數(shù)值計算方法-第3章曲線擬合的最小二乘法

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1、第3章 曲線擬合的最小二乘法,給出一組離散點，確定一個函數(shù)逼近原函數(shù)，插值是這樣的一種手段。在實際中，數(shù)據(jù)不可避免的會有誤差，插值函數(shù)會將這些誤差也包括在內。,因此，我們需要一種新的逼近原函數(shù)的手段： 不要求過所有的點（可以消除誤差影響）； 盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢，靠近這些點。,有時候，問題本身不要求構造的函數(shù)過所有的點。如：5個風景點，要修一條公路S使得S為直線，且到所有風景點的距離和最小。,先講些預備知識,對如上2類問題，有一個共同的數(shù)學提法：找函數(shù)空間上的函數(shù)g，使得g到f的距離最小。,定義1：向量范數(shù),映射：,滿足：,非負性,齊次性,三角不等式,稱該映射為向量的一種范數(shù),預備知識,我們定

2、義兩點的距離為：,常見的范數(shù)有：,定義3：函數(shù)f的離散范數(shù)為,提示：該種內積，范數(shù)的定義與向量的2范數(shù)一致,我們還可以定義函數(shù)的離散范數(shù)為：,f(x)為定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)， 為區(qū)間上n+1個互不相同 的點， 為給定的某一函數(shù)類。求 上的函數(shù)g(x)滿足 f(x)和g(x)的距離最小,如果這種距離取為2范數(shù)的話，稱為最小二乘問題,曲線擬合的最小二乘問題,定義,下面我們來看看最小二乘問題：,求 使得 最小,設,最小,則,即,關于系數(shù),由于它關于系數(shù),最小，因此有：,即,寫成矩陣形式有：,法方程,,第一步：函數(shù)空間的基,，然后列出法方程,,第一步：函數(shù)空間的基,，然后列出法方程,例：,也就是最小二乘問題。,我們有：,矛盾方程組恒有解，且,矛盾方程組的求解,