中英文文獻翻譯-載荷擺動引起的塔式起重機的動力響應
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載荷擺動引起的塔式起重機的動力響應
作者：F. Ju a, Y.S. Choo a,*, F.S. Cui b
起止頁碼：557–574
出版日期（期刊號）：International Journal of Solids and Structures, 2005,43(2); doi:10.1016/j.ijsolstr.2005.03.078
文章來源：國際固體與結構雜志
摘要:
本文研究了塔吊的動力響應與載荷擺動運動的關系。應用一個簡單的擾動方案和小擺角的假設來簡化控制方程。采用有限元法對塔式起重機進行建模，擺動運動采用剛體動力學方法?；诎x散函數(shù)的拉格朗日方程，推導出耦合動力學問題的積分控制方程。利用所提出的公式和計算方法，對具有球面和平面擺動運動的變幅起重機模型進行了動力學分析。研究發(fā)現(xiàn)，塔式起重機的動力響應主要受起重機結構的低階固有頻率和載荷的擺動運動控制。動態(tài)放大系數(shù)一般隨初始擺角的增大而增大，其對平面擺動運動的影響略呈非線性。
關鍵詞: 塔式起重機;有限元;擺;結構動力學
1. 介紹
在高層建筑施工中，塔式起重機被用來提升和移動沉重的有效載荷。在內(nèi)部或外部力的作用下，負載總是有在它垂直位置振蕩的趨勢，導致起重機結構振動和有效載荷鐘擺運動的耦合動力學問題。這種鐘擺引起的振動可能會造成塔機系統(tǒng)的不穩(wěn)定或嚴重的破壞。在起重機設計和控制需要的驅使下，研究人員努力了解包括載荷在內(nèi)的起重機系統(tǒng)動力學的物理性質和工程意義。阿卜杜勒·拉赫曼等人對起重機動力學、建模和控制進行了綜述(2003)。
起重機的動力學和控制方面的研究大多是基于起重機結構的簡化模型。陳恩等人(2001)將臂架起重機建模為一個球面擺和一個具有兩個自由度的剛性系統(tǒng)，并假設平臺的運動，但不受載荷擺動的影響。在特瑞凱(1998)、凱里瑟林等人(1999)和吉利亞扎和福爾摩斯(2002)的研究中，起重機結構也被認為是帶有或不帶獨立彈簧的剛體。達夫林那等人(2001)采用梁模型表示起重機柔性結構的方法研究了橋式起重機系統(tǒng)動力學。一般來說，當負載的鐘擺運動的動態(tài)作為主要關注點時，這些簡化的起重機結構模型是合理的。然而，當對起重機結構的應力和動力響應進行分析時，就需要對起重機結構進行詳細的建模。塔式起重機是由空間框架、電纜系統(tǒng)和集中質量組成的復雜結構體系，因此，有限元分析是一種合適的分析方法。弗朗加和埃爾南塞 (2002,2005a)研究了塔式起重機系統(tǒng)在有效載荷加減速作用下的自振和動力響應，并對起重機系統(tǒng)進行了詳細的有限元建模。在他們的研究中，載荷的運動被限制在垂直方向,沒有任何的擺動或鐘擺運動。
本研究的目的是推導出完整的有限元公式來分析塔式起重機與負載的鐘擺運動的動力學。
2. 理論和公式
圖1 載荷擺動時塔機結構變形示意圖
真正的塔式起重機是由底座、塔架、吊臂、平衡桿結構和機械系統(tǒng)組成的復雜空間結構。圖1所示為簡化的塔式起重機模型，以及載荷擺動引起的塔式起重機模型變形示意圖。如圖所示，有效載荷偏離垂線的角度記為θ，繞垂線旋轉的有效載荷角度記為φ。對于載荷的純平面擺運動，θ是時間的函數(shù)，而φ保持不變。對于載荷的純球擺運動，φ是時間的函數(shù)，θ是常數(shù)。對于載荷的復雜運動，φ和θ是時間相關的。
關鍵參數(shù)包括桅桿高度(Hm) ,臂長(LJ)和鐘擺長度(Lp)也顯示在圖1中。為了便于動力分析，參考系統(tǒng)的原點設在塔式起重機的基座中心。臂尖B點在載荷擺與臂結構相連的三個方向上的彈性位移分別記為uB， vB ，wB。
2.1 動能，勢能和耗散函數(shù)
圖1所示的有效載荷P的位置向量可以表示為：
rP=(LJ+uB+LPsinθcosφ)?I+vB+LPsinθsinφ?j+(HM+wB- LPcosθ)?k (1)
其中i、j和k分別是沿著x-軸、y-軸和z-軸的單位向量?？梢钥闯?，通過加入頂部位移(uB， vB ，wB )，載荷位置方程中包含了起重機結構彈性變形的影響。
載荷P的速度矢量可由rP 可通過時間導數(shù)得到：
vp=uB+LPcosθcosφ?θ-LPsinθsinφ?φ?l+vB+LPcosθsinφ? θ+LPsinθcosφ?φ?j+(wB+LPsinθ?θ)?k (2)
這里忽略了擺絲的柔度，因此rP為常數(shù)。
載荷的動能和勢能可以被導出為：
TP=1/2mPVP ?VP=1/2mP{uB2+vB2+wB2+LP2θ2+LP2sin2θφ2+2LPcosθcosφuBθ-2LPsinθsinφuBφ+2LP*cosθsinφvBθ+ 2LPsinθcosφvBφ+2LPsinθwBθ} (3a)
和
uP=mPg(Hm-LPcosθ+wB) (3b)
其中mp和g分別為載荷的質量和重力加速度。
基于有限元離散化，塔吊結構的動能和勢能分別可以表示為：
TC=12ΔTMΔ=12ΔruBvBwBTMrrMruMrvMrwMuvmuumuvmuwMvrmvumvvmvwMwrmwumwvmwwΔruBvBwB (4a)
和
Uc=12ΔTKΔ=12ΔruBvBwBTKrrKruKrvKrwKuvKuuKuvKuwKvrKvuKvvKvwKwrKwuKwvKwwΔruBvBwB (4b)
其中[M]和[K]為塔式起重機結構的整體質量和剛度矩陣;Δ和Δ是整個系統(tǒng)的位移矢量和速度矢量;(uB， vB ，wB)和(uB, vB ,wB),為臂尖點B的節(jié)點位移和速度，Δr和Δr為起重機結構其余自由度的位移和速度矢量。
同理，瑞利耗散函數(shù)可以表示為：
FC=12ΔTCΔ=12ΔruBvBwBTCrrCruCrvCrwCuvCuuCuvCuwCvrCvuCvvCvwCwrCwuCwvCwwΔruBvBwB (4c)
其中[C]為阻尼矩陣。顯然：
Δ=ΔrTuBvBwBT;Δ=ΔrTuBvBwBT;Δ=ΔrTuBvBwBT (4d)
起重機系統(tǒng)包括起重機結構和載荷擺的總動能、勢能和耗散函數(shù)可以表示為：
T=Tc+TP;U=Uc+UP;
F=Fc (5)
其中 Tp, Up, Tc ,Uc和Fc由方程式(3a,b)和(4a,b,c),分別給出。
2.2 控制方程的整體有限元公式
L=T-U=12ΔruBvBwBTMrrMruMrvMrwMuvmuumuvmuwMvrmvumvvmvwMwrmwumwvmwwΔruBvBwB +12mP{uB2+vB2+wB2+LP2θ2+LP2sin2θφ2+2LPcosθcosφuBθ-2LPsinθsinφuBφ+2LPcosθsinφvBθ+2LPsinθcosφvBφ+2LPsinθwBθ
-12ΔruBvBwBTKrrKruKrvKrwKuvKuuKuvKuwKvrKvuKvvKvwKwrKwuKwvKwwΔruBvBwB-mPg(Hm-LPcosθ+wB) (6)
包含耗散函數(shù)的拉格朗日方程為：
??t?L?qr-?L?qr+?F?qr=0 (7)
其中qr和qr是系統(tǒng)的一般坐標和一般速度。對于目前的問題，Δr ，uB， vB ，wB，θ，φ為一般坐標，Δr， uB， vB ，wB， θ和φ是相應的一般速度。
代入方程式。(4c)和(6)帶入式(7)給出：
M+00000mP0000mP0000mPΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB=
mPLP-cosθcosφθ+sinθcosφθ2+2cosθsinφθφ+sinθsinφφ+sinθcosφφ2mPLP-cosθsinφθ+sinθsinφθ2-2cosθcosφθφ-sinθcosφφ+sinθsinφφ2-mPLPsinθθ+cosθθ2-mPg
(8a)
LPθ-LPsinθcosθφ2+cosθcosφuB+cosθsinφvB+sinθwB+gsinθ=0
(8a)
LPsinθφ+2LPcosθθφ-sinφuB+cosφvB=0 (8c)
方程式(8a)—(8c)是塔式起重機結構動力學與載荷擺運動的綜合有限元公式。
2.3 小擺角的簡化：
對于小的角位移，sinθ可以被θ代替，cosθ可以被1代替(納爾遜和奧爾森, 1986)，以及公式(8a)—(8c)則化簡為：
M+00000mP0000mP0000mPΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB
=mPLP-cosφθ+θcosφθ2+2sinφθφ+θsinφφ+θcosφφ2mPLP-sinφθ+θsinφθ2-2cosφθφ-θcosφφ+θsinφφ2-mPLPθθ+θ2-mPg
(9a)
LPθ-LPθφ2+cosφuB+sinφvB+θwB+gθ=0 (9b)
LPθφ+2LPθφ-sinφuB+cosφvB=0 (9c)
由此可見，如果假設擺角較小，則簡化的微分方程如公式(9a)—(9c)，對于與鐘擺運動耦合的結構動力學仍然是非線性的。
2.4 具有剛性結構假設的特殊情況
假設起重機結構為剛性結構，則公式(8a)—(8c)退化為以下非線性微分方程：
LPθ-LPθφ2+ gθ=0 (10a)
LPθφ+2LPθφ=0 (10b)
方程式(10a)和(10b)也可以直接由牛頓第二運動定律得到
此外，如果載荷的運動限于φ=φ0、φ=φ=0和θt=0=θ0的垂直面，則式(10a)可簡化為：
LPθ+gθ=0 (11a)
方程 (11a)是眾所周知的線性平面擺方程(納爾遜和奧爾森, 1986)，其解為：
θ=θ0cosω0t (11b)
w0是擺的固有頻率得到：
ω0= g∕LP (11c)
同樣，如果假設載荷是球形運動(吉利亞扎和福爾摩斯,）;當θ=θ0, θ=θ=0, φt=0=φ0時，有效載荷球擺運動的控制方程為：
-LPφ2+g=0(with φ=0) (12a)
式(12a)的解為：
φ=ω0t+φ0 (12b)
式(11c)中給出w0。可以看出，在剛性結構假設下，載荷的球面擺是勻速旋轉，角速度等于相應的線性平面擺的固有頻率。
3. 數(shù)值計算近似
求解結構動力學和鐘擺運動的耦合方程可能涉及復雜的分岔和混沌非線性動力學現(xiàn)象(陳恩 等人，2001;施瓦茨等人，1999年; 黛西, 2002)。本文考慮了前一節(jié)所討論的載荷運動的兩種特殊情況，即球面擺和平面擺，來研究塔式起重機的耦合結構動力學。
3.1 具有球形擺的柔性起重機結構
式(12b)給出了基于剛性結構假設的載荷球面擺的求解方法，該方法不適用于柔性起重機結構。在起重機結構的彈性變形相對于載荷擺運動較小的前提下，本文假設具有柔性結構的球形擺的近似解為這種形式：
φ=w0t+φ0+εφt (13a)
其中εφt為小干擾項。可以看出，在等式 (12b)中增加了一項εφt，得到等式 (13a)。采用εφt來考慮結構的靈活性。
角速度和加速度，由式(13a)導出：
φ=ω0+εφt
φ=εφt (13b)
在這里,像εφt ，εφt ，εφt也認為是小擾動條件。
代入方程式(13a)和(13b)轉換為公式 (9a)–(9c)：
M+00000mP0000mP0000mPΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB
=mPuB+θ0cosω0t+φ0wB+mPθ0gcosω0t+φ0mPνB+θ0sinω0t+φ0wB+mPθ0gsinω0t+φ0-mPg (14a)
2ω0θ0εφ=θ0wB+cosw0t+φ0uB+sinw0t+φ0vB (14b) LPθ0εφ=sinw0t+φ0uB-cosw0t+φ0vB (14c)
這兒所有的εφt ，εφt ，εφt下降。
公式(14a)可進一步簡化為：
MΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB=mPwB+gθ00cosω0t+φ0sinw0t+φ0-1 (14d)
有趣的是，塔吊動態(tài)響應的控制方程與載荷的球擺運動方程是解耦的。達夫林等人(2001)也報道了這種現(xiàn)象。式(14d)的右邊表明，當載荷經(jīng)歷球擺運動時，無論擺長多少，吊車結構的動力響應與擺角的幅值成正比。
3.2 具有平面擺的柔性起重機結構
同樣，基于等式（11b），具有撓性結構的平面擺的解假定為以下形式：
θ=θ0cosw0t+εθt (15a)
其中εφt是一個小擾動項。 角速度和加速度為：
θ=-ω0θ0sinω0t+εθt
θ=-ω02θ0cosω0t+εθt (15b)
這里εφt和εφt也是很小的擾動。
代入式 （15a）和（15b），（9a）–（9c）結果變成：
M+00000mP0000mP0000mPΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB=
mPcosφ0[-LPε0-2ω0θ02LPcosω0tsinω0tεθ+2gθ02sin2ω0tcosφ0ε0+gθ0cosω0t+gθ03sin2ω0tcosω0tmPsinφ0[-LPε0-2ω0θ02LPcosω0tsinω0tεθ+2gθ02sin2ω0tcosφ0ε0+gθ0cosω0t+gθ03sin2ω0tcosω0tmP[-θ0LPcosω0tεθ+2ω0θ0LPsinω0tεθ+gθ0cos2ω0tε0+2gθ02cos2ω0t]-mPg
(16a)
LPεθ+wB+gεθ=-θ0wBcosw0t-uBcosφ0-vBsinφ0 (16b)
0=uBsinφ0-vBcosφ0 (16c)
從等式中可以看出，(16a) (16c)塔式起重機的動力響應與載荷的平面擺運動完全耦合。
等式 （16c）作為尖端加速度的約束，并且將uB=vB?cosφ0∕sinφ0（對于sinφ0≠0）或vB=uB?sinφ0∕cosφ0（cosφ0≠0）替換為等式（16b）施加的這種約束。
求解方程的計算方案。（16a）-（16c）基于Newmark方法和迭代方法，時間間隔為Δt的計算過程可以總結為：
步驟1.給定Δt，Δt和Δt，從等式（16a）中獲得Δt+Δt，Δt+Δt和Δt+Δt。（16a）忽略εθ，εθ和εθ；
步驟2.將uBt+Δt，VBt+Δt和wBt+Δt代入方程式（16b），得到εθt+Δt，εθt+Δt和εθt+Δt；
步驟3.將εθt+Δt，εθt+Δt和εθt+Δt代入公式（16a），得到新的Δt+Δt，Δt+Δt和Δt+Δt；
步驟4.檢查uBt+Δt，VBt+Δt和wBt+Δt的收斂性，如果不滿足收斂條件，則回步驟2。
4. 數(shù)值結果與討論
本研究使用Potain變幅塔式起重機的真實模型進行數(shù)值分析，其中起重機的總高度為68.3米。用于起重機結構建模的有限元類型主要是空間框架和桁架單元。配重，設備和有效載荷用塊狀質量建模，變幅和起重電纜用弗朗加和埃爾南塞（2005b）提出的電纜滑輪單元建模。
4.1塔式起重機結構的自然模式和頻率
為了研究擺參數(shù)對塔式起重機耦合振動的影響，首先分析了沒有有效載荷的塔式起重機結構的固有振動。圖2給出了塔式起重機的前四個自然模式和頻率?？梢钥闯?，第一模式是由懸臂結構的變形決定的，而第二和第三模式則是整個起重機結構的復雜彎曲模式。在第四模式中發(fā)現(xiàn)臂架結構的扭曲，以及桅桿和臂架的彎曲。弗朗加和埃爾南塞（2002）的研究中可以找到有關起重機結構自然振動的詳細討論。
圖2 塔式起重機塔身有支撐時塔機結構的前四階模態(tài)
4.2 塔式起重機在有效載荷的球擺運動下的動態(tài)響應
圖3顯示了塔式起重機的變形形狀，其中有效載荷在初始擺角θ0為10.00的情況下正在經(jīng)歷球擺運動。擺錘的長度Lp為40 m，有效載荷的重量為2000kg。
圖3 起重機結構的變形形狀與載荷的球擺運動(θ0=10.00)
圖4a展示了尖端節(jié)點B的經(jīng)因子分解的動態(tài)響應，VBt∕wB0和wBt∕wB0。這里的VBt和wBt是節(jié)點B在y和z方向上位移的動態(tài)響應。 wB0是節(jié)點B在垂直方向上的靜態(tài)位移，凈荷沒有任何運動。使用VBt∕wB0代替VBt∕VB0的原因是，當僅垂直載荷作用于尖端節(jié)點時，wB0非常小。圖4b給出了圖4a所示的功率因數(shù)wBt∕wB0的頻譜。從圖中可以看出，在功率密度頻譜上主要存在三個峰值點，分別位于0.08 Hz，0.50 Hz和0.80 Hz。最后兩個頻率明顯對應于圖2中給出的第一和第二自然模式，而0.08 Hz是由w0=12πgLp≈0.079Hz給出的擺動固有頻率。因此，在這種情況下，這三個頻率決定了起重機結構的動態(tài)響應。
4.3 塔式起重機在有效載荷平面擺運動下的動態(tài)響應
還基于等式來計算針對有效載荷的平面擺運動的尖端節(jié)點B的經(jīng)因子分解的動態(tài)響應VBt∕wB0和wBt∕wB0基于公式（16a）-（16c）并如圖5a所示，而功率密度wBt∕wB0的頻譜如圖5b所示。
塔式起重機在有效載荷的平面擺運動下的動態(tài)響應要比在球形擺運動下的動態(tài)響應復雜。圖5b中的功率密度譜顯示了平面擺運動比球形擺運動更多的峰值。最后三個峰值頻率0.50 Hz，0.80 Hz和1.22 Hz對應于圖2中給出的塔式起重機的前三個固有頻率。第一個峰值頻率0.16 Hz，是擺動頻率w0的固有頻率的二次諧波，因為在等式(16a)的右邊有2w0t。
圖4 (a)尖端點B (wB)的位移響應與有效載荷的球擺運動(θ0=2.00)相結合
(b)尖端點B垂直響應的功率密度因子(wB)與有效載荷的球擺運動相結合。
圖6顯示了初始擺角θ0對尖端位移響應的動態(tài)放大因子的影響，該因子被定義為位移響應在靜態(tài)位移上的最大幅度。發(fā)現(xiàn)動態(tài)放大因子隨著初始擺角的增加而增加，并且變化是非線性的。很明顯，看到如圖5所示：
圖5 (a)尖端點B的位移響應與有效載荷的平面擺運動相耦合(θ0=2.00)， (b)尖端點B垂直響應的功率密度因子(wB)與有效載荷的平面擺運動相結合。
由于塔吊結構在橫向(y方向，如圖1所示)的最大響應vBmax要大于縱向wBmax，因為該方向的響應較弱。
5. 結論
圖6 載荷平面擺動時端點位移的動態(tài)放大系數(shù)
基于包括耗散函數(shù)的拉格朗日方程，推導了塔式起重機動態(tài)響應的控制方程式，以及有效載荷的擺運動。塔式起重機是基于有限元方法建模的，而擺運動則表示為多體系統(tǒng)。然后，通過假設擺角較小，可以簡化導出的方程，從而得到一組具有非線性激勵載荷的耦合微分方程。這些方程式本質上代表了結構動力學的耦合工程問題，而多體動力學很難解析或數(shù)值求解。
如果假設起重機結構是剛性的，則導出的控制方程將正確地退化為非線性微分方程，該方程恰好滿足球面和平面擺運動的牛頓運動定律。發(fā)現(xiàn)球形擺的自然周期等于相同長度的平面擺的自然周期。
基于純球形和平面擺的精確解，采用簡單的一階攝動方法進一步簡化了具有柔性結構的塔式起重機的動力學和有效載荷擺運動的控制方程。這種基于擾動的簡化給出了一組可解的耦合方程，然后可以使用迭代方案基于紐馬克方法對其進行計算。
然后，對一臺變幅塔式起重機進行了數(shù)值研究，該起重機具有有效載荷的球形和平面擺運動。發(fā)現(xiàn)塔式起重機的動態(tài)響應主要受起重機結構的前兩個固有頻率和球擺運動的擺的固有頻率的影響。對于有效載荷平面振動，動態(tài)響應主要取決于前三個自然模型和二次諧波振動。還發(fā)現(xiàn)，動態(tài)放大因子隨著初始擺角的增加而增加，并且對于有效載荷的平面擺運動而言，其變化僅是稍微非線性的。
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