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1、
12.1 分式(第 1 課時(shí))
〖教學(xué)目標(biāo)〗
(-)知識(shí)目標(biāo)
1.經(jīng)歷分式概念的抽象過程,體會(huì)分式的模型思想,進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感 .
2.了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念,了解分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系.
4.利用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行 “等值 ”變形.
(二)能力目標(biāo)
1.能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,經(jīng)歷對(duì)具體問題的探索過程,進(jìn)一步培養(yǎng)
符號(hào)感.
2.掌握分式有意義的條件,認(rèn)識(shí)事物間的聯(lián)系與制約關(guān)系.
(三)情感目標(biāo)
通過類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及分?jǐn)?shù)的約分, 推測(cè)出分式的基本性質(zhì)和約分, 在學(xué)生已有數(shù)
2、學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上, 提高學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣. 即通過豐富的現(xiàn)實(shí)情境, 使學(xué)生在已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,了解數(shù)學(xué)的價(jià)值,發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心.
〖教學(xué)重點(diǎn)〗
1.了解分式的形式 (A 、 B 是整式 ),并理解分式概念中的一個(gè)特點(diǎn):分母中含有字母;一個(gè)要求:字母的取值限制于使分母的值不得為零.
2.掌握分式基本性質(zhì)的內(nèi)容,并有意識(shí)地運(yùn)用它化簡(jiǎn)分式.
〖教學(xué)難點(diǎn)〗
1.分式的一個(gè)特點(diǎn):分母含有字母;一個(gè)要求:字母的取值限制于使分母的值不能為零.
2.分子分母進(jìn)行約分.
〖教學(xué)過程〗
這是一個(gè)在美國(guó)影響很大的算題:你見過這樣荒謬絕倫的約分
3、嗎?
凡學(xué)過分?jǐn)?shù)的學(xué)生都會(huì)被這種運(yùn)算笑掉大牙 . 笑罷之余,再猛地一想,怪事!這結(jié)果怎么反
而是正確的?當(dāng)然, 這是一種偶然的巧合, 但是這種偶然之下有沒有值得研究的地方?我們
的問題是: 你能否再找出其它的分?jǐn)?shù), 也具有這種奇特現(xiàn)象?稍加思索, 我們可以找到問題
的解法 .
我們知道,正分?jǐn)?shù)的分子和分母都是正整數(shù),而且一個(gè)個(gè)位數(shù)字是
y,十位數(shù)學(xué)是 x
的兩位正整數(shù)可以寫成
10x+ y 的形式 . 設(shè)這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子為 10a+b,分母為
10b+ c.我們
要做的事是求滿足關(guān)系式
10a
b
a 的分?jǐn)?shù) . 這實(shí)際
4、上是一個(gè)不定方程的問題
. 化簡(jiǎn)上式,
得 10a( c-b )= c( a-b ) .
10b
c
c
分別討論 a,b,c 從 1
到 9 的取值情況, 可以求出滿足此條件的分?jǐn)?shù),
有 16
,
26 ,19
,
49
.
64
65
95
98
這個(gè)奇妙的算題被列為美國(guó)
20
世紀(jì)“最佳”趣題之一 .
一、課前布置
自學(xué):閱讀課本
5、 P2~P3,試著做一做本節(jié)練習(xí),提出在自學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題(鼓勵(lì)提問)
.
第 1 頁(yè)
二、學(xué)情診斷
1.了解學(xué)生原有認(rèn)知機(jī)構(gòu),解答學(xué)生提出的問題 .
2.一起交流課本 P2 的“做一做”與“大家談?wù)劇?
三、師生互動(dòng)
(一)
[師]在自學(xué)時(shí), 我們知道有些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系所對(duì)應(yīng)的代數(shù)式, 不能用整式 .例如 (出示題目 ),你來(lái)列一列所需的代數(shù)式 .
(1) 一箱蘋果售價(jià) a 元,箱子與蘋果的總質(zhì)量為
m kg,箱子的質(zhì)量為
n kg,則每千克蘋果的
售價(jià)是 _________元 .
6、
(2) 某書店庫(kù)存一批圖書,其中一種圖書的原價(jià)是每?jī)?cè)
a 元,現(xiàn)降價(jià)
x 元銷售,當(dāng)這種圖書
的庫(kù)存全部售出時(shí),其銷售額為
b 元.降價(jià)銷售開始時(shí),文林書店這種圖書的庫(kù)存量是
__________.
a
b
[生] (1) m n 元; (2) a
x 冊(cè)
[師] 這樣的代數(shù)式同整式有很大的不同,
而且它是以分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)的,
它們是不同于整
式的一個(gè)很大的家族,我們把它們叫做分式
. 誰(shuí)能說說分式與整式有什么不同?
[生] :分式都是由分子、分母與分?jǐn)?shù)
7、線構(gòu)成;分母中都含有字母.
[生] 分式與整式的不同點(diǎn)就在于它們的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字
x , x 2 y
母.例如: 90 4 它們都含有分母,但分母中不含字母,所以它們是整式.
[師] 很好!閱讀課本分式的概念,再次感受一下課本中是如何描述分式的:
(一般地,我們把形如 A 代數(shù)式叫做分式,其中 A,B 都是整式,且 B 中含有字母, A
B
叫做分式的分子, B 叫做分式的分母.)
[師] 分式中,字母可以取任意數(shù)嗎?
[生] 不可以.因?yàn)榉质街蟹帜负凶帜?,而分母是除式,不能為零.字母的取值就受到制約,即字母的取值不
8、能使分母為零,否則,分式就會(huì)無(wú)意義.
(二)鼓勵(lì)學(xué)生講解教師提供的例題 . (例題的設(shè)置是分層的,安排不同基礎(chǔ)的學(xué)生嘗試講解,教師予以補(bǔ)充)
例 1
在代數(shù)式中 3x+ 1 、 5 、 6x 2 y 、
3
、 2
+ b 、 2ab 2c 2
、 x2
,分式的個(gè)
2
a
5 y
a
3
3
x
數(shù)有 (
)個(gè).
A 、4 個(gè)
B 、 3 個(gè)
C、 2 個(gè)
D、 1 個(gè)
分析 :分式的分母中含有字母 .
例 2 當(dāng) x 取什么值時(shí),下列分式有
9、意義?
2 x 1
x
( 1)
x 2
( 2) | x | 2
第 2 頁(yè)
分析: 記住分式的分母不能為零,有意義的條件是分母≠ 0.
解:( 1)由分母- x2=0 得: x= 0.
2x 1
所以當(dāng) x≠0時(shí),分式 x2 有意義.
( 2)故 |x|- 2≠0,得 |x| ≠2,即 x≠2.
2
例 2 當(dāng) x 取什么值時(shí), 分式 x 1 的值為零?
x 1
解: 由分子 x2-1= 0 得 x= 1
10、
而當(dāng) x=- 1 時(shí),分母 x+1=- 1+1= 0
此時(shí)分式無(wú)意義,所以當(dāng)
x2
1
x= 1 時(shí),分式
的值為零.
x
1
(三)
[師] 在小學(xué)學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí),我們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)
.自學(xué)時(shí),你是怎樣理解分式的基本性
質(zhì)的?
[生] 分式是一般化了的分?jǐn)?shù),類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),我們可推想出分式的基本性質(zhì):
分式的分子與分母同乘 (或除以 )同一個(gè)不為零的整式,分式的值不變.
[師] 在運(yùn)用此性質(zhì)時(shí),應(yīng)特別注意什么?
[生] 應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)分式的分子、分母都乘以 (或除以 )同一個(gè)不為零的整式中的
11、“都 ”“同一
個(gè) ”“不為零 ”.
[師] 我們利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可對(duì)一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行等值變形.同樣我們利用分式的基本性
質(zhì)也可以對(duì)分式進(jìn)行等值變形.(鼓勵(lì)學(xué)生講解教師提供的例題 . )
2.下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的?
(1) b = by (y≠ 0); (2) ax = a .
2x 2xy bx b
解:在 (1)中,因?yàn)?y≠0,利用分式的基本性質(zhì),在 b 的分子、分母中同乘以 y,即可得到
2x
右邊,
即 b = b y = by ;
2x 2x y 2xy
在 (2) 中, ax 可以分子、分母
12、同除以 x 得到,即 ax = ax x = a .
bx bx bx x b
強(qiáng)調(diào): 在 (1)中,題目告訴你 y≠0,因此我們可用分式的基本性質(zhì)直接求得.
(2)中隱含條件 x≠0的發(fā)現(xiàn) .
第 3 頁(yè)
在 ax 中, x 不會(huì)為 “0”如果是, “0”, ax 中分母就為 “0”分式, ax 將無(wú)意義,所以 (2)
bx bx bx
中雖然沒有直接告訴我們 x≠0,但要由 ax 得到 a , ax 必須有意義,即 bx≠0由此可得 b≠0
bx b bx
且 x≠0.
(四)引導(dǎo)
13、學(xué)生小結(jié):
1.注: 1對(duì)于任意一個(gè)分式,分母都不能為零.
2分式與整式不同的是:分式的分母中含有字母,整式的分母中不含字母.
3分式的值為零含兩層意思:分母不等于零;分子等于零.
2.數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有內(nèi)在聯(lián)系的.利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)就可推想出分式的基本性質(zhì).
四、補(bǔ)充練習(xí)
作業(yè) P3 習(xí)題
〖分層練習(xí)〗
1.①當(dāng) a= 1, 2 時(shí),分別求分式
a
1 的值.
2a
②當(dāng) a 為何值時(shí),分式
a
1 有意義?
2a
③當(dāng) a 為
14、何值時(shí),分式
a
1 的值為零?
2a
x
1
x
1
x
1
1
2.當(dāng) x=1 時(shí),分式① x
1
,②
2 x
2
,③ x2
1
,④ x3
1 中,有意義的是(
)
A. ①③④
B. ③④
C.②④
D.④
3. 寫出一個(gè)含有字母 x 的分式(要求:不論 x 取任何實(shí)數(shù),該分式都有意義,且分式的值
為負(fù)) .
x2
4.已知分式 1 4x 是正數(shù),則 x 的取值范圍是( )
x
1
x
1
15、x
1
x
1 且 x 0
A.
4
B.
4
C.
4
D.
4
〖答案提示〗
1.解: ①當(dāng) a= 1 時(shí), a 1
1 1 = 1;
2a
2
1
當(dāng) a=2 時(shí), a 1 2 1 3 .
2a
2
2
4
第 4 頁(yè)
②當(dāng)分母的值等于零時(shí),分式?jīng)]有意義,除此以外,分式都有意義.
由分母 2a= 0,得 a= 0.
所以,當(dāng) a 取零以外的任何實(shí)數(shù)時(shí),分式 a 1 有意義.
2a
③分式的值為零,包含兩層意思:首先分式有意義,其次,它的值為零.
2a
0
因此 a 的取值有兩個(gè)要求:a
1 0
所以,當(dāng) a= - 1 時(shí),分母不為零,分子為零,分式
a 1 為零.
2a
2.D
3.
1
1
( 或
, 答案不唯一 )
x2
1
x 1
4. D
第 5 頁(yè)