較小時,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(可用于近似計算;誤差分析)(可用于近似計算)解解:已知,2hrV V,12,5hr4.052.012522V 例例23 一圓柱形的鐵罐，內(nèi)半徑為5cm，內(nèi)高為12cm，壁厚均為0.2cm，估計制作這個鐵罐所需材料的體積大約為多少（包括上、下底）？則 rrh2hr 24.0,2.0hr.)cm(8.106)cm(3433機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí) 計算的近似值.02.204.1解解:設(shè)yxyxf),(,則),(yxfx取,2,1yx則)02
21、.2,04.1(04.102.2fyfxffyx)2,1()2,1()2,1(08.102.0004.021),(yxfy,1yxyxxyln02.0,04.0yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要關(guān)系:)(o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.微分應(yīng)用 近似計算zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(),(yxf機動 目錄 上頁 下頁
22、返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)函數(shù)),(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是();),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(,),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內(nèi)存在;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx當(dāng)時是無窮小量;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當(dāng)時是無窮小量.2.選擇題D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(4.設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0,0,0(f求解解:x
23、xxfcos3)0,0,(0cos3)0,0,0(xxxfx41利用輪換對稱性,可得41)0,0,0()0,0,0(zyff)dd(d41zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(L.P245 例2)注意注意:x,y,z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 在點(0,0)可微.備用題備用題在點(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxyx)0,0(),(,0yx證證:1)因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0,0(f故函數(shù)在點(0,0)連續(xù);但偏導(dǎo)數(shù)在點(0,0)不連 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明函數(shù)xy222yx 所以
24、),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxxy)0,0(),(,0yx),(yxfx,)0,0(),(時當(dāng)yx,)0,0(),(時趨于沿射線當(dāng)點xyyxP,0)0,(xf;0)0,0(xf.0)0,0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx),(lim)0,0(),(yxfxxx極限不存在,),(yxfx在點(0,0)不連續(xù);同理,),(yxfy在點(0,0)也不連續(xù).xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxxy)0,0(),(,0yx,)()(22yx4)下面證明)0,0(),(在點yxf可微:yfxffyx)0,0()0,0(1sinyx x 00.)0,0(),(可微在點yxf說明說明:此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束
高數(shù)教學(xué)課件第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分
