（江蘇專用）2013年高考數(shù)學總復習 第八章第3課時 圓的方程隨堂檢測（含解析）

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1、（江蘇專用）2013年高考數(shù)學總復習 第八章第3課時 圓的方程 隨堂檢測（含解析） 1．(2012·徐州質檢)經過原點，圓心在x軸的負半軸上，半徑等于的圓的標準方程是________． 答案：(x＋)2＋y2＝3 2．已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上的任意一點，則△ABC的面積最小值為________． 解析：直線AB方程為x－y＋2＝0，圓的方程為(x－1)2＋y2＝1， 圓心為(1,0)，圓心到AB距離d＝＝. ∴C到AB距離最小值為－1.又AB＝2， ∴△ABC面積最小值為×2×＝3－. 答案：3－ 3．已知點Q(2,0)，圓

2、C：x2＋y2＝1，若動點M到圓C的切線長與MQ的比等于2.求點M的軌跡方程． 解：設M(x，y)，則M到圓C的切線長為，又MQ＝， ∴＝2，化簡為x2＋y2－x＋＝0. 4．已知平面區(qū)域被圓C及其內部所覆蓋． (1)當圓C的面積最小時，求圓C的方程； (2)若斜率為1的直線l與(1)中的圓C交于不同的兩點A，B，且滿足CA⊥CB，求直線l的方程． 解：(1)由題意知此平面區(qū)域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)構成的三角形及其內部，且△OPQ是直角三角形， ∵覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓， ∴圓心是(2,1)，半徑是， ∴圓C的方程是(x－2)2＋(y－1

3、)2＝5. (2)設直線l的方程是：y＝x＋b. ∵CA⊥CB，∴圓心C到直線l的距離是， 即＝. 解之得，b＝－1±. ∴直線l的方程是：y＝x－1±. 5．如果實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x＋1＝0，求： (1)的最大值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最值． 解： (1)設＝k，得y＝kx，所以k為過原點的直線的斜率， 又x2＋y2－4x＋1＝0表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓，如圖所示． 當直線y＝kx與已知圓相切且切點在第一象限時k最大．此時：|CP|＝，|OC|＝2. ∴Rt△POC中，∠POC＝60°，k＝tan60°＝. ∴的最大

4、值為. (2)設y－x＝b，即為直線y＝x＋b，b為直線在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓有公共點時，當且僅當直線與圓相切，且切點在第四象限，b最?。藭r，圓心(2,0)到直線的距離為，即＝， 解得b＝－－2或b＝－2(舍)． ∴y－x最小值為－－. (3)法一：　表示圓上一點到原點距離，其最大值為2＋，最小值為2－. ∴(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 法二：　由x2＋y2－4x＋1＝0得(x－2)2＋y2＝3， 設(θ為參數(shù))， 則x2＋y2＝(2＋cosθ)2＋(sinθ)2＝7＋4cosθ. ∴當cosθ＝－1時，

5、(x2＋y2)min＝7－4. ∴當cosθ＝1時，(x2＋y2)max＝7＋4. [A級　雙基鞏固] 一、填空題 1．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是________． 解析：設圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r. ∵圓心C在直線x＋y－2＝0上，∴b＝2－a. ∵2＝2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，∴a＝1，b＝1，∴r＝2，∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4 2．已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是

6、________． 解析：圓心坐標為(0,0)， 半徑r＝＝， ∴圓的方程為x2＋y2＝2. 答案：x2＋y2＝2 3．若不同四點A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)在同一圓上，則實數(shù)a的值為________． 解析：設經過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，由題意可得 解得 ∴A，B，C三點確定的圓的方程為x2＋y2－4x－y－5＝0. ∵D(a,3)也在此圓上，∴a2＋9－4a－25－5＝0. ∴a＝7或a＝－3(舍去)． 答案：7 4．已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1

7、關于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為________． 解析：圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圓心為(－1,1)． 圓C2的圓心設為(a，b)，∵圓C1與圓C2關于直線x－y－1＝0對稱， ∴解得又圓C2的半徑為1， ∴圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝1 5．(2012·南京質檢)已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內的一點那么過點M的最短弦所在直線的方程是________． 解析：過點M的最短的弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直線的方

8、程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案：x＋y－1＝0 6．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的差是________． 解析：所給圓的圓心坐標為(2,2)，半徑r＝3， 圓心到直線x＋y－14＝0的距離d＝＝5. ∴所求的最大距離與最小距離的差(d＋r)－(d－r)＝2r＝6. 答案：6 7．點P(0,2)到圓C：(x＋1)2＋y2＝1的圓心的距離為________，如果A是圓C上一個動點，＝3，那么點B的軌跡方程為________． 解析：P(0,2)到圓C：(x＋1)2＋y2＝1的圓心的距離d＝，設B(x，y)，

9、A(x0，y0)， ∴＝(x－x0，y－y0)，＝(－x0,2－y0)． ∵＝3，∴∴ ∴2＋2＝1， 即(x－2)2＋(y－6)2＝4. 答案：　(x－2)2＋(y－6)2＝4 8．若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同點到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的傾斜角的取值范圍是________． 解析：圓方程即(x－2)2＋(y－2)2＝18，它的圓心為(2,2)，半徑r＝3. 由條件得圓心到直線l的距離d＝≤3－2， 得 2－≤－≤2＋. ∵tan＝2－，tan＝2＋， ∴直線l傾斜角的取值范圍是. 答案： 二、解答題 9．已知方程x2＋y

10、2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的圖形是圓． (1)求t的取值范圍； (2)求其中面積最大的圓的半徑； (3)若點P(3,4t2)恒在所給圓內，求t的取值范圍． 解：(1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， ∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0， ∴－＜t＜1. 故t的取值范圍是. (2)∵r＝＝ ， ∴當t＝∈時，rmax＝. (3)當且僅當32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0時，點P在圓內， ∴8t2－6t＜0，即0＜t＜. 故t的取值范

11、圍是. 10．設平面直角坐標系xOy中，設二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C. (1)求實數(shù)b的取值范圍； (2)求圓C的方程； (3)問圓C是否經過某定點(其坐標與b無關)？請證明你的結論． 解：(1)令x＝0，得拋物線與y軸的交點是(0，b)， 令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ＞0， 解得b＜1且b≠0.故b的取值范圍為(－∞，0)∪(0,1)． (2)設所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b，

12、 令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一個根為b，代入E＝－b－1， 所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)圓C必過定點(0,1)，(－2,1)． 證明如下：將(0,1)代入圓C的方程，得左邊＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右邊＝0，所以圓C必過定點(0,1)；同理可證圓C必過定點(－2,1)． [B級　能力提升] 一、填空題 1．已知在函數(shù)f(x)＝sin圖象上，相鄰的一個最大值點與一個最小值點恰好在x2＋y2＝R2上，則f(x)的最小正周期為________． 解析：∵x2＋y2＝R2，∴x∈[－R，R]． ∵函數(shù)f(x)的最小

13、正周期為2R， ∴最大值點為，相鄰的最小值點為，代入圓方程，得R＝2，∴T＝4. 答案：4 2．如果點P在平面區(qū)域 上，點Q在曲線x2＋(y＋2)2＝1，那么|PQ|的最小值為________． 解析： 由圖可知不等式組確定的區(qū)域為陰影部分包括邊界，點P到Q的距離最小為到(0，－2)的最小值減去圓的半徑1，由圖可知|PQ|min＝－1＝－1. 答案：－1 3．已知AC，BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條互相垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD的面積的最大值為________． 解析： 如圖，取AC中點F，BD中點E， 則OE⊥BD，OF⊥AC，又AC⊥BD，

14、設|OF|＝d1，|OE|＝d2， ∴四邊形OEMF為矩形， ∴d＋d＝OM2＝3. 又|AC|＝2， |BD|＝2， ∴S四邊形ABCD＝|AC||BD|＝2·＝2 ＝2　 又0≤d≤3，∴當d＝時，S四邊形ABCD有最大值5 答案：5 4．點P是圓x2＋y2－8x－2y＋13＝0上的動點，O是坐標原點，則線段OP的中點Q的軌跡方程是________． 解析：圓的方程可化為(x－4)2＋(y－1)2＝4， 設P(x0，y0)，Q(x，y)，則x＝，y＝，∴x0＝2x，y0＝2y. ∵(x0，y0)是圓上的動點，∴(x0－4)2＋(y0－1)2＝4， ∴(2x－4)2

15、＋(2y－1)2＝4，即(x－2)2＋2＝1. 答案：(x－2)2＋2＝1 二、解答題 5. (2011·高考陜西卷)如圖，設P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的正投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|. (1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程； (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度． 解：(1)設M的坐標為(x，y)，P的坐標為(x0，y0)， 由已知得，又點P在圓上，∴x2＋2＝25. 即軌跡C的方程為＋＝1. (2)經過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 由得x2－3x－8＝0， 解之得x1＝，x2＝.

16、 ∴線段AB長度為|AB|＝＝＝. 6．已知橢圓E：＋＝1的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點． (1)求圓C的方程； (2)若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長； (3)在平面上是否存在一點P，使得＝？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)由橢圓E：＋＝1， 得l：x＝－4，C(－4,0)，F(xiàn)(－2,0)． 又圓C過原點，所以圓C的方程為(x＋4)2＋y2＝16. (2)由題意，得G(－3，yG)，代入(x＋4)2＋y2＝16，得yG＝±，所以FG的斜率為k＝±，F(xiàn)G的方程為y＝±(x＋2)， 所以C(－4,0)到FG的距離為d＝，直線FG被圓C截得弦長為2＝7. 故直線FG被圓C截得的弦長為7. (3)設P(s，t)，G(x0，y0)，則由＝， 得＝， 整理得3(x＋y)＋(16＋2s)x0＋2ty0＋16－s2－t2＝0，① 又G(x0，y0)在圓C：(x＋4)2＋y2＝16上，所以x＋y＋8x0＝0，② ②代入①得(2s－8)x0＋2ty0＋16－s2－t2＝0. 又由G(x0，y0)為圓C上任意一點可知 解得 所以在平面上存在一點P，其坐標為(4,0)．