《直角三角形全等判定(HL)》教案 2022年 (省一等獎)

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1、直角三角形全等判定 總課題 課 題  全等三角形 直角三角形全等判定 〔HL〕  總課時數(shù) 主 備 人  課型  第 14 課時 新授 時 間 教 學(xué) 目 標(biāo) 教學(xué) 重點(diǎn) 教學(xué) 難點(diǎn) 教學(xué) 過程  1．在操作、比擬中理解直角三角形全等的過程，并能用于解決實(shí)際問題． 2．經(jīng)歷探索直角三角形全等判定的過程，掌握數(shù)學(xué)方法，提高合情推理的能力． 3．培養(yǎng)幾何推理意識，激發(fā)學(xué)生求知欲，感悟幾何思維的內(nèi)涵． 理解利用“斜邊、直角邊〞來判定直角三角形全等的方法． 培養(yǎng)有條

2、理的思考能力，正確使用“綜合法〞表達(dá)． 教 學(xué) 內(nèi) 容 一、回憶交流 【問題探究】 圖 1 是兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，?這兩個直角三角形才能全等？ 【教師活動】操作投影儀，提出“問題探究〞，組織學(xué)生討論． 【學(xué)生活動】小組討論，發(fā)表意見：“由三角形全等條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對 應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了．〞 【媒體使用】投影顯示“問題探究〞． 【教學(xué)形式】分四人小組，合作、討論． 【情境導(dǎo)入】如圖 2 所示． 舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角

3、形是否全等，但每個三角形都有一 條直角邊被花盆遮住無法測量． 〔1〕你能幫他想個方法嗎？ 〔2〕如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務(wù)嗎？ 工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等，于是他就肯定“兩個 直角三角形是全等的〞，你相信他的結(jié)論嗎？ 【思路點(diǎn)撥】〔1〕學(xué)生可以答復(fù)去量斜邊和一個銳角，或直角邊和一個銳角， ?但對問題〔 2〕學(xué)生難以 答復(fù)．此時，?教師可以引導(dǎo)學(xué)生對工作人員提出的方法及結(jié)論進(jìn)行思考，并驗(yàn)證它們的方法，從而展開對直 ì =BA, ? ∴ = BD 角三角形特殊條件的探索． 【教師活動】操作投影儀，提出問題，引導(dǎo)

4、學(xué)生思考、驗(yàn)證． 【學(xué)生活動】思考問題，探究原理． 做一做如課本圖 11．2─11：任意畫出一個 ABC，使∠C=90°，再畫一個 Rt A′B′C′，使 B′C′ =BC，A′B′=AB，把畫好的 A′B′C′剪下，放到 ABC 上，?它們?nèi)葐幔? 【學(xué)生活動】畫圖分析，尋找規(guī)律．如下： 規(guī)律：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等〔簡寫成“斜邊、直角邊〞或“HL〞〕． 畫一個 A′B′C′，使 B′C′=BC,AB=AB; 1． 畫∠MC′N=90°。 2． 在射線 C′M 上取 B′C′BC。 3． 以 B′為圓心，AB 為半徑畫弧，交射線 C′

5、N 于點(diǎn) A′。 4． 連接 A′B′。 二、應(yīng)用所學(xué) 【例 4】如課本圖 11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求證 BC=AD． 【思路點(diǎn)撥】欲證 BC=?AD，?首先應(yīng)尋找和這兩條線段有關(guān)的三角形，?這里有△ABD 和△BAC，△ADO 和 BCO【教師為活DB動、AC】引的導(dǎo)交學(xué)點(diǎn)生，共經(jīng)同過參條與件分的析分例析4．，△ABD和△BAC?具備全等的條件． 證明：∵AC⊥BC，BD⊥BD， ∴∠C 與∠D 都是直角． 在 RtABC 和 BAD 中， í RtABC≌ BAD〔HL〕． ∴BC=AD． 【學(xué)生活動】參與教師分析，提出自己的見解．

6、 【評析】在證明兩個直角三角形全等時，要防止學(xué)生使用“SSA〞來證明． 【媒體使用】投影顯例如 4． 三、隨堂練習(xí) 課本練習(xí) 1、2 題． 【探研時空】 如圖 3，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度 AC?與右邊滑梯水平方面的長度 DF 相等，兩個滑梯的 傾斜角∠ABC 和∠DEF 的大小有什么關(guān)系？ 下面是三個同學(xué)的思考過程，你能明白他們的意思嗎？〔如圖 4 所示〕 ì í ? BC =EF , AC =DF DCAB =DFDE =90°  →ABC DEF ∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°． 有一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等

7、，所以△ABC 與△DEF 全等．這樣∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°． 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，BC=EF，AC=DF，因此這兩個三角形是全等的，這樣∠ABC=∠DEF，所以∠ABC 與∠DEF 是互余的． 【教學(xué)形式】這個問題涉及的推理比擬復(fù)雜，可以通過全班討論，共同解決這個問題，但不需要每個學(xué) 生自己獨(dú)立說明理由，只要求學(xué)生能看懂三位同學(xué)的思考過程就可以了． 四、課堂總結(jié) 本節(jié)課通過動手操作，在合作交流、比擬中共同發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)直觀發(fā)現(xiàn)問題的能力，在反思中發(fā)現(xiàn)新 知，體會解決問題的方法．通過今天的學(xué)習(xí)和對前面三角形全等條件

8、的探求，可知判定直角三角形全等有五 種方法．〔教師讓學(xué)生討論歸納〕 五、布置作業(yè) 課 后 反 思 [教學(xué)反思] 學(xué)生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇到問題時，多數(shù)學(xué) 生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的 樂園。 本節(jié)課的教學(xué)活動，主要是讓學(xué)生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖以及圖形折疊后的 形狀。教學(xué)時，我讓每個學(xué)生帶長方體或正方體的紙盒，每個學(xué)生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪 的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同

9、的。學(xué)生在剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整 的展開圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而 且在情感上每位學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。 24.1 圓 (第 3 課時) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弦所對的圓心角的一半． 推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弧所對

10、的圓心角的 一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90?°的圓周角所對的弦是直徑． 4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得 出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問題． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題． 2．難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們口答下面兩個問題． 1．什么叫圓心角？ 2

11、．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評：〔1〕我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角． 〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們所對的其余各組量 都分別相等． 剛剛講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周 上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決 二、探索新知 的問題． 問題：如下圖的⊙O，我們在射門游戲中，設(shè) E、F 是球門，?設(shè)球員們只 能 在 EF 所在的⊙O 其它位置射門，如下圖的 A、B、C 點(diǎn)．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像 EBF、∠ECF

12、 這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，?并且兩邊都與圓相交的角叫做圓 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面的問題． ∠EAF、∠ 周角． 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？ 2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ A C 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ 〔學(xué)生分組討論〕提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言．  O 老師點(diǎn)評：  B 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個． 2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的． 3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧

13、所對的圓周角的度數(shù)沒有變化， ? A  D  并且 它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．〞 〔1〕設(shè)圓周角∠ABC 的一邊 BC 是⊙O 的直徑，如下圖 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO  B O  C ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2  ∠AOC 〔2〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè)，那么∠ABC= 嗎？請同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說明過程． 1 2  ∠ AOC 老師

14、點(diǎn)評：連結(jié) BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC ?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． 的外角， 〔3〕如圖，圓周角∠ABC 的兩邊 AB、AC 在一條直徑 OD 的同側(cè)，那么∠ABC= 嗎？請同學(xué)們獨(dú)立完成證明． 1 2  ∠ AOC 老師點(diǎn)評：連結(jié) OA、OC，連結(jié) BO 并延長交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD- ∠CBO= 1 1 1 ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 現(xiàn)在，我如果在畫一

15、個任意的圓周角∠AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓 周角是相等的． 從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目． 例 1．如圖，AB 是⊙O 的直徑，BD 是⊙O 的弦，延長 BD 到 C，使 AC=AB，BD 與 CD 的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析：BD=CD，因?yàn)?AB=AC，所以這個△ABC 是等腰，要證明 D

16、 是 BC 的中點(diǎn)， ?只要連結(jié) AD 證明 AD 是高或是∠BAC 的平分線即可． 解：BD=CD 理由是：如圖 24-30，連接 AD ∵AB 是⊙O 的直徑 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、穩(wěn)固練習(xí) 1．教材 P92 思考題． 2．教材 P93 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2 ．如圖，△ ABC 內(nèi)接于⊙ O ，∠A 、∠B、∠C 的對邊分別設(shè)為 a ，b ，c ，⊙O 半徑為 R ，求證： a b c = = =2R． sin A sin B sin C a b c a 分析：要證明 = = =2R，只要證明 =2R

17、， sin A sin B sin C sin A b sin B  =2R ， c a b c =2R，即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚顯要在直角三角形中進(jìn)行． sin C 2 R 2 R 2 R 證明：連接 CO 并延長交⊙O 于 D，連接 DB ∵CD 是直徑 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 DBC 中，sinD= BC a ，即 2R= DC sin A b c 同理可證： =2R， =2R sin B sin C a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C

18、五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評〕 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都相等這條弧所對的圓心角的一半； 3．半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑． 4．應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P95 綜合運(yùn)用 9、10、 [教學(xué)反思] 學(xué)生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇到問題時，多數(shù)學(xué) 生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學(xué)中，我會不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的 樂園。 本節(jié)課的教學(xué)活動，主要是讓學(xué)生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖以及圖形折疊后的 形狀。教學(xué)時，我讓每個學(xué)生帶長方體或正方體的紙盒，每個學(xué)生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪 的方法不同，展開圖的形狀也可能是不同的。學(xué)生在剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整 的展開圖，就要求適當(dāng)進(jìn)行指導(dǎo)。通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學(xué)生的空間思維能力，而 且在情感上每位學(xué)生 都獲得了成功的體驗(yàn)，建立自信心。