第二講函數(shù)的連續(xù)性中值定理 積分

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1、第二講 函數(shù)的連續(xù)性 中值定理 積分一連續(xù)性定理：設(shè)在上Riemann可積，則，使在處連續(xù)。證明：作分劃。因在上Riemann可積，取，存在，使（其中，以下類似定義。） 所以 ，因此至少有三個，使。取使。作區(qū)間，則在上Riemann可積。取，存在，使于是，因此至少有三個，使。取使。如此繼續(xù)可以得到一個閉區(qū)間套使得（1）；（2）在上的上下確界滿足。由閉區(qū)間套定理知。下證在處連續(xù)。事實上，有。而由上述構(gòu)造過程知，有，此時故在處連續(xù)。例1若可積，則在連續(xù)點處恒等于0。證明：必要性：若在連續(xù)，但，則有，于是，矛盾。充分性：（取連續(xù)點）。例2求連續(xù)函數(shù)，使得且。（答案：。）例3問取什么值時函數(shù)（1）處處

2、連續(xù)；（2）處處可導；（3）導函數(shù)連續(xù)？（答案：（1）；（2）；（3）。）例4設(shè)在上有定義，在處可導，且滿足（1）；（2），則。分析：+，其中。二中值定理例1設(shè)在上可導，且。證明：對任意正數(shù)，必存在內(nèi)的兩個不同的數(shù)與，使。（浙江2003年賽題）證明：設(shè)01，令C0=，則0 C01。因且在0, 1上連續(xù)，由介值性定理存在，使得= C0?，F(xiàn)在在0,c上利用拉格朗日中值定理，存在，有。同理在c,1上利用拉格朗日中值定理存在，有。于是 。命題得證。三積分例1已知在0，1上連續(xù)，。求證：0，1使得。證明：假設(shè)命題不成立，即有，由已知易得。（1）當時，與在0，1上連續(xù)，矛盾。（2）當不恒等于4時，即有這樣

3、的點使，那么=，矛盾。所以命題成立，即0，1使得。例2 求滿足下列性質(zhì)的曲線C：設(shè)為曲線上任一點，則由曲線所圍成區(qū)域的面積A與曲線和C所圍成區(qū)域的面積B相等。（浙江2003年賽題）例3 證明：。（浙江2002年賽題）分析：令。例4 證明：。（浙江2002年賽題）分析：令，再利用積分第二中值定理。例5。（浙江2003年賽題）分析：令。例6計算分析：令。補充的例題見數(shù)學分析中的典型問題與方法一書。課外練習題：1 設(shè)連續(xù)，且當時，求。（浙江2002年賽題）2 求積分。（浙江2002年賽題）3 設(shè)在上連續(xù)，且， ，證明：存在，使。4設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且，證明存在，使得：. 5已知當時，有，證明：。6設(shè)非負函數(shù)在上連續(xù)，且單調(diào)上升，與直線及圍成圖形的面積為，與直線及圍成圖形的面積為. 證明：存在唯一的,使得. 取何值時兩部分面積之和取最小值？ 7計算8設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)，求，并討論的連續(xù)性。5