數(shù)值計(jì)算方法-第3章曲線擬合的最小二乘法

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1、第3章 曲線擬合的最小二乘法,給出一組離散點(diǎn)，確定一個(gè)函數(shù)逼近原函數(shù)，插值是這樣的一種手段。在實(shí)際中，數(shù)據(jù)不可避免的會(huì)有誤差，插值函數(shù)會(huì)將這些誤差也包括在內(nèi)。,因此，我們需要一種新的逼近原函數(shù)的手段： 不要求過所有的點(diǎn)（可以消除誤差影響）； 盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)，靠近這些點(diǎn)。,有時(shí)候，問題本身不要求構(gòu)造的函數(shù)過所有的點(diǎn)。如：5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，要修一條公路S使得S為直線，且到所有風(fēng)景點(diǎn)的距離和最小。,先講些預(yù)備知識(shí),對(duì)如上2類問題，有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)提法：找函數(shù)空間上的函數(shù)g，使得g到f的距離最小。,定義1：向量范數(shù),映射：,滿足：,非負(fù)性,齊次性,三角不等式,稱該映射為向量的一種范數(shù),預(yù)備知識(shí),我們定

2、義兩點(diǎn)的距離為：,常見的范數(shù)有：,定義3：函數(shù)f的離散范數(shù)為,提示：該種內(nèi)積，范數(shù)的定義與向量的2范數(shù)一致,我們還可以定義函數(shù)的離散范數(shù)為：,f(x)為定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)， 為區(qū)間上n+1個(gè)互不相同 的點(diǎn)， 為給定的某一函數(shù)類。求 上的函數(shù)g(x)滿足 f(x)和g(x)的距離最小,如果這種距離取為2范數(shù)的話，稱為最小二乘問題,曲線擬合的最小二乘問題,定義,下面我們來看看最小二乘問題：,求 使得 最小,設(shè),最小,則,即,關(guān)于系數(shù),由于它關(guān)于系數(shù),最小，因此有：,即,寫成矩陣形式有：,法方程,,第一步：函數(shù)空間的基,，然后列出法方程,,第一步：函數(shù)空間的基,，然后列出法方程,例：,也就是最小二乘問題。,我們有：,矛盾方程組恒有解，且,矛盾方程組的求解,