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1、第一章 推理與證明 4 4 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法舉例說明舉例說明：一個數(shù)列的通項公式是：一個數(shù)列的通項公式是：an=(n25n+5)2請算出請算出a1=，a2=，a3=，a4=猜測猜測an?由于由于a525 1，所以猜測是不正確的，所以猜測是不正確的所以由歸納法得到的結論所以由歸納法得到的結論不一定可靠不一定可靠 1111猜測是否正確呢？猜測是否正確呢？1)55(22nnaNnn，都有對一切課題引入課題引入不完全歸不完全歸納法納法,1,1,11nnnnaaaaa 已已知知觀觀察察數(shù)數(shù)列列,212 a,313 a,414 anan1:猜想歸納通項公式猜想歸納通項公式 如 何 通 過有限個步驟的推
2、理，證明n取所有正整數(shù)都成立？思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？下的條件是什么？多米諾骨牌（多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨）是一種用木制、骨制或制或塑料塑料制成的長方形制成的長方形骨牌骨牌。玩時將骨牌。玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產生連鎖反應，依次牌，其余的骨牌就會產生連鎖反應，依次倒下。倒下。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成。骨牌需要一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌
3、組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。先從多米諾骨牌游戲說起先從多米諾骨牌游戲說起 只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下：牌就能全部倒下：（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下。一定導致后一塊倒下。（依據）（依據）條件（條件（2）事實上給出了一個遞推關系：當）事實上給出了一個遞推關系：當?shù)诘趉塊倒下時，相鄰的第塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。
4、塊也倒下。思考思考：你認為證明數(shù)列的通項公式：你認為證明數(shù)列的通項公式 是是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？nan1（1）第一塊骨牌倒下）第一塊骨牌倒下；（基礎）多米諾骨牌游戲的原理多米諾骨牌游戲的原理 這個猜想的證明方法這個猜想的證明方法1nan（1）第一塊骨牌倒下。）第一塊骨牌倒下。（2）若第）若第k塊倒下時，塊倒下時，則相鄰的第則相鄰的第k+1塊也倒下。塊也倒下。根據（根據（1）和）和 （2），），可知不論有多少塊骨牌，可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。
5、（1）當）當n=1時猜想成立。時猜想成立。（2）若當）若當n=k時猜想成立，時猜想成立，即即 ，則當，則當n=k+1時猜想時猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根據（根據（1）和（）和（2），可），可知對任意的正整數(shù)知對任意的正整數(shù)n，猜，猜想想 都成立。都成立。nn1n+1naa,a=1,a=(n),1+a*N已知數(shù)列已知數(shù)列數(shù)學歸納法的概念：數(shù)學歸納法的概念：定義：對于某些與正整數(shù)定義：對于某些與正整數(shù)n有關的命題常有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：常采用下面的方法來證明它的正確性：1.先證明當先證明當n取第一個值取第一個值n0(n0 N*)時命題成立時命題成立(歸
6、納奠基歸納奠基）；2.然后假設當然后假設當n=k(k N*，kn0)時命題成立，時命題成立，證明當證明當n=k+1時命題也成立時命題也成立(歸納遞推歸納遞推）。）。這種證明方法就叫做這種證明方法就叫做_。數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法驗證驗證n=n0時時命題成立命題成立若若n=k(kn0)時命題成立時命題成立,證明證明n=k+1時命題也成立時命題也成立.歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推命題對從命題對從n0開始所有開始所有的正整數(shù)的正整數(shù)n都成立都成立例例1 1、用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明：1+3+5+1+3+5+(2n-1)n2(2)假設假設nk時，等式成立，即時，等式成立，即(1)n1時，左邊
7、時，左邊=1，右邊，右邊=1，等式成立；，等式成立；1+3+5+1+3+5+(2k-1)k2那么當那么當nk+1時，時，由、由、可知對任何可知對任何nN*時，等式都成立時，等式都成立需要證明的式子是需要證明的式子是?2)1()12()12(5311 kkkkn：時，需要證明的式子是時，需要證明的式子是當當1+3+5+1+3+5+(2k-1)+（2k+1）k2+（2k+1）（）（k+1）2這就是說，當這就是說，當n n=k k+1+1時，等式也成立時，等式也成立同樣的方法，我們可以用數(shù)學歸納法證明首項為同樣的方法，我們可以用數(shù)學歸納法證明首項為a1，公差為公差為d的等差數(shù)列的前的等差數(shù)列的前n項
8、和公式項和公式.具體詳解請同學具體詳解請同學們看本節(jié)教材例們看本節(jié)教材例1.數(shù)學建構數(shù)學建構 類比多米諾骨牌游戲證明類比多米諾骨牌游戲證明情境情境1中的猜想中的猜想 的步驟為：的步驟為：(1)證明當證明當n=1時猜想成立時猜想成立(2)證明若當證明若當n=k時命題成立，則時命題成立，則n=k+1時命時命題也成立題也成立.22222(1)(21)1234.6nnnn 完成了這兩個步驟以后就可以證明完成了這兩個步驟以后就可以證明上述猜上述猜想想對于所有的正整數(shù)對于所有的正整數(shù)n都是成立的。都是成立的。相當于第一張牌能倒下相當于第一張牌能倒下相當于使所有骨牌倒下的第相當于使所有骨牌倒下的第2個條件個
9、條件222222(1)(1)12(1)11234(1)6kkkkk目標：證明證明 當當n=1n=1時，左邊時，左邊1 1 右邊右邊,等式顯然成立。等式顯然成立。例例2 2 證明：證明：遞推基礎遞推基礎遞推依據遞推依據22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1)(21)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkkk假設當假設當n=kn=k時等式成立，即時等式成立，即那么那么,當當n=k+1n=k+1時，有時，有這就是說，當這就是說，當n=k+1n=k+1時時,等式也成立。等式也成立。根據和，可知對任何根據
10、和，可知對任何n n N N*等式都成立。等式都成立。證明證明：（1）當當n=1時時，,1a 左邊左邊,011ada 右邊右邊等式是成立的等式是成立的（2）假設當假設當n=k時等式成立，就是時等式成立，就是,)1(1dkaak 那么那么daakk 1ddka )1(1這就是說，當這就是說，當n=k+1時，等式也成立時，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式對任何），可知等式對任何 都成立都成立Nndka1)1(1 如果如果 是等差數(shù)列，已知首項為是等差數(shù)列，已知首項為 公差為公差為 ，那么，那么dnaan)1(1 na1ad對一切對一切 都成立都成立 Nn練習練習1 1試用數(shù)學歸納法證
11、明試用數(shù)學歸納法證明都成立。何對任時等式都成立，即等式，知道推下去，就時等式也成立，這樣遞），時等式成立，再根據（也成立。由于時等式），時等式成立，再根據（），：根據（上述結論是容易理解的Nnnnnnn 6 5 431222211211 點評：點評：利用數(shù)學歸納法證明和正整數(shù)相關的命題時，要注意三句話：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。證明證明 當當n=1n=1時，左邊時，左邊1 1 右邊右邊,等式顯然成立。等式顯然成立。練習練習2.2.（1 1）用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明：*11234(1)().2nn nnN 11 23(
12、1)2kk k 123(1)1(1)(1)21(1)(1)12kkk kkkk假設當假設當n=kn=k時等式成立，即時等式成立，即那么那么,當當n=k+1n=k+1時，有時，有這就是說，當這就是說，當n=k+1n=k+1時時,等式也成立。等式也成立。根據和，可知對任何根據和，可知對任何n n N N*等式都成立。等式都成立。證明證明 當當n=1n=1時，左邊時，左邊1 1 右邊右邊,等式顯然成立。等式顯然成立。練習練習2.2.（2 2）用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明：21122221.nn211 22221kk2111 222221 221kkkkk 假設當假設當n=kn=k時等式成立，即
13、時等式成立，即那么那么,當當n=k+1n=k+1時，有時，有這就是說，當這就是說，當n=k+1n=k+1時時,等式也成立。等式也成立。根據和，可知對任何根據和，可知對任何n n N N*等式都成立。等式都成立。2.數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的步驟是：數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的步驟是：（1）證明當證明當 取第一個值取第一個值 （如（如 或或2等）時命題成立等）時命題成立 10 nn0n遞推基遞推基礎礎 （2）假設假設 時時命題成立命題成立 證明證明 時命題也成立時命題也成立)N(0nkkkn 且且1 kn遞推依據遞推依據 在完成了這兩步驟以后，就可以斷定命題對于從在
14、完成了這兩步驟以后，就可以斷定命題對于從n0 開始開始 的的所有正整數(shù)所有正整數(shù)n都成立都成立1.數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法適用范圍適用范圍:僅限于與正整數(shù)有關的數(shù)學命題僅限于與正整數(shù)有關的數(shù)學命題3.數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法優(yōu)點優(yōu)點：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結論又克服了不完全歸納法結論不可靠不可靠的不足，是一種科學方法，的不足，是一種科學方法，使我們認識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮使我們認識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮。課堂小結課堂小結另外一定要注意：用數(shù)學歸納法另外一定要注意：用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是第一步是遞推的遞推的基礎基礎，第二步，第二步是是遞推的遞推的依依據據。缺了第一步遞。缺了第一步遞推失去基礎；缺了第二步，遞推推失去基礎；缺了第二步，遞推失去依據，因此無法遞推下去。失去依據，因此無法遞推下去。
高中數(shù)學第一章 §4 數(shù)學歸納法課件
