《直角三角形全等判定(HL)》教案 2022年 (省一等獎)

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1、直角三角形全等判定 總課題 課 題  全等三角形 直角三角形全等判定 〔HL〕  總課時數(shù) 主 備 人  課型  第 14 課時 新授 時 間 教 學 目 標 教學 重點 教學 難點 教學 過程  1．在操作、比擬中理解直角三角形全等的過程，并能用于解決實際問題． 2．經(jīng)歷探索直角三角形全等判定的過程，掌握數(shù)學方法，提高合情推理的能力． 3．培養(yǎng)幾何推理意識，激發(fā)學生求知欲，感悟幾何思維的內涵． 理解利用“斜邊、直角邊〞來判定直角三角形全等的方法． 培養(yǎng)有條

2、理的思考能力，正確使用“綜合法〞表達． 教 學 內 容 一、回憶交流 【問題探究】 圖 1 是兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，?這兩個直角三角形才能全等？ 【教師活動】操作投影儀，提出“問題探究〞，組織學生討論． 【學生活動】小組討論，發(fā)表意見：“由三角形全等條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對 應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了．〞 【媒體使用】投影顯示“問題探究〞． 【教學形式】分四人小組，合作、討論． 【情境導入】如圖 2 所示． 舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角

3、形是否全等，但每個三角形都有一 條直角邊被花盆遮住無法測量． 〔1〕你能幫他想個方法嗎？ 〔2〕如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？ 工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應相等，于是他就肯定“兩個 直角三角形是全等的〞，你相信他的結論嗎？ 【思路點撥】〔1〕學生可以答復去量斜邊和一個銳角，或直角邊和一個銳角， ?但對問題〔 2〕學生難以 答復．此時，?教師可以引導學生對工作人員提出的方法及結論進行思考，并驗證它們的方法，從而展開對直 ì =BA, ? ∴ = BD 角三角形特殊條件的探索． 【教師活動】操作投影儀，提出問題，引導

4、學生思考、驗證． 【學生活動】思考問題，探究原理． 做一做如課本圖 11．2─11：任意畫出一個 ABC，使∠C=90°，再畫一個 Rt A′B′C′，使 B′C′ =BC，A′B′=AB，把畫好的 A′B′C′剪下，放到 ABC 上，?它們全等嗎？ 【學生活動】畫圖分析，尋找規(guī)律．如下： 規(guī)律：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等〔簡寫成“斜邊、直角邊〞或“HL〞〕． 畫一個 A′B′C′，使 B′C′=BC,AB=AB; 1． 畫∠MC′N=90°。 2． 在射線 C′M 上取 B′C′BC。 3． 以 B′為圓心，AB 為半徑畫弧，交射線 C′

5、N 于點 A′。 4． 連接 A′B′。 二、應用所學 【例 4】如課本圖 11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求證 BC=AD． 【思路點撥】欲證 BC=?AD，?首先應尋找和這兩條線段有關的三角形，?這里有△ABD 和△BAC，△ADO 和 BCO【教師為活DB動、AC】引的導交學點生，共經(jīng)同過參條與件分的析分例析4．，△ABD和△BAC?具備全等的條件． 證明：∵AC⊥BC，BD⊥BD， ∴∠C 與∠D 都是直角． 在 RtABC 和 BAD 中， í RtABC≌ BAD〔HL〕． ∴BC=AD． 【學生活動】參與教師分析，提出自己的見解．

6、 【評析】在證明兩個直角三角形全等時，要防止學生使用“SSA〞來證明． 【媒體使用】投影顯例如 4． 三、隨堂練習 課本練習 1、2 題． 【探研時空】 如圖 3，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度 AC?與右邊滑梯水平方面的長度 DF 相等，兩個滑梯的 傾斜角∠ABC 和∠DEF 的大小有什么關系？ 下面是三個同學的思考過程，你能明白他們的意思嗎？〔如圖 4 所示〕 ì í ? BC =EF , AC =DF DCAB =DFDE =90°  →ABC DEF ∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°． 有一條直角邊和斜邊對應相等

7、，所以△ABC 與△DEF 全等．這樣∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°． 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，BC=EF，AC=DF，因此這兩個三角形是全等的，這樣∠ABC=∠DEF，所以∠ABC 與∠DEF 是互余的． 【教學形式】這個問題涉及的推理比擬復雜，可以通過全班討論，共同解決這個問題，但不需要每個學 生自己獨立說明理由，只要求學生能看懂三位同學的思考過程就可以了． 四、課堂總結 本節(jié)課通過動手操作，在合作交流、比擬中共同發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)直觀發(fā)現(xiàn)問題的能力，在反思中發(fā)現(xiàn)新 知，體會解決問題的方法．通過今天的學習和對前面三角形全等條件

8、的探求，可知判定直角三角形全等有五 種方法．〔教師讓學生討論歸納〕 五、布置作業(yè) 課 后 反 思 [教學反思] 學生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結合；在遇到問題時，多數(shù)學 生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學中，我會不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學生學習的 樂園。 本節(jié)課的教學活動，主要是讓學生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖以及圖形折疊后的 形狀。教學時，我讓每個學生帶長方體或正方體的紙盒，每個學生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪 的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同

9、的。學生在剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整 的展開圖，就要求適當進行指導。通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學生的空間思維能力，而 且在情感上每位學生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。 24.1 圓 (第 3 課時) 教學內容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弦所對的圓心角的一半． 推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應用． 教學目標 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弧所對

10、的圓心角的 一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90?°的圓周角所對的弦是直徑． 4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用． 設置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關系，運用數(shù)學分類思想給予邏輯證明定理，得 出推導，讓學生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導解決一些實際問題． 重難點、關鍵 1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題． 2．難點：運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理． 3．關鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學過程 一、復習引入 〔學生活動〕請同學們口答下面兩個問題． 1．什么叫圓心角？ 2

11、．圓心角、弦、弧之間有什么內在聯(lián)系呢？ 老師點評：〔1〕我們把頂點在圓心的角叫圓心角． 〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們所對的其余各組量 都分別相等． 剛剛講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周 上，是否還存在一些等量關系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決 二、探索新知 的問題． 問題：如下圖的⊙O，我們在射門游戲中，設 E、F 是球門，?設球員們只 能 在 EF 所在的⊙O 其它位置射門，如下圖的 A、B、C 點．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像 EBF、∠ECF

12、 這樣的角，它們的頂點在圓上，?并且兩邊都與圓相交的角叫做圓 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法答復下面的問題． ∠EAF、∠ 周角． 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？ 2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ A C 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關系？ 〔學生分組討論〕提問二、三位同學代表發(fā)言．  O 老師點評：  B 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個． 2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的． 3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧

13、所對的圓周角的度數(shù)沒有變化， ? A  D  并且 它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．〞 〔1〕設圓周角∠ABC 的一邊 BC 是⊙O 的直徑，如下圖 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO  B O  C ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2  ∠AOC 〔2〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的兩側，那么∠ABC= 嗎？請同學們獨立完成這道題的說明過程． 1 2  ∠ AOC 老師

14、點評：連結 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC ?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． 的外角， 〔3〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的同側，那么∠ABC= 嗎？請同學們獨立完成證明． 1 2  ∠ AOC 老師點評：連結 OA、OC，連結 BO 并延長交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD- ∠CBO= 1 1 1 ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 現(xiàn)在，我如果在畫一

15、個任意的圓周角∠AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓 周角是相等的． 從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 進一步，我們還可以得到下面的推導： 半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目． 例 1．如圖，AB 是⊙O 的直徑，BD 是⊙O 的弦，延長 BD 到 C，使 AC=AB，BD 與 CD 的大小有什么關系？為什么？ 分析：BD=CD，因為 AB=AC，所以這個△ABC 是等腰，要證明 D

16、 是 BC 的中點， ?只要連結 AD 證明 AD 是高或是∠BAC 的平分線即可． 解：BD=CD 理由是：如圖 24-30，連接 AD ∵AB 是⊙O 的直徑 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、穩(wěn)固練習 1．教材 P92 思考題． 2．教材 P93 練習． 四、應用拓展 例 2 ．如圖，△ ABC 內接于⊙ O ，∠A 、∠B、∠C 的對邊分別設為 a ，b ，c ，⊙O 半徑為 R ，求證： a b c = = =2R． sin A sin B sin C a b c a 分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R

17、， sin A sin B sin C sin A b sin B  =2R ， c a b c =2R，即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚顯要在直角三角形中進行． sin C 2 R 2 R 2 R 證明：連接 CO 并延長交⊙O 于 D，連接 DB ∵CD 是直徑 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 DBC 中，sinD= BC a ，即 2R= DC sin A b c 同理可證： =2R， =2R sin B sin C a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C

18、五、歸納小結〔學生歸納，老師點評〕 本節(jié)課應掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都相等這條弧所對的圓心角的一半； 3．半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 4．應用圓周角的定理及其推導解決一些具體問題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P95 綜合運用 9、10、 [教學反思] 學生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結合；在遇到問題時，多數(shù)學 生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學中，我會不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學生學習的 樂園。 本節(jié)課的教學活動，主要是讓學生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖以及圖形折疊后的 形狀。教學時，我讓每個學生帶長方體或正方體的紙盒，每個學生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪 的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學生在剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整 的展開圖，就要求適當進行指導。通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學生的空間思維能力，而 且在情感上每位學生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。